W matematyce , integralną Bochner , który nosi imię jego twórcy Salomon Bochner , rozszerza definicję całki Lebesgue'a do funkcji o wartościach w przestrzeni Banacha , jako granicy całek inscenizowanych funkcji .
Niech ( X , Σ, μ) będzie przestrzenią mierzoną . Staramy się budować całkę dla funkcji określonych na X o wartościach w Banach B przestrzeni . Całkę Bochnera definiuje się podobnie do całki Lebesgue'a. Przede wszystkim funkcja schodkowa to dowolna skończona suma postaci:
gdzie E i są członkami Ď-Algebra Ď The b i są elementy B i χ E jest funkcją charakterystyczną od E , zwany również funkcję wskaźnika. Jeśli μ ( E i ) jest skończone niezależnie od b i ≠ 0, to funkcja etapowa jest całkowana, a całka jest zdefiniowana przez:
dokładnie tak, jak dla zwykłej całki Lebesgue'a (sprawdza się, czy definicja ta nie jest dwuznaczna , chociaż nie narzuca się E i rozłączności). Funkcja mierzalna Bochnera (en) ƒ : X → B jest całkowalna w sensie Bochnera, jeśli istnieje sekwencja integrowalnych funkcji etapowych s n taka, że:
gdzie całka po lewej stronie jest zwykłą całką Lebesgue'a. W tym przypadku całka Bochnera jest definiowana przez:
Funkcja jest całkowalna w sensie Bochnera wtedy i tylko wtedy, gdy należy do przestrzeni Bochnera (en) L 1 .
Wiele znanych własności całki Lebesgue'a jest prawdziwych dla całki Bochnera. Kryterium całkowalności Bochnera jest szczególnie przydatne, ustala, że jeśli ( X , Σ, μ) jest przestrzenią mierzoną, to funkcja mierzalna w sensie Bochnera ƒ : X → B jest całkowalna w sensie Bochnera wtedy i tylko wtedy, gdy:
Mówi się, że funkcja ƒ : X → B jest mierzalna w sensie Bochnera, jeśli jest równa μ-prawie wszędzie funkcji g o wartościach w oddzielnej podprzestrzeni B 0 z B i takiej, że odwrotny obraz g −1 ( U ) dowolnej otwartej części U w B należy do Σ. Równoważnie, ƒ jest μ-prawie wszędzie granicą sekwencji funkcji krokowych.
Jeśli T jest ciągłym operatorem liniowym, a ƒ jest całkowalne w sensie Bochnera, to Tƒ jest całkowalne w sensie Bochnera, a całkowanie i T można zamienić:
Ten wynik jest również prawdziwy dla operatorów zamkniętych, pod warunkiem, że Tƒ jest również integrowalna, co jest trywialnie prawdziwe dla operatorów T ograniczonych zgodnie z wyżej wymienionym kryterium.
Wersja twierdzenia o zdominowanej zbieżności dotyczy całki Bochnera. W szczególności, jeśli ƒ n : X → B jest sekwencją mierzalnych funkcji w całej mierzonej przestrzeni, która zbiega się prawie wszędzie do funkcji granicznej ƒ i jeśli istnieje g ∈ L 1 (μ) takie, że
dla prawie wszystkich x ∈ X , a następnie
kiedy n → ∞ i
dla wszystkich E ∈ Σ.
Jeśli ƒ jest całkowalne w sensie Bochnera, to nierówność
jest prawdziwe dla wszystkich E ∈ Σ. W szczególności funkcja
definiuje pomiar wektorowy (en), sumarycznie addytywny na X z wartościami w B , który jest absolutnie ciągły względem μ.
Ważną właściwością całki Bochnera jest to, że twierdzenie Radona-Nikodyma na ogół nie ma zastosowania. Prowadzi to do zdefiniowania tzw. Własności Radona-Nikodyma dla przestrzeni Banacha. Jeśli μ jest miarą na ( X , Σ), to B ma właściwość Radona - Nikodyma względem μ, jeśli dla dowolnej policzalnej addytywnej miary wektorowej na ( X , Σ) z wartościami w B , z ograniczoną zmiennością i absolutnie ciągłą w odniesieniu do μ istnieje funkcja μ-integrowalna g : X → B taka, że:
dla dowolnego mierzalnego zbioru E ∈ Σ.
Przestrzeń Banacha B ma własność Radona-Nikodyma, jeśli B ma tę własność w odniesieniu do dowolnej skończonej miary . Przestrzeń ℓ 1 ma taką właściwość, ale nie jest to przypadek przestrzeni c 0 lub przestrzenie , w postaci związanej przez i do K o zwartej nieskończoności. Przestrzenie z właściwością Radona-Nikodyma obejmują rozdzielne przestrzenie podwójne (twierdzenie Dunforda - Pettisa ) i przestrzenie refleksyjne , w szczególności przestrzenie Hilberta .
Całka Pettisa (w)