Równania Hamiltona-Jacobiego
W mechanice Hamiltona , że Hamilton-Jacobiego równania są równaniami związane z transformacją Hamiltonianu w przestrzeni fazy , i które ułatwiają rozdzielczość równań ruchu .
Transformacje kanoniczne
Kanoniczny transformacja jest transformacja w przestrzeni fazowej , która zachowuje kanoniczne równania:
(q→,p→)→(Q→,P.→) , H.(q→,p→)→K.(Q→,P.→){\ Displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}}) ~, ~ H ({\ vec {q} }, {\ vec {p}}) \ rightarrow K ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}q→˙=∂H.∂p→ → Q→˙=∂K.∂P.→;p→˙=-∂H.∂q→ → P.→˙=-∂K.∂Q→{\ Displaystyle {\ kropka {\ vec {q}}} = {\ frac {\ częściowe H} {\ częściowe {\ vec {p}}}} ~~ \ rightarrow ~~ {\ kropka {\ vec {Q} }} = {\ frac {\ częściowe K} {\ częściowe {\ vec {P}}}} \ ,; \, {\ dot {\ vec {p}}} = - {\ frac {\ częściowe H} { \ częściowe {\ vec {q}}}} ~~ \ rightarrow ~~ {\ dot {\ vec {P}}} = - {\ frac {\ częściowe K} {\ częściowe {\ vec {Q}}}} }.
(Zwróć uwagę, gdzie .)
∂∂x→=∇→x→=∑ja=1NIE∂∂xjami→ja{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe {\ vec {x}}}} = {\ vec {\ nabla}} _ {\ vec {x}} = \ sum _ {i = 1} ^ { N} {\ frac {\ części} {\ częściowy x_ {i}}} {\ vec {e}} _ {i}}x→=∑ja=1NIExjami→ja{\ displaystyle {\ vec {x}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} {\ vec {e}} _ {i}}
Możemy pokazać, że transformacja jest kanoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje podstawowe nawiasy Poissona :
{Qα,P.β}=δαβ{\ Displaystyle \ {Q _ {\ alpha}, P _ {\ beta} \} = \ delta _ {\ alpha \ beta}}
{Qα,Qβ}=0{\ displaystyle \ {Q _ {\ alpha}, Q _ {\ beta} \} = 0}
{P.α,P.β}=0{\ displaystyle \ {P _ {\ alpha}, P _ {\ beta} \} = 0}
Funkcje generujące
Działania mogą być zapisywane jako funkcja zmiennych przestrzeni fazowej:
S[q→,p→]=∫ret L(q→,q→˙,t)=∫ret (p→⋅q→˙-H.(q→,p→,t))=∫ret fa(q→˙,q→,p→,t).{\ Displaystyle S [{\ vec {q}}, {\ vec {p}}] = \ int \ mathrm {d} t ~ L ({\ vec {q}}, {\ kropka {\ vec {q} }}, t) = \ int dt ~ ({\ vec {p}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} - H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t)) = \ int \ mathrm {d} t ~ f ({\ dot {\ vec {q}}}, {\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t).}
Jednak równania kanoniczne zweryfikowane przez sugerują, że równania Eulera-Lagrange'a weryfikują :
H.(q→,p→){\ Displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}})}fa{\ displaystyle f}
reret(∂fa∂q→˙)-∂fa∂q→=reret(p→)+∂H.∂q→=p→˙-p→˙=0→;{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe {\ kropka {\ vec {q}}}}} \ right) - {\ frac {\ części f} {\ części {\ vec {q}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ vec { p}} \ right) + {\ frac {\ częściowe H} {\ częściowe {\ vec {q}}}} = {\ dot {\ vec {p}}} - {\ dot {\ vec {p}} } = {\ vec {0}};}
reret(∂fa∂p→˙)-∂fa∂p→=reret(0→)-(q→˙-∂H.∂p→)=-q→˙+q→˙=0→.{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe {\ kropka {\ vec {p}}}}} \ right) - {\ frac {\ części f} {\ części {\ vec {p}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ vec { 0}} \ right) - \ left ({\ dot {\ vec {q}}} - {\ frac {\ częściowe H} {\ częściowe {\ vec {p}}}} \ right) = - {\ dot {\ vec {q}}} + {\ dot {\ vec {q}}} = {\ vec {0}}.}
Mamy zatem stacjonarność działania wtedy i tylko wtedy, gdy równania kanoniczne spełniają, i to samo dla . Wnioskujemy, że jeśli H i K zweryfikują swoje równania kanoniczne, mamy stacjonarność odpowiednich działań, a mianowicie:
H.(q→,p→){\ Displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}})}K.(Q→,P.→){\ Displaystyle K ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}
δ(∫ret (p→⋅q→˙-H.))=0,δ(∫ret (P.→⋅Q→˙-K.))=0{\ Displaystyle \ delta \ lewo (\ int \ mathrm {d} t ~ ({\ vec {p}} \ cdot {\ kropka {\ vec {q}}} - H) \ prawej) = 0 \ ,, \ , \ delta \ left (\ int \ mathrm {d} t ~ ({\ vec {P}} \ cdot {\ dot {\ vec {Q}}} - K) \ right) = 0}
stąd tzw. warunek niezmienności:
(p→⋅q→˙-H.)-(P.→⋅Q→˙-K.)=refaret(q→,p→,Q→,P.→,t).{\ Displaystyle ({\ vec {p}} \ cdot {\ kropka {\ vec {q}}} - H) - ({\ vec {P}} \ cdot {\ kropka {\ vec {Q}}} - K) = {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, {\ vec {Q}}, {\ vec {P}}, t).}
Taka funkcja F nazywana jest funkcją generującą transformacji .
(q→,p→)→(Q→,P.→) , H.(q→,p→)→K.(Q→,P.→){\ Displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}}) ~, ~ H ({\ vec {q} }, {\ vec {p}}) \ rightarrow K ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}
Funkcja główna Hamiltona, równanie Hamiltona-Jacobiego
Odnotowuje się N liczbę stopni swobody układu, reprezentujących 4 N zmiennych, które są między nimi połączone 2N relacjami transformacji . Mamy zatem 2 N niezależnych zmiennych, a zatem kilka możliwości wyboru dla zmiennych funkcji generatora. Jeśli zdecydujemy się użyć zmiennych , mamy funkcję generatora zwaną główną funkcją Hamiltona. Faktycznie posiadają funkcję , stosuje się transformację Legendre'a do :
.
(q→,p→,Q→,P.→){\ Displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, {\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}(q→,p→)→(Q→,P.→){\ Displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}(q→,P.→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}S(q→,P.→){\ Displaystyle S ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}(q→,P.→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}fa{\ displaystyle F}S(q→,P.→)=fa+Q→⋅P.→{\ Displaystyle S ({\ vec {q}}, {\ vec {P}}) = F + {\ vec {Q}} \ cdot {\ vec {P}}}
Mamy wtedy reSret=refaret+Q→˙⋅P.→+Q→⋅P.→˙=∂S∂q→⋅q→˙+∂S∂P.→⋅P.→˙+∂S∂t{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} S} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} + {\ dot {\ vec {Q}}} \ cdot {\ vec {P}} + {\ vec {Q}} \ cdot {\ dot {\ vec {P}}} = {\ frac {\ częściowe S} {\ częściowe {\ vec {q}}}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} + {\ frac {\ części S} {\ części {\ vec {P}}}} \ cdot {\ dot {\ vec { P}}} + {\ frac {\ częściowe S} {\ częściowe t}}}
a stan niezmienności staje się
(p→-∂S∂q→)⋅q→˙+(Q→-∂S∂P.→)⋅P.→˙+(-H.+K.-∂S∂t)=0.{\ Displaystyle \ lewo ({\ vec {p}} - {\ Frac {\ częściowe S} {\ częściowe {\ vec {q}}}} \ w prawo) \ cdot {\ kropka {\ vec {q}}} + \ left ({\ vec {Q}} - {\ frac {\ części S} {\ części {\ vec {P}}}} \ right) \ cdot {\ dot {\ vec {P}}} + \ lewy (-H + K - {\ frac {\ częściowy S} {\ częściowy t}} \ prawy) = 0}
Wybraliśmy jako zmienne niezależne, dlatego można zidentyfikować i otrzymujemy:
(q→,P.→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}
p→-∂S∂q→=0→{\ Displaystyle {\ vec {p}} - {\ frac {\ częściowe S} {\ częściowe {\ vec {q}}}} = {\ vec {0}}} ;
Q→-∂S∂P.→=0→{\ Displaystyle {\ vec {Q}} - {\ frac {\ częściowe S} {\ częściowe {\ vec {P}}}} = {\ vec {0}}} ;
-H.+K.-∂S∂t=0{\ Displaystyle -H + K - {\ Frac {\ częściowe S} {\ częściowe t}} = 0}.
Pierwsze dwa równania pozwalają wyznaczyć transformację z danych funkcji , a łącząc pierwsze i ostatnie równanie, otrzymujemy równanie Hamiltona-Jacobiego:
(q→,p→)→(Q→,P.→){\ Displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}S(q→,P.→){\ Displaystyle S ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}
H.(q→,∂S∂q→,t)+∂S∂t=K.{\ Displaystyle H \ lewo ({\ vec {q}}, {\ Frac {\ częściowe S} {\ częściowe {\ vec {q}}}}, t \ prawo) + {\ Frac {\ częściowe S} { \ częściowe t}} = K}.
Podanie
Celem takiej transformacji jest uproszczenie rozwiązania równań ruchu. Na przykład, narzucając , mamy po prostu i , to znaczy, i stałe. Pozostaje wtedy do ustalenia, aby uzyskać rozwiązanie , ale transformacja jest całkowicie określona przez dane funkcji generującej, która jest rozwiązaniem równania różniczkowego cząstkowegoK.=0{\ displaystyle K = 0}Q→˙=0→{\ displaystyle {\ kropka {\ vec {Q}}} = {\ vec {0}}}P.→˙=0→{\ displaystyle {\ kropka {\ vec {P}}} = {\ vec {0}}}Q→{\ displaystyle {\ vec {Q}}}P.→{\ displaystyle {\ vec {P}}}(Q→(q→,p→),P.→(q→,p→)){\ Displaystyle ({\ vec {Q}} ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}), {\ vec {P}} ({\ vec {q}}, {\ vec {p }}))}(q→(t),p→(t)){\ Displaystyle ({\ vec {q}} (t), {\ vec {p}} (t))}
H.(q→,∂S∂q→,t)+∂S∂t=0.{\ Displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ Frac {\ częściowe S} {\ częściowe {\ vec {q}}}}, t) + {\ Frac {\ częściowe S} {\ częściowe t} } = 0}
Uwaga
W tym przypadku stan niezmienności stanie się . Funkcja generująca jest wtedy po prostu działaniem systemu.
p→⋅q→˙-H.=reSret ⇒ S=∫L ret{\ Displaystyle {\ vec {p}} \ cdot {\ kropka {\ vec {q}}} - H = {\ Frac {\ mathrm {d} S} {\ mathrm {d} t}} ~~ \ Rightarrow ~~ S = \ int L ~ \ mathrm {d} t}S{\ displaystyle S}
To równanie nie jest a priori łatwiejsze do rozwiązania niż równania początkowe (w szczególności jeśli jest to klasyczny hamiltonian , wówczas mamy wyrażenia nieliniowe). Jeśli jednak hamiltonian nie zależy jawnie od czasu, to jest zachowany (zgodnie z twierdzeniem Noether ), więc mamy bezpośrednio:
H.(q→,p→,t)=p→22m+V(q→,p→,t){\ Displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t) = {\ frac {{\ vec {p}} ^ {2}} {2m}} + V ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t)}
∂S∂t=-H.(q→,∂S∂q→)=-mi=vsoniestwnietmi{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe S} {\ częściowe t}} = - H ({\ vec {q}}, {\ Frac {\ częściowe S} {\ częściowe {\ vec {q}}}}) = -E = stała}
Skąd
S=S0(q→,p→)-mit{\ Displaystyle S = S_ {0} ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) - I}
a równanie do rozwiązania jest uproszczone:
H.(q→,∂S0∂q→)-mi=0.{\ Displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ Frac {\ częściowe S_ {0}} {\ częściowe {\ vec {q}}}}) - E = 0.}
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">