Forma symplektyczna

W matematyce istnieją trzy różne, ale ściśle ze sobą powiązane pojęcia form symplektycznych  :

1. symplektyczne formy przestrzeni wektorowych  ;
2. symplektyczne formy wiązek wektorów  ;
3. formy symplektyczne na rozmaitościach różniczkowych .

Przestrzeń wektorów symplektycznych

W liniowym Algebra , A symplektycznych postać w przestrzeni wektorowej jest zmienny nie zdegenerowany forma dwuliniowa . Przestrzeń wektorowa o formie symplektycznej nazywana jest przestrzenią wektorową symplektyczną . V{\ displaystyle V} ω:V×V→R{\ Displaystyle \ omega: V \ razy V \ do \ mathbb {R}}

Przykłady:

• (R2nie,ω){\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2n}, \ omega)}gdzie dla kanonicznej podstawy podwójnej jest symplektyczna przestrzeń wektorowa.ω=∑k=1niemik∗∧fak∗{\ Displaystyle \ omega = \ suma _ {k = 1} ^ {n} e_ {k} ^ {*} \ klin f_ {k} ^ {*}}(mik∗,fak∗)k=1,...,nie{\ Displaystyle (e_ {k} ^ {*}, f_ {k} ^ {*}) _ {k = 1, ..., n}}R2nie{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}
• Jeśli jest rzeczywistą przestrzenią wektorową, a następnie , gdzieW.{\ displaystyle W}V: =W.⊕W.∗{\ Displaystyle V: = W \ oplus W ^ {*}}(V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}

ω((w1⊕α1),(w2⊕α2)): =α1(w2)-α2(w1),∀w1,w2∈W.,∀α2,α2∈W.∗{\ Displaystyle \ omega ((w_ {1} \ oplus \ alfa _ {1}), (w_ {2} \ oplus \ alfa _ {2})): = \ alfa _ {1} (w_ {2}) - \ alpha _ {2} (w_ {1}), \ quad \ forall w_ {1}, w_ {2} \ in W, \; \ forall \ alpha _ {2}, \ alpha _ {2} \ in W ^ {*}},

jest symplektyczną przestrzenią wektorową.

Włókno symplektyczne

W geometrii różniczkowej , A symplektycznych kształt na rzeczywistym wiązki wektor jest gładka całkowitego przekroju wiązki , która nie jest zdegenerowana włókien włóknem. Wiązka wektorów o postaci symplektycznej nazywana jest wiązką wektorów symplektycznych . mi→M{\ displaystyle E \ do M} ω{\ displaystyle \ omega}mi∗∧mi∗→M{\ Displaystyle E ^ {*} \ klin E ^ {*} \ do M}

Uwagi:

• Symplektycznych postać symplektyczna wiązki jest gładka rodziny z symplektycznych kształty przestrzeni wektorów , których wektor przestrzenie są przed włókna wiązki .{ωx}x∈M{\ displaystyle \ {\ omega _ {x} \} _ {x \ in M}}mix{\ Displaystyle E_ {x}}mi→M{\ displaystyle E \ do M}

Przykłady:

• Jeśli to prawdziwa wiązka wektorów, a następnie , gdziefa→M{\ displaystyle F \ rightarrow M}mi: =fa⊕fa∗{\ Displaystyle E: = F \ oplus F ^ {*}}(mi,ω){\ displaystyle (E, \ omega)}

ωx((w1⊕α1),(w2⊕α2)): =α1(w2)-α2(w1),∀x∈M,∀w1,w2∈fax,∀α2,α2∈fax∗{\ Displaystyle \ omega _ {x} ((w_ {1} \ oplus \ alfa _ {1}), (w_ {2} \ oplus \ alfa _ {2})): = \ alfa _ {1} (w_ {2}) - \ alpha _ {2} (w_ {1}), \ quad \ forall x \ in M, \; \ forall w_ {1}, w_ {2} \ in F_ {x}, \; \ forall \ alpha _ {2}, \ alpha _ {2} \ in F_ {x} ^ {*}},

jest wiązką wektorów symplektycznych na . M{\ displaystyle M}

Ten ostatni przykład pokazuje naturalność form symplektycznych. W przeciwieństwie do metryk riemannowskich , ich istnienie jest słabo poznane, ale przynajmniej przychodzą naturalnie.

Odmiana symplektyczna

Wciąż w geometrii różniczkowej, forma symplektyczna na rozmaitości różniczkowej jest postacią 2- różniczkową, która jest: M{\ displaystyle M} ω{\ displaystyle \ omega}

1. zamknięty (w sensie zewnętrznej dyferencjału ), tj  .;reω=0{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ omega = 0}
2. niezdegenerowany (włókno po włóknie), tj. dla dowolnej wartości niezerowej, jest różny od zera.v∈TM{\ displaystyle v \ in TM}ω(v,⋅){\ Displaystyle \ omega (v, \ cdot)}

Rozmaitość różniczkowa o formie symplektycznej nazywana jest rozmaitością symplektyczną .

Uwagi:

• Forma symplektyczna rozmaitości symplektycznej jest również formą symplektyczną wiązki wektorów, której wiązką jest wiązka styczna rozmaitości różniczkowej . Jednak tutaj dodajemy warunek zamknięcia . Kiedy jest formą symplektyczną dla wiązki, ale niekoniecznie spełnia warunek zamknięcia , mówi się , że para jest prawie symplektyczną rozmaitością .ω{\ displaystyle \ omega}(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)} TM{\ displaystyle TM}M{\ displaystyle M}reω=0{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ omega = 0}ω{\ displaystyle \ omega}TM{\ displaystyle TM}reω=0{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ omega = 0}(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}
• Warunkiem bycia zamkniętą formą symplektycznych symplektycznych implikuje twierdzenie Darboux , że wokół każdego punktu na nie jest lokalny układ współrzędnych jak to pisze tak kanoniczny .ω{\ displaystyle \ omega}(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}x{\ displaystyle x}M{\ displaystyle M}(pk,qk)k=1,...,Słońce⁡M{\ displaystyle (p_ {k}, q_ {k}) _ {k = 1, ..., \ dim M}}ω{\ displaystyle \ omega} ∑k=1Słońce⁡Mrepk∧reqk{\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ dim M} \ mathrm {d} p_ {k} \ wedge \ mathrm {d} q_ {k}}
• Istnienie form symplektycznych na rozmaitościach różniczkowych jest kwestią otwartą.

Przykłady:

• Jeśli jest symplektyczną rozmaitością wymiarów i jest różnicową odmianą podrzędną , to: (M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}2nie{\ displaystyle 2n}P.{\ displaystyle P}M{\ displaystyle M}
  • Wiązka styczna z jest ograniczona do wiązki o randze na , zaznaczono . I jest to symplektyczny pakiet .M{\ displaystyle M}2nie{\ displaystyle 2n}P.{\ displaystyle P}TP.M→P.{\ displaystyle T_ {P} M \ rightarrow P}(TP.M,ω|TP.M){\ Displaystyle (T_ {P} M, \ omega | _ {T_ {P} M})}P.{\ displaystyle P}
  • Jeżeli w dowolnym momencie w postać dwuliniowo nie jest zdegenerowana w celu ograniczenia powierzchni stycznej , a następnie jest symplektycznych wielorakie.x{\ displaystyle x}P.{\ displaystyle P}ωx{\ displaystyle \ omega _ {x}}TxP.{\ displaystyle T_ {x} P}(P.,ω|TP.P.){\ Displaystyle (P, \ omega | _ {T_ {P} P})}

Zobacz też

• Formularz Liouville

Bibliografia

• (en) Dusa McDuff i Dietmar Salamon , Wprowadzenie do topologii symplektycznej ,2017.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">