Twierdzenie Taylora
W matematyce , a dokładniej w analizie , twierdzenie Taylora (lub formuła Taylora ), nazwane na cześć angielskiego matematyka Brook'a Taylora, który ustanowił je w 1715 r., Pokazuje, że funkcja kilkukrotnie różniczkowalna w pobliżu punktu może być osiągnięta przez funkcję wielomianową, której współczynniki zależą tylko od pochodnych funkcji w tym momencie. Ta funkcja wielomianu jest czasami nazywana wielomianem Taylora .
Definicja
Formuła standardowa
Dokładniej albo:
Następnie dla dowolnej liczby rzeczywistej x należącej do I mamy wzór Taylora-Younga ( patrz poniżej ):
fa(x)=fa(w)+fa′(w)1!(x-w)+fa(2)(w)2!(x-w)2+⋯+fa(nie)(w)nie!(x-w)nie+Rnie(x){\ Displaystyle f (x) = fa (a) + {\ Frac {f '(a)} {1!}} (xa) + {\ Frac {f ^ {(2)} (a)} {2! }} (xa) ^ {2} + \ cdots + {\ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} (xa) ^ {n} + R_ {n} (x)}
lub odpowiednik:
fa(x)=∑k=0niefa(k)(w)k!(x-w)k+Rnie(x){\ Displaystyle \ Displaystyle f (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ Frac {f ^ {(k)} (a)} {k!}} (xa) ^ {k} + R_ {n.} (X)}
gdzie reszta R n ( x ) jest pomijalną funkcją względem ( x - a ) n w sąsiedztwie a .
Inne sformułowanie
Poprzez prostą zmianę zmiennej wzór Taylora-Younga można również wyrazić w postaci:
fa(w+godz)=fa(w)+fa′(w)1!godz+fa(2)(w)2!godz2+⋯+fa(nie)(w)nie!godznie+Rnie(godz){\ Displaystyle f (a + h) = fa (a) + {\ Frac {f '(a)} {1!}} h + {\ Frac {f ^ {(2)} (a)} {2! }} h ^ {2} + \ cdots + {\ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} h ^ {n} + R_ {n} (h)}
lub odpowiednik:
fa(w+godz)=∑k=0niefa(k)(w)k!godzk+Rnie(godz){\ Displaystyle \ Displaystyle f (a + h) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ Frac {f ^ {(k)} (a)} {k!}} h ^ {k} + R_ {n.} (H)}
gdzie reszta R n ( h ) jest pomijalną funkcją względem h n w sąsiedztwie 0,
forma często używana, gdy leżysz w sąsiedztwie a (to znaczy dla h small).
Wyrażenia i oszacowania pozostałej części
Przedstawiając tę formułę w 1715 roku , Taylor proponuje zatem metodę rozwoju szeregowego , ale nie martwiąc się o resztę R n ( x ) . Rzeczywiście, w ciągu XVIII -tego wieku , matematycy nie ustalenia różnic pomiędzy ograniczoną rozwoju i ekspansji serii . To Joseph-Louis Lagrange w 1799 roku jako pierwszy podkreślił potrzebę rygorystycznego zdefiniowania tej pozostałej części. Jego właściwości są określane różnie w zależności od założeń dotyczących funkcji.
Formuła Taylora- Younga
Jeśli funkcja f (z wartościami rzeczywistymi lub zespolonymi, a nawet w przestrzeni normowanej) jest różniczkowalna w zakresie a do rzędu n ≥1 , to funkcja R n ( x ) jest pomijalna przed ( x - a ) n :
Rnie(x)=o((x-w)nie).{\ Displaystyle {R_ {n} (x)} = o ({(xa) ^ {n}}).}
Następujące sformułowanie jest równoważne:
limx→wx≠wRnie(x)(x-w)nie=0.{\ Displaystyle \ lim _ {x \ do a \ na szczycie x \ neq a} {\ Frac {R_ {n} (x)} {(xa) ^ {n}}} = 0.}
Stwierdzenie to przejawia się prostym nawrotem , używając terminowej „integracji” ograniczonego rozwoju , lub nawet poprzez iteracyjne stosowanie reguły Szpitala .
Jeśli funkcja f ma wartości rzeczywiste i jest różniczkowalna na I do rzędu n + 1 , to dla wszystkich istnieje liczba rzeczywista ξ ściśle między a i x taka, że
x∈ja∖{w}{\ Displaystyle x \ in I \ setminus \ {a \}}
Rnie(x)=fa(nie+1)(ξ)(nie+1)!(x-w)nie+1.{\ Displaystyle R_ {n} (x) = {\ Frac {f ^ {(n + 1)} (\ xi)} {(n + 1)!}} (xa) ^ {n + 1}.}
Ta relacja jest również nazywana formą Lagrange'a . Istnienie ξ można wywnioskować bezpośrednio z twierdzenia Rolle'a (lub jego wariantu, twierdzenia o skończonym inkrementacji ).
Liczba ξ jest czasami oznaczana jako a + ( x - a ) θ , a warunek, że znajduje się między a i x, jest następnie zapisywany jako 0 <θ <1 .
Jeśli istnieje M taki, że
∀y∈ja|fa(nie+1)(y)|≤M,{\ Displaystyle \ forall y \ in ja \ quad | f ^ {(n + 1)} (r) | \ równoważnik M,}
wtedy za wszystko :
x∈ja{\ displaystyle x \ in I}![x \ in I](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec8caa8f241cb38a5348d7937b538227ad32c48)
|Rnie(x)|≤M|x-w|nie+1(nie+1)!.{\ Displaystyle | R_ {n} (x) | \ równoważnik {\ Frac {M | xa | ^ {n + 1}} {(n + 1)!}}.}
Jest to wariant formuły Taylora-Lagrange'a. Jeśli funkcja f ma wartości rzeczywiste i jest różniczkowalna na I do rzędu n + 1 , to dla wszystkich istnieje liczba ξ ściśle między a i x taka, że
x∈ja∖{w}{\ Displaystyle x \ in I \ setminus \ {a \}}![{\ Displaystyle x \ in I \ setminus \ {a \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a5a7ae2bdd3600e2046052f9eadd54f4baab4d)
Rnie(x)=fa(nie+1)(ξ)nie!(x-w)(x-ξ)nie.{\ Displaystyle R_ {n} (x) = {\ Frac {f ^ {(n + 1)} (\ xi)} {n!}} (xa) (x- \ xi) ^ {n}.}
Wzór Taylora z resztą całki Laplace'a
Jeżeli funkcja jest klasa C n + 1 o i o wartościach w rzeczywistym banachowskiej powierzchni, a następnie na wszystkich :
fa{\ displaystyle f}
ja{\ displaystyle I}
x∈ja{\ displaystyle x \ in I}![x \ in I](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec8caa8f241cb38a5348d7937b538227ad32c48)
Rnie(x)=∫wxfa(nie+1)(t)nie!(x-t)nieret.{\ Displaystyle R_ {n} (x) = \ int _ {a} ^ {x} {\ Frac {f ^ {(n + 1)} (t)} {n!}} (xt) ^ {n} \, \ mathrm {d} t.}
To stwierdzenie jest demonstrowane przez indukcję, używając całkowania przez części .
Uwagi
-
Wzór Taylora- Maclaurina : gdy a = 0, zapisywany jest wzórfa(x)=fa(0)+fa′(0)1!x+fa(2)(0)2!x2+⋯+fa(nie)(0)nie!xnie+Rnie(x).{\ Displaystyle F (x) = F (0) + {\ Frac {F '(0)} {1!}} X + {\ Frac {F ^ {(2)} (0)} {2!}} x ^ {2} + \ cdots + {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}} X ^ {n} + R_ {n} (x).}
- W przeciwieństwie do formuły Taylora-Lagrange'a , twierdzenia Taylora-Younga i Taylora-Laplace'a są prawdziwe dla funkcji f o wartościach zespolonych lub w znormalizowanej przestrzeni wektorowej, po uzupełnieniu, aby móc mówić o całce ( Bochnera ) dla drugiej.
- W przypadku funkcji o wartościach rzeczywistych nierówność Taylora-Lagrange'a jest bezpośrednim następstwem wzoru Taylora-Lagrange'a. Dla funkcji z wartościami w znormalizowanej przestrzeni wektorowej nie mamy tego wzoru, ale możemy wywnioskować nierówność Taylora-Lagrange'a z nierówności skończonych przyrostów dla funkcji z wartościami wektorowymi .
- Wzór Taylor-Lagrange'a dla n = 0 jest ograniczony przyrost twierdzenie .
- Wzór Taylora z resztą Laplace'a jest uogólnieniem drugiego fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego .
- Dla niektórych funkcji f , reszta R n ( x ) dąży do zera, ponieważ n dąży do nieskończoności; funkcje te można zatem rozwinąć w szeregu Taylora w sąsiedztwie punktu a . Jeśli ta właściwość jest zweryfikowana w dowolnym punkcie domeny definicji , mówi się, że funkcja jest analityczna .
Wzór Taylora-Younga w znormalizowanych przestrzeniach wektorowych - Niech i będą dwiema znormalizowanymi przestrzeniami wektorowymi.
mi{\ displaystyle E}
fa{\ displaystyle F}![fa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
Jeśli funkcja jest razy różniczkowalna w punkcie , to przyznaje, że w tym momencie rozwinięcie ograniczone do celu , nadany przez
fa:mi→fa{\ displaystyle f: E \ do F}
nie{\ displaystyle n}
w∈mi{\ displaystyle a \ in E}
nie{\ displaystyle n}![nie](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
fa(w+godz)=fa(w)+refaw(godz)+12!re2faw(godz2)+⋯+1nie!reniefaw(godznie)+o(‖godz‖nie){\ Displaystyle f \ lewo (a + h \ prawo) = fa \ lewo (a \ prawo) + \ operatorname {d} f_ {a} \ lewo (h \ prawo) + {\ Frac {1} {2!} } \ mathrm {d} ^ {2} f_ {a} \ left (h ^ {2} \ right) + \ dots + {\ frac {1} {n!}} \ mathrm {d} ^ {n} f_ {a} \ left (h ^ {n} \ right) + o \ left (\ | h \ | ^ {n} \ right)}![{\ Displaystyle f \ lewo (a + h \ prawo) = fa \ lewo (a \ prawo) + \ operatorname {d} f_ {a} \ lewo (h \ prawo) + {\ Frac {1} {2!} } \ mathrm {d} ^ {2} f_ {a} \ left (h ^ {2} \ right) + \ dots + {\ frac {1} {n!}} \ mathrm {d} ^ {n} f_ {a} \ left (h ^ {n} \ right) + o \ left (\ | h \ | ^ {n} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5e68f8cb2556206a4c30178a14739d97020980)
gdzie oznacza -tuplet .
godzk{\ displaystyle h ^ {k}}
k{\ displaystyle k}
(godz,...,godz)∈mik{\ Displaystyle (h, \ kropki, h) \ w E ^ {k}}![{\ Displaystyle (h, \ kropki, h) \ w E ^ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899757bdb0e27d94c7ecbf87c6e90184d6a57f9e)
Przykład:
Dla funkcji podwójnie różniczkowalnej w a ∈ ℝ p mamy:
fa:Rp→R{\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {p} \ do \ mathbb {R}}![{\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {p} \ do \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f6ae03987a9e5de5f3d471cd1136422c45b511f)
fa(w+godz)=fa(w)+∇fa(w)⋅godz+12godzTH.(w)godz+o(‖godz‖2){\ Displaystyle f (a + h) = f (a) + \ nabla f (a) \ cdot h + {\ Frac {1} {2}} h ^ {T} \ mathbb {H} (a) h + o (\ | h \ | ^ {2})}![{\ Displaystyle f (a + h) = f (a) + \ nabla f (a) \ cdot h + {\ Frac {1} {2}} h ^ {T} \ mathbb {H} (a) h + o (\ | h \ | ^ {2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d6843216f74ebe452f36966a2408a6c70ac6e1)
gdzie jest gradientu od f i jest jego Heskie matrycy oceniono na .
∇fa{\ displaystyle \ nabla f}
H.(w){\ displaystyle \ mathbb {H} (a)}![{\ mathbb {H}} (a)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168e7f5ff104f67dc9bf00091854548379c97696)
To jest przepisane „we współrzędnych”: na przykład dla funkcji podwójnie różniczkowalnej w ( a , b ) ∈ ℝ 2 , mamy:
fa:R2→R{\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {2} \ do \ mathbb {R}}![f: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c262f451d196f94214e2b8856b462c2d209306)
fa(w+godz,b+k)=fa(w,b)+∂fa∂x(w,b)godz+∂fa∂y(w,b)k+12∂2fa∂x2(w,b)godz2+12∂2fa∂y2(w,b)k2+∂2fa∂x∂y(w,b)godzk+o(godz2+k2).{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} f (a + h, b + k) = f (a, b) i + {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (a, b) h + { \ frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (a, b) k + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe x ^ {2} }} (a, b) h ^ {2} \\ & + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ part ^ {2} f} {\ part y ^ {2}}} (a , b) k ^ {2} + {\ frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe x \ częściowe y}} (a, b) hk \\ & + o (h ^ {2} + k ^ {2}). \ End {aligned}}}
Możemy również rozwinąć „we współrzędnych” powyższą globalną formułę Taylora-Younga, dla funkcji n razy różniczkowalnych w punkcie a o ℝ p i wartościach w ℝ (lub w dowolnej znormalizowanej przestrzeni wektorowej). Widzimy pojawienie się współczynników wielomianowych .
Mamy również nierówność Taylora-Lagrange'a w znormalizowanych przestrzeniach wektorowych, która rozwinęła się „we współrzędnych” w danym przypadku i daje:
mi=Rp{\ Displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {p}}
fa=R{\ displaystyle F = \ mathbb {R}}![{\ displaystyle F = \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153faf37401acde5841386b70649e8616aabdea0)
Niech O będzie funkcją otwarto- zakończoną ℝ p i f funkcją n + 1 razy różniczkowalną od O w ℝ. Więc za wszystko :
[w,x]⊂O{\ Displaystyle \ lewo [a, x \ w prawo] \ podzbiór O}![{\ Displaystyle \ lewo [a, x \ w prawo] \ podzbiór O}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc114fa77301f7ee1808e6acce6cbf7c602965e1)
fa(x)=∑|α|=0nie1α!∂αfa(w)∂xα(x-w)α+∑|α|=nie+1Rα(x)(x-w)α{\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {| \ alfa | = 0} ^ {n} {\ Frac {1} {\ alfa!}} {\ Frac {\ częściowe ^ {\ alfa} f (a) } {\ częściowe x ^ {\ alpha}}} (xa) ^ {\ alpha} + \ sum _ {| \ alpha | = n + 1} R _ {\ alpha} (x) (xa) ^ {\ alpha }}![f (x) = \ sum _ {{| \ alpha | = 0}} ^ {n} {\ frac 1 {\ alpha!}} {\ frac {\ części ^ {\ alpha} f (a)} {\ częściowe x ^ {\ alpha}}} (xa) ^ {\ alpha} + \ sum _ {{| \ alpha | = n + 1}} R _ {{\ alpha}} (x) (xa) ^ {\ alpha}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab7f9fda3a46e878e0cc015be3f859ef6573610)
gdzie sumy odnoszą się do wielu wskaźników α, a reszta spełnia nierówność
|Rα(x)|≤łyky∈[w,x]|1α!∂αfa(y)∂xα|{\ Displaystyle | R _ {\ alfa} (x) | \ równoważnik \ sup _ {y \ in \ lewo [a, x \ prawo]} \ lewo | {\ Frac {1} {\ alfa!}} {\ frac {\ częściowe ^ {\ alpha} f (y)} {\ częściowe x ^ {\ alpha}}} \ right |}![{\ Displaystyle | R _ {\ alfa} (x) | \ równoważnik \ sup _ {y \ in \ lewo [a, x \ prawo]} \ lewo | {\ Frac {1} {\ alfa!}} {\ frac {\ częściowe ^ {\ alpha} f (y)} {\ częściowe x ^ {\ alpha}}} \ right |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff264111e8536f0f0cebfa961e6644f89feb2e82)
dla wszystkich α takich, że | α | = n + 1 (jeśli f jest klasy C n + 1 , górna granica powyżej jest skończona).
Uwagi i odniesienia
-
Taylor, Methodus inkrementorum directa & inversa , Prop.VII, theo. III, s. 21 .
-
Artykuł na temat Taylora precyzuje, że: „W rzeczywistości pierwsza wzmianka Taylora o tym, co dziś nazywa się„ twierdzeniem Taylora ”, pojawia się w liście, który ten ostatni napisał do Machina 26 lipca 1712 r. W tym liście Taylor wyjaśnia wyraźnie, skąd to wziął Pomysł z, to znaczy z komentarza, który Machin poczynił w Child's Coffeehouse, używając „serii Sir Isaaca Newtona” do rozwiązania problemu Keplera, a także używając „Metody wyodrębniania korzeni” równań wielomianowych dr Halleya. W rzeczywistości istnieją dwie wersje twierdzenia Taylora podane na papierze z 1715 r. W pierwszej wersji twierdzenie pojawia się w twierdzeniu 11, które jest uogólnieniem metod aproksymacji pierwiastków równania Keplera przez Halleya, które wkrótce stanie się konsekwencją szeregu Bernoulliego. . To właśnie ta wersja została zainspirowana wcześniejszymi rozmowami w Coffeehouse. Druga wersja to Wniosek 2 ze Stwierdzenia 7, który jest metodą znajdowania większej liczby rozwiązań równań strumieniowych w nieskończonych szeregach. Taylor jako pierwszy zobaczył ten wynik! "
-
W swojej pracy Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale (1884), s. XVII, Giuseppe Peano wskazuje, że w 1694 roku Jean Bernoulli podał formułę równoważną formule Taylora. por. Jean Bernoulli, Additamentum effectionis omnium quadraturarum & rectificationum curvarum per seriem quandam generalissimam , Opera Omnia , t. I , str. 126 .
-
(w) Brook Taylor (trad. Ian Bruce), Cyril inkrementorum direct and reverse , propozycja VII, Theorem III, Corollary II, London, 1715 [ czytaj online ] .
-
Jean-Luc Chabert i in. Historia algorytmów, od kamienia do chipa , Belin (1993), str. 455
-
Joseph-Louis Lagrange, Lekcje na temat obliczania funkcji , 1799, wydana ponownie w 1806, lekcja dziewiąta, str. 88: „Dopóki rozwój ten służy jedynie generowaniu funkcji pochodnych, nie ma znaczenia, czy ciąg ciągnie się w nieskończoność, czy nie; dzieje się tak również wtedy, gdy rozpatrujemy rozwój jedynie jako prostą analityczną transformację funkcji; ale jeśli chcemy go użyć, aby mieć wartość funkcji w określonych przypadkach, jako wyrażenie o prostszej formie [...], to mając możliwość uwzględnienia tylko określonej liczby plus lub mniej wyrazów, ważne jest, aby mieć sposób na ocenę pozostałej części szeregu, który jest zaniedbywany, lub przynajmniej znalezienie granic błędu, który popełnia się przez zaniedbanie tej reszty. "
-
Zobacz na przykład § „Formuły Taylora” rozdziału „Ograniczony rozwój” na Wikiversity .
-
Zobacz na przykład to poprawione ćwiczenie z lekcji „Funkcje zmiennej rzeczywistej” na Wikiversity .
-
Wzory Taylora , kurs Jean-François Burnola.
-
(w) Eric W. Weisstein , „ Cauchy Remainder ” na MathWorld .
-
(w) Rodney Coleman, Calculus is Normed Vector Spaces , Springer ,2012( czytaj online ) , s. 108.
-
Aby uzyskać dowód, zobacz na przykład „Wzór Taylora-Younga” w lekcji „Rachunek różniczkowy” na Wikiwersytecie .
-
Coleman 2012 , s. 110.
Bibliografia
- Jacqueline Lelong-Ferrand i Jean-Marie Arnaudiès , kurs matematyki , t. 2: Analiza , Bordas,1977
- Claude Deschamps i André Warusfel , integruję: pierwszy rok matematyki , Dunod, 1999
-
Joseph-Louis Lagrange , Teoria funkcji analitycznych zawierająca zasady rachunku różniczkowego, uwolniona od wszelkich rozważań o nieskończenie małych lub znikających czynnikach, granicach lub zmianach i zredukowana do algebraicznej analizy wielkości skończonych (1797), Journal de the Polytechnic School, 9 sekcja , t. III, § 52, s. 49
Zobacz też
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">