W matematyce , twierdzenie Desargues , nazwany po matematyk i architekt Gérard Desargues , to twierdzenie z geometrii rzutowej , która ma kilka wariantów geometrii poprawia . Jest to określone tylko w odniesieniu do wyrównania punktów i przecięcia linii (patrz obok).
Twierdzenie Desarguesa jest zademonstrowane na płaszczyźnie lub w przestrzeni zbudowanej na jakimkolwiek ciele (niekoniecznie przemiennym ). Przejawia się to również w przestrzeni o wymiarze większym lub równym 3, charakteryzowanej aksjomatycznie pod względem występowania (np. W przypadku geometrii afinicznej aksjomaty Hilberta ).
Geometrię płaszczyzny może być wykorzystany do pewnik, i charakteryzuje się między płaszczyznami postrzegane jako struktury padania, które może być wykonana na korpusie (patrz, na afinicznej przypadku Afiniczna Samolot (struktura zakres) i Płaszczyzny arguesian afinicznej ) .
Ze słabej formy twierdzenia Desarguesa na płaszczyźnie rzeczywistej, a bardziej ogólnie na płaszczyźnie dowolnego pola, wnioskujemy o rzutowym twierdzeniu Desarguesa, a przez to o silnej afinicznej postaci twierdzenia.
W geometrii afinicznej stwierdzenie twierdzenia Desarguesa musi zostać zmodyfikowane i uzupełnione, aby uwzględnić paralelizm . Jednak dwa proste przypadki specjalne, które następują, są często nazywane twierdzeniem Desarguesa.
Twierdzenie afiniczne Desarguesa (słaba forma) - Niech p, q i r będą trzema różnymi liniami współbieżnymi lub równoległymi i niech ABC i A'B'C 'będą dwoma trójkątami takimi, że A i A' są na p, B i B ' na q i C i C ' na r .Jeśli (AB) // (A'B ') i (AC) // (A'C') to (BC) // (B'C '). I odwrotnie - niech p, q, r będą trzema różnymi liniami i niech ABC i A'B'C 'będą dwoma trójkątami takimi, że A i A' są na p, B i B ' na q oraz C i C' na r .Jeśli (AB) // (A'B '), (BC) // (B'C') i (CA) // (C'A '), to linie p, q, r są współbieżne lub równoległe.W pierwszej konfiguracji twierdzenie jest wywnioskowane z twierdzenia Talesa i jego odwrotności. Nazwijmy S punktem przecięcia trzech prostych p , q , r . Przez Thales „twierdzenie w trójkącie, że stosunki algebraicznych środków z AF / SA” i SB / SB „z jednej strony, SA / AF” i SC / SC „ z drugiej strony są równe, zatem SB / SB” i SC / SC ' są równe i odwrotnie do tego samego twierdzenia (BC) // (B'C').
W drugiej konfiguracji rozpoznajemy dwa równoległoboki mające jeden wspólny bok; pozostałe dwa równoległe boki określają następnie równoległobok.
Odwrotność jest wywnioskowana z bezpośredniego znaczenia metodą „fałszywej pozycji”, rozróżniając dwa przypadki w zależności od tego, czy dwie linie spośród 3 w grze, weźmy (AA ') i (BB'), są sieczne czy równoległe. W pierwszym przypadku niech S będzie punktem przecięcia (AA ') i (BB'), a M na (SC) takim, że (A'M) // (AC): warunki bezpośredniego sensu Desargues ' Twierdzenie są spełnione, przyjmując poprzednie zapisy, M zamiast C ', więc (MB') // (CB). Jest jednak tylko jeden punkt zlokalizowany, z jednej strony na równoleżniku do (AC) prowadzony przez A ', z drugiej strony na równoleżniku do (BC) prowadzony przez B' i tym punktem jest C '. Zatem M i C 'są połączone, a punkty SCC' są wyrównane. Drugi przypadek również wywodzi się z bezpośredniego znaczenia w podobny sposób.
Powyższy dowód w żaden sposób nie zakłada, że płaszczyzna jest euklidesowa , ani nawet, że skalary są rzeczywiste , ponieważ używa twierdzenia Talesa tylko w płaszczyźnie afinicznej na dowolnym polu (pojęcie stosunku dwóch miar algebraicznych na prostej jest czysto afiniczne , zobacz powiązany artykuł).
Inny dowód - wciąż na płaszczyznę afiniczną na jakimkolwiek polu - polega na obserwacji, że dwie konfiguracje afinicznego twierdzenia Desarguesa ujawniają, że jedna jest homoteią , druga przekładem , i wykorzystuje właściwości tych transformacji afinicznych, które przekształcają linię w linia równoległa.
Stwierdzenie podane na początku artykułu dzieli się na dwie implikacje, z których jedna jest podwójna w stosunku do drugiej. Rzeczywiście nazwijmy linie, które są bokami dwóch trójkątów ABC i A'B'C 'w następujący sposób: a = (BC), a' = (B'C '), b = (AC), b' = (A'C '), c = (AB), c' = (A'B '). Twierdzenie Desarguesa można sformułować następująco.
Twierdzenie o projekcji Desarguesa. - Dwa trójkąty (nie płaskie) ABC i A'B'C ' boków a, b, c oraz a', b ', c' nazwane jak wskazano w preambule, mają swoje wierzchołki od 2 do dwóch różnych , A z A ', B z B' i C z C ', w 3 różnych wierszach p = (AA'), q = (BB ') i r = (CC'):
Bezpośrednie znaczenie rzutowego twierdzenia Desarguesa sprowadza się do bezpośredniego znaczenia afinicznego twierdzenia Desarguesa (słaba forma powyżej), jak następuje. Wybieramy dwa z punktów, na przykład Q i R, oraz linię (QR) jako linię w nieskończoności. Dopełnienie tej linii na płaszczyźnie rzutowej ma więc strukturę afiniczną płaszczyzny. Na tej płaszczyźnie podobieństwa R jest w nieskończoności przekłada się na (AB) // (A'B '), a Q w nieskończoności przez (AC) // (A'C'). Hipoteza zbieżności w S linii p, q i r powoduje, że p, q i r są współbieżne lub równoległe, w zależności od tego, czy punkt współbieżności S znajduje się na prostej w nieskończoności (QR), czy nie. Te dwa przypadki są dokładnie dwoma przypadkami słabej formy afinicznej powyżej, której hipotezy są następnie weryfikowane i w każdym z dwóch przypadków wnioskujemy, że (BC) // (B'C '). Ale interpretowane na płaszczyźnie rzutowej, oznacza to, że p = (BC) ∩ (B'C ') jest w nieskończoności, to znaczy na linii (QR) i pokazano twierdzenie Desargues'a o rzutowaniu (znaczenie bezpośrednie).
Odwrotność jest wydedukowana przez dualność (można ją również wywnioskować z odwrotności słabego twierdzenia afinicznego, ale także, odwrotnie, wydedukować odwrotność twierdzenia afinicznego na podstawie dualności, poprzez płaszczyznę rzutowania).
Z projekcyjnego twierdzenia Desarguesa wywnioskujemy silną formę afiniczną, która jest trudniejsza do określenia, twierdzenie jest zasadniczo rzutowe. Uzyskuje się ją wybierając jako linię prostą w nieskończoności dowolną linię prostą płaszczyzny rzutowania. Każdy punkt w nieskończoności odpowiada afinicznie kierunkowi linii (wszystkie proste równoległe do danej linii). Trzy równoległe linie w rzutach mogą być równoległe lub sieczne w otrzymanej płaszczyźnie afinicznej, w zależności od tego, czy punkt zbieżności znajduje się w nieskończoności. Trzy wyrównane punkty odpowiadają albo 3 wyrównanym punktom (żaden z nich nie jest w nieskończoności) lub 3 kierunkom równoległych linii (wszystkie 3 są w nieskończoności) lub dwóm punktom i jednej linii kierunkowej równoległej do linii przechodzącej przez te dwa punkty (tylko jeden z 3 punktów w nieskończoności).
Stwierdzenie twierdzenia jest zatem następujące.
Twierdzenie afiniczne Desarguesa (forma silna). - Dwa trójkąty (nie płaskie) ABC i A'B'C ' mają swoje wierzchołki od 2 do dwóch różnych, A z A', B z B ' i C z C', na 3 różnych liniach p = (AA '), q = (BB ') i r = (CC'). Następnie 3 linie (AA '), (BB') i (CC ') są równoległe lub współbieżne wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z 3 następujących warunków :
W swojej książce Grundlagen der Geometrie (The Foundations of Geometry) opublikowanej w 1899 roku David Hilbert aksjomatyzuje geometrię euklidesową (w wymiarze 2 lub 3), identyfikując kilka grup aksjomatów, które zapewniają stopniową specjalizację w kierunku geometrii euklidesowej. Jego aksjomaty wykorzystują 3 rodzaje obiektów, punkty, proste i płaszczyzny oraz relacje między tymi obiektami, wywoływane z incydentu (punkt jest na prostej lub prosta przechodzi przez ten punkt). W przypadku płaszczyzny pierwsza grupa aksjomatów jest równoważna następującym (patrz płaszczyzna afiniczna (struktura incydentów) ):
Twierdzenie Desarguesa jest wyrażane w kategoriach częstości występowania, ale Hilbert pokazuje, że te aksjomaty nie pozwalają na jego wykazanie. Trzeba albo wziąć pod uwagę, że płaszczyzna ta jest zanurzona w przestrzeni ( patrz poniżej ), a aksjomaty występowania geometrii w przestrzeni są wtedy wystarczające, albo zastosować aksjomaty kongruencji (które umożliwiają wprowadzenie długości odcinków i pomiar kątów).
Innymi słowy, stwierdzenie to ma wartość aksjomatu w geometrii płaszczyzny afinicznej, a także w geometrii płaszczyzny rzutowej (gdzie wszystko to jest bezpośrednio transponowane). Wystarczy przyjąć bezpośrednie znaczenie jako aksjomat, ponieważ odwrotność jest z niego wydedukowana przez aksjomaty przypadku (patrz powyżej dowód w przypadku afinicznym).
Plany, afiniczne i projekcyjne, dla których jest ważny, nazywane są planami argumentami (lub désarguésiens) i są takie same jak plany, afiniczne lub projekcyjne, zbudowane na jakimkolwiek ciele (niekoniecznie przemiennym). Istnieją również plany niearguesowskie, spełniające powyższe aksjomaty incydentów, ale gdzie twierdzenie Desarguesa nie jest słuszne, takie jak to odkryte przez Hilberta lub prostsze odkryte przez Moultona w 1902 roku.
Możliwe jest również wyprowadzenie twierdzenia Desarguesa z mocniejszego aksjomatu. Zatem twierdzenie Hessenberga wyprowadza twierdzenie Desarguesa z „twierdzenia” Pappusa , a następnie przyjmuje je jako aksjomat. Aksjomat Pappusa charakteryzuje (oprócz aksjomatów zdarzenia) płaszczyzny na polu przemiennym.
Twierdzenie Desarguesa uogólnia w przestrzeni wyższego wymiaru, zarówno w afinie, jak i w rzutowaniu. Stwierdzenie to jest za każdym razem zasadniczo takie samo jak w geometrii płaskiej, ale trójkąty niekoniecznie są współpłaszczyznowe.
Twierdzenie Desarguesa zostało udowodnione, dla trójkątów współpłaszczyznowych lub nie, w przestrzeni dowolnego wymiaru na polu (niekoniecznie przemiennej), ale także w przestrzeni o wymiarze większym lub równym 3, w przypadku afinicznym tylko jedne aksjomaty występowania (wśród np. aksjomatów Hilberta ) i to samo w projekcji. Geometria inna niż arguesowska istnieje tylko w wymiarze 2.
Następujące bardzo proste aksjomaty, za sprawą Veblena i Younga (en) , charakteryzują przestrzenie rzutowe o dowolnym wymiarze, od wymiaru 2, przy czym płaszczyzna nie jest argumentem w wymiarze 2. Przyjmujemy, że biorąc pod uwagę niepusty zbiór punktów E , zbiór linii L i relacja częstości.
Podprzestrzenią E jest zbiorem punktów F jakby dwa odrębne punkty linii należącej do F wówczas wszystkie punkty tego prawa należą do F . Możemy zatem zdefiniować podprzestrzeń wygenerowaną przez zbiór punktów, czyli najmniejszą podprzestrzeń, która je zawiera. Przestrzeń rzutowa lub podprzestrzeń rzutowa ma skończony wymiar n, jeśli jest generowana przez n + 1 punktów i nie jest generowana przez n punktów. Podprzestrzeń generowana przez 3 nie wyrównane punkty jest płaszczyzną rzutową i pokazujemy, że dwie różne linie płaszczyzny rzutowej są zawsze sieczne w punkcie, dzięki drugiemu aksjomatowi przestrzeni rzutowych.
Twierdzenie Desarguesa można udowodnić tylko wtedy, gdy przyjmiemy, że przestrzeń ma co najmniej wymiar 3, tj. Dodamy aksjomat:
Ten aksjomat sprowadza się do istnienia dwóch niesiecznych linii. Aksjomatyzujemy płaszczyznę rzutową, dodając przeciwny aksjomat, że dwie proste są zawsze sieczne (drugi aksjomat jest wtedy bezużyteczny) i aksjomat, który ma „wystarczającą” liczbę punktów, ale te aksjomaty nie pozwalają udowodnić twierdzenia Desarguesa.
Stwierdzenie twierdzenia nie jest prawie zmodyfikowane, fakt, że istnieją punkty przecięcia, nazwane powyżej P, Q i R, jest teraz konsekwencją założenia w przypadku, gdy trójkąty nie są współpłaszczyznowe. Dowód bezpośredniego sensu jest szczegółowo przedstawiony poniżej:
Dwa trójkąty (nie płaskie) ABC i A'B'C ' mają swoje wierzchołki od 2 do dwóch różnych , A z A', B z B ' i C z C', na 3 różnych liniach p = (AA '), q = (BB ') i r = (CC'). Jeśli 3 linie p = (AA '), q = (BB') i r = (CC ') są współbieżne (w punkcie S ), to 2 linie (BC) i (B'C') są siecznymi, to samo (AC) i (A'C '), podobnie (AB) i (A'B') i otrzymano 3 punkty przecięcia P = (BC) ∩ (B'C '), Q = (AC) ∩ ( A'C ') i R = (AB) ∩ (A'B') są wyrównane .
Następująca demonstracja jest więc bardzo zbliżona do tej, którą ustanowił Desargues w 1638 roku.
Przypadek trójkątów nie współpłaszczyznowychHipotezy są zgodne z twierdzeniem Desarguesa. Załóżmy, że ABC i A'B'C 'nie są współpłaszczyznowe , a proste (AA'), (BB ') i (CC') sieczne w punkcie S. Wtedy proste (AA ') i (BB') są sieczne , zatem współpłaszczyznowa, a proste (AB) i (A'B ') są więc sieczne w punkcie R (drugi aksjomat przestrzeni rzutowych). Hipoteza zakłada również, że proste (AC) i (A'C ') są sieczne w punkcie Q, a (BC) i (B'C') sieczne w punkcie R. Następnie płaszczyzny (ABC) i (A „B'C”) są różne i oba zawierają P, Q i R. Ich przecięcie jest zatem prostą, która zawiera te trzy punkty, a P, Q i R są wyrównane.
Przypadek trójkątów współpłaszczyznowychNadal w przestrzeni o wymiarze większym lub równym 3 zakłada się, że oba trójkąty leżą na tej samej płaszczyźnie ∏. Zauważ, że rysunek przedstawiony we wstępie może być postrzegany jako perspektywiczna reprezentacja rysunku w wymiarze 3, to znaczy, że możemy rozpatrywać te trójkąty jako rzutowane na płaszczyznę trójkątów nie współpłaszczyznowych. Demonstracja jest szczegółowo opisana bardziej formalnie poniżej.
Następnie wybieramy punkt O na zewnątrz ∏ i punkt M na linii (OC). Punkty S, M i M 'są wyrównane w ∏, punkty 0, S, M, M' są na tej samej płaszczyźnie, a (SM) i (OC ') są sieczne, wtedy definiujemy M' = (SM) ∩ (0C '). Trójkąty ABM i A'B'M 'są wtedy w poprzedniej konfiguracji, a punkty przecięcia R, Q 0 = (AM) ∩ (A'M') i P 0 = (BM) ∩ (B'M ') są wyrównane. W rzucie centralnym wierzchołka O na ∏ otrzymujemy:
Skąd :
a więc
Wyrównanie R, Q 0 i P 0 skutkuje wówczas wyrównaniem R, Q i P. Wprowadziliśmy rzut stożkowy, ale łatwo zauważyć, że dowód w rzeczywistości wykorzystuje tylko właściwości wyrównania i przecięcia d podane przez aksjomaty .
(en) MI Voitsekhovskii , „Desargues assption” , w: Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , czytaj online )