Przestrzeń wektorów symplektycznych

W Algebra , A przestrzeń wektor jest symplektycznych , gdy jest wyposażony w symplektyczna postaci , to znaczy jest na przemian i bez zdegenerowane postaci dwuliniowego . Badanie tych przestrzeni wektorowych wykazuje pewne podobieństwa z badaniem rzeczywistych przestrzeni przedhilbertowskich, ponieważ definiujemy również pojęcie ortogonalności . Ale istnieją duże różnice, choćby dlatego, że każdy wektor jest do siebie prostopadły.

Symplektyczne przestrzenie wektorowe służą jako modele do definiowania rozmaitości symplektycznych , badane w geometrii symplektycznej . Te ostatnie stanowią naturalne ramy mechaniki Hamiltona .

Złożona przedhilbertowska przestrzeń wektorowa jest automatycznie wyposażona w strukturę symplektyczną jako rzeczywistą przestrzeń wektorową. Pod względem odmian analogiem jest pojęcie odmiany Kähler .

Definicja

Niech będzie przestrzenią wektorową na polu liczb rzeczywistych (ogólny przypadek zostanie przedstawiony poniżej). Symplektycznych forma na to zmienny i non-zdegenerowana forma dwuliniowa , tj: V{\ displaystyle V}V{\ displaystyle V}ω:V×V→R{\ Displaystyle \ omega: V \ razy V \ do \ mathbb {R}}

• mamy alternatywny charakter ω(u,u)=0,∀u∈V{\ Displaystyle \ omega (u, u) = 0 \ quad \ forall u \ in V}

który czasami jest zastępowany przez antysymetrię : (te dwie właściwości są równoważne);ω(u,v)=-ω(v,u),∀u,v∈V{\ Displaystyle \ omega (u, v) = - \ omega (v, u), \ quad \ forall u, v \ w V}

• i nondegeneracy : .u≠0⟹ω(u,⋅)≠0{\ Displaystyle u \ neq 0 \ implikuje \ omega (u, \ cdot) \ neq 0}

Symplektycznych przestrzeń liniowa jest przestrzenią wektorową wyposażony symplektyczna formie  . (V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}V{\ displaystyle V}ω{\ displaystyle \ omega}

Mówi się, że dwa wektory są (symplektycznie) ortogonalne, gdy . Przez naprzemienne charakter dowolny wektor z jest prostopadła do siebie. u,v∈V{\ displaystyle u, v \ in V}ω(u,v)=0{\ Displaystyle \ omega (u, v) = 0}ω{\ displaystyle \ omega}v{\ displaystyle v}V{\ displaystyle V}

Twierdzenie: Każda symplektyczna przestrzeń wektorowa o skończonym wymiarze ma nawet wymiar rzeczywisty.

Demonstracja

Niech będzie skończenie wymiarową symplektyczną przestrzenią wektorową. Pozwolić prawdziwy wektor podstawa z . Pozwolić przedstawiciel matryca z , czyli dla . Ponieważ nie jest zdegenerowana, macierz jest odwracalna i dlatego ma niezerową determinantę . Ponieważ jest antysymetryczna, matryca jest antysymetryczna . Wiemy, że wyznacznik macierzy antysymetrycznej nieparzystego rzędu wynosi zero, co jest niemożliwe. Dlatego ma równy wymiar.(V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}(v1,...,vnie){\ displaystyle (v_ {1}, ..., v_ {n})}V{\ displaystyle V}[ωja,jot]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}ω{\ displaystyle \ omega}ωja,jot: =ω(vja,vjot){\ Displaystyle \ omega _ {i, j}: = \ omega (v_ {i}, v_ {j})}ja,jot=1,...,nie{\ Displaystyle ja, j = 1, ..., n}ω{\ displaystyle \ omega}[ωja,jot]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}ω{\ displaystyle \ omega}[ωja,jot]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}V{\ displaystyle V}◻{\ Displaystyle \ kwadrat}

Uwaga  : pojęcie macierzy reprezentatywnej o formie symplektycznej nie jest identyczne z pojęciem macierzy symplektycznej .

Standardowa symplektyczna przestrzeń wektorowa

Odniesienie do przestrzeni wektorów symplektycznych jest przestrzenią , w której na podstawie kanonicznej forma symplektyczna spełnia relacje (R2nie,ω){\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2n}, \ omega)}(mi1,...,minie,fa1,...,fanie){\ Displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n}, f_ {1}, \ ldots, f_ {n})}ω{\ displaystyle \ omega}

ω(mija,fajot)=-ω(fajot,mija)=δjajot{\ Displaystyle \ omega (e_ {i}, f_ {j}) = - \ omega (f_ {j}, e_ {i}) = \ delta _ {ij} \,} ω(mija,mijot)=ω(faja,fajot)=0{\ Displaystyle \ omega (e_ {i}, e_ {j}) = \ omega (f_ {i}, f_ {j}) = 0 \,}.

Reprezentacji macierzy standardowej postaci symplektyczna wynosi:

[ωja,jot]=[0janie-janie0]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}] = {\ początek {bmatrix} 0 i ja_ {n} \\ - ja_ {n} i 0 \ koniec {bmatrix}}}

gdzie oznacza macierz tożsamości rozmiaru . janie{\ displaystyle I_ {n}}nie×nie{\ displaystyle n \ razy n}

Istnieją w jakiś sposób powiązane kierunki  : każdy jest prostopadły do ​​wszystkich wektorów bazowych z wyjątkiem . mija{\ displaystyle e_ {i}}faja{\ displaystyle f_ {i}}

Odmiana procesu ortonormalizacji Grama-Schmidta pozwala wykazać, że każda skończenie wymiarowa symplektyczna przestrzeń wektorowa ma taką podstawę, którą generalnie nazywamy bazą Darboux .

Podprzestrzenie wektorowe

Niech będzie symplektyczną przestrzenią wektorową. Niech będzie wektorową podprzestrzenią . Prostopadle (symplektycznych) z definicji jest podprzestrzeni wektor (V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}W.⊂V{\ Displaystyle W \ podzbiór V}V{\ displaystyle V}W.{\ displaystyle W}

W.ω: ={v∈V|ω(v,w)=0,∀w∈W.}{\ Displaystyle W ^ {\ omega}: = \ {v \ w V | \ omega (v, w) = 0, \ forall w \ w \}}.

Mówi się o podprzestrzeni wektorowej : W.{\ displaystyle W}

• symplektyczny, jeśliW.∩W.ω={0}{\ displaystyle W \ cap W ^ {\ omega} = \ {0 \}}
• izotropowy, jeśliW.⊂W.ω{\ Displaystyle W \ podzbiór W ^ {\ omega}}
• koizotropowy, jeśliW.ω⊂W.{\ Displaystyle W ^ {\ omega} \ podzbiór W}
• Lagrangian siW.ω=W.{\ displaystyle W ^ {\ omega} = W}

Wszelkie Lagrange'a wektor podprzestrzeń z IS: W.{\ displaystyle W}(V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}

• (maksymalny) izotropowy
• (minimalny) koizotropowy
• wymiar o połowę mniejszy od .V{\ displaystyle V}

Przestrzeń symplektyczna na każdym ciele

Definicja przestrzeni symplektycznych rozciąga się bez zmiany na każde pole o właściwości innej niż 2. W charakterystyce 2 nie ma już równoważności między znakami zastępczymi i antysejsmicznymi.

Bibliografia

• Ralph Abraham i Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin-Cummings, Londyn ( ISBN  0-8053-0102-X ) .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">