Twierdzenie o włochatej kuli

W matematyce twierdzenie o włochatej kuli jest wynikiem topologii różniczkowej . Nakłada się go na kulę podtrzymującą w każdym punkcie wektor, wyobrażany jako włos, styczny do powierzchni. Twierdzi on, że funkcja kojarząca z każdym punktem kuli wektor dopuszcza co najmniej jeden punkt nieciągłości, co sprowadza się do stwierdzenia, że ​​fryzura zawiera szpikulce lub że są puste włosy, czyli łysienie.

Dokładniej, ciągłe pole wektorowe na kuli o parzystym wymiarze znika w co najmniej jednym punkcie.

Twierdzenie to po raz pierwszy zademonstrował Luitzen Egbertus Jan Brouwer w 1912 roku . To podejście uogólnia wyniki wykazano w przeszłości, takie jak twierdzenia Jordana lub pracach Leopolda Kroneckera na ciągły różniczkowalnych funkcji realnej sferze wymiaru n - 1 w przestrzeni wektorowej o wymiarze n .

Te wyniki, które są intuicyjnie łatwe do zrozumienia, wymagają, dla rygorystycznej demonstracji, czasami rozwoju technicznego. Archetypowym przykładem podobnego wyniku jest twierdzenie Brouwera o punkcie stałym . Twierdzi on, że każde ciągłe odwzorowanie zamkniętej kuli skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej euklidesowej na samą siebie dopuszcza punkt stały . Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym można wyprowadzić z twierdzenia o włochatej kuli.

Intuicyjne reprezentacje twierdzenia

Intuicyjnie możemy wyobrazić sobie kulę pokrytą elastycznymi włosami, a nie kręconymi, gdzie każdy punkt kuli jest korzeniem włosa. Rozważamy rzut włosa na płaszczyźnie stycznej do kuli w punkcie, w którym rośnie włos: zbiór tych rzutów daje dobre wyobrażenie o polu wektorów stycznych na kuli. Następnie staramy się ułożyć te włosy, spłaszczając je na powierzchni kuli i unikając nieciągłości: nie rozchylamy się, nie pozwalamy, aby włosy nagle zmieniły kierunek względem siebie. Twierdzenie mówi, że dojście do tego wyniku jest niemożliwe. Cokolwiek zrobimy, spowodujemy powstanie przynajmniej jednego ucha, czyli miejsca, w którym zjeży się włos.

Stany

Rzeczywista sfera wymiaru n jest częścią wektorów normy euklidesowej 1, czyli: Rnie+1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}

Snie={(x0,...,xnie)∈Rnie+1|x02+⋯+xnie2=1}.{\ displaystyle S ^ {n} = \ {(x_ {0}, \ kropki, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1} \ mid x_ {0} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} = 1 \}.}

Zapewniamy ten zestaw z topologią przez w odległości euklidesowej . Ta przestrzeń topologiczna jest połączony i zwarty podrozmaitością o wymiarze n . Intuicyjnie, jeśli v jest wektorem jednostkowym , a więc punktem S n , do kuli w sąsiedztwie v można zbliżyć się hiperpłaszczyzną afiniczną ℝ n +1 przechodzącą przez v i prostopadłą do v  ; wymiar odnosi się do wymiaru tej hiperpłaszczyzny, która jest podprzestrzenią afiniczną . Pole wektorowych na S n może być zdefiniowana jako mapa , że dla każdej V w S n , X ( V ) jest prostopadła do v . Pole jest określane jako ciągłe, jeśli aplikacja jest ciągła . X:Snie→Rnie+1{\ displaystyle X: \; S ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n + 1}}

Twierdzenie o włochatej kuli  -  Na sferze rzeczywistej S n, której wymiar n jest parzysty, każde ciągłe pole wektorowe X znika w co najmniej jednym punkcie: istnieje v (w zależności od X ) takie, że X ( v ) = 0 .

W wymiarze nieparzystym n = 2 m + 1 , istnieją pola wektorów ciągłych i jeszcze lepiej analitycznych , które w żadnym momencie się nie znoszą: dla dowolnego wektora v = ( s 0 , t 0 ,…, s m , t m ) z ℝ n +1 = ℝ 2 ( m + 1) , wektor X ( v ): = (- t 0 , s 0 ,…, - t m , s m ) jest prostopadły do v  ; dlatego jeśli v jest unitarne, X ( v ) jest styczne w v do sfery, która jasno definiuje pole wektorów X na S 2 m + 1 , ciągłe i nigdy zerowe.

Wizualna demonstracja zwykłej sfery

Chcemy pokazać, że nie może istnieć styczne i ciągłe pole wektorowe, które nigdy nie znika na zwykłej sferze w przestrzeni trójwymiarowej. Będziemy rozumować przez absurd i przypuśćmy, że na sferze istnieje styczne, ciągłe pole wektorów, które nigdy nie zanika.

Wywodzi się z odważnego, pomarańczowego równika , koła podbiegunowego podbiegunowego i koła podbiegunowego Antarktyki i nie powinien poruszać się równolegle w kierunku wschodnim . Rysujemy styczne pole wektorowe w regionach arktycznych i antarktycznych. To pole wektorowe jest mniej więcej w stałym kierunku i możemy sobie wyobrazić, że jest to wiatr . Jeśli czytelnikowi przeszkadza myśl, że wiatr wieje w mniej więcej stałym kierunku nad tak dużym obszarem, wystarczy skrócić te obszary myślowo, a ponieważ zakłada się, że pole wektorowe reprezentujące wiatr jest ciągłe, z pewnością będzie obszar wystarczająco mały, aby wiatr mógł wiać w ustalonym kierunku, z dokładnością do pomiarów.

Następnie wprowadzamy ruchomy marker, reprezentowany przez papierową figurkę: Marinette. Marinette będzie mogła poruszać się po równoleżnikach pomarańczy, a do robienia zdjęć musieliśmy zrobić papierową Marinette, naklejoną na długą szpilkę z płaską plastikową główką. Kiedy Marinette idzie do przodu, kieruje się w stronę pierwszego wektora bazowego . Jej lewa ręka jest w kierunku drugiego wektora podstawowego, a kierunek od stóp Marinette do głowy jest zgodny z kierunkiem trzeciego wektora podstawowego, tworząc w ten sposób bezpośredni sygnał.

• Widzimy pomarańczę wytatuowaną z równikiem oraz kołami arktycznymi i antarktycznymi. Kierunek podróży to wschód, wskazany strzałkami.

• Wiatr jest niebiesko-zielony, a koło podbiegunowe fioletowe.

• Wiatr jest niebiesko-zielony, a koło podbiegunowe fioletowe.

• Marinette: Figurka jest zrobiona z papieru przyklejonego do długiej szpilki z płaską główką, która jest pokazana dla tych, którzy chcą powtórzyć „eksperyment”.

Marinette zmienia kolor na pomarańczowy, poruszając się równolegle na wschód i obserwuje kierunek wiatru. Kiedy krąży na wschód od koła podbiegunowego, wiatr kręci się wokół jej głowy w następujący sposób: ma go z tyłu, potem wieje z lewej, potem na figurze, z prawej i znowu z tyłu. Ponieważ Marinette zna konwencje matematyków, mówi, że w stosunku do niej wiatr wykonuje obrót wsteczny , czyli obrót zgodny z ruchem wskazówek zegara.

Kiedy Marinette krąży na wschód od Koła Antarktycznego, ma wiatr za plecami, potem wieje z prawej, potem ma go w twarz, potem z lewej i znowu w plecy. Zatem w porównaniu do Marinette wiatr skręca w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, czyli w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

• Marinette okrąża biegun północny wzdłuż koła podbiegunowego, poruszając się na wschód, a w jej punkcie orientacyjnym wiatr obraca się wokół niej w kierunku ujemnym.

• Marinette okrąża Biegun Południowy wzdłuż Koła Antarktycznego poruszając się na wschód, a w jej punkcie orientacyjnym wiatr obraca się wokół niej w pozytywnym kierunku.

Nie ma potrzeby omijania równika, aby wyobrazić sobie, co się wydarzy: jeśli wiatr wieje wszędzie wzdłuż równika, Marinette okrąży określoną liczbę zakrętów, gdy będzie podążać swoją ścieżką. Nie wiemy ile zwojów, ale wiemy, że będzie to liczba całkowita, dodatnia, ujemna lub zero. Wiemy również, że na każdym równoleżniku, gdzie wiatr wieje wszędzie, wykona on w stosunku do niego całą liczbę zakrętów. Na koniec mówimy sobie, że liczba zwojów wiatru musi być ciągła względem szerokości równoleżnika. Wyobraźmy sobie, że wiatr w układzie równoległym wykonuje 5 zakrętów, a nieco bardziej na północ, robi tylko 4; w tym przypadku albo wiatr gdzieś się znosi, albo jest nieciągły.

Teraz, wraz z Marinette, wiemy, jak zademonstrować twierdzenie o włochatej kuli: jeśli wiatr wieje wszędzie na pomarańczowej ziemi, zmieniając się w sposób ciągły, to liczba jego skrętów w stosunku do podróżnika poruszającego się w kierunku równoleżnika na wschód nie zależy od szerokości geograficznej . Ale robi –1 obrót na równoleżniku wystarczająco blisko bieguna północnego i +1 obrót na równoleżniku wystarczająco blisko bieguna południowego. Więc istnieje sprzeczność!

Formalizacja demonstracji wizualnej

Ta formalizacja będzie najpierw geometryczna, a potem analityczna dla tych, którzy czują się pewniej w kwestiach orientacji, kiedy wszystko jest napisane . Rozumujemy absurdem, zakładając, że istnieje ciągłe pole wektorowe styczne, które nie znosi się nigdzie na sferze . v(x){\ styl wyświetlania v (x)}S2{\ styl wyświetlania S ^ {2}}

Wersja geometryczna

Wybieramy na sferze biegun północny i biegun południowy, a także orientację. Możemy wtedy mówić o paralelach sfery i ciągle je orientować. Ponadto na sferze można określić ruchomy punkt odniesienia stycznej, poza biegunami północnym i południowym. Pierwszy wektor ruchomej ramy jest styczny do równoleżnika przechodzącego przez ten punkt i zorientowany w kierunku ruchu równoleżników, a drugi wektor jest prostopadły do ​​pierwszego, z kierunkiem wybranym tak, aby odpowiadał orientacji kuli. Pole wektorów dopuszcza dekompozycję w ruchomym układzie współrzędnych. W ten sposób z dowolnym równoległością można powiązać liczbę zwojów: jest to liczba zwojów pola wektorów w ruchomym znaczniku odniesienia wzdłuż tego równoleżnika. Ta liczba jest dobrze zdefiniowana, ponieważ pole wektorowe nie znosi się. Zależy ona w sposób ciągły od szerokości równoleżnika, zgodnie ze standardowymi wynikami o ciągłości liczby uzwojeń i jest liczbą całkowitą. Jest więc stały. v{\ styl wyświetlania v}

Obliczamy tę liczbę uzwojeń w pobliżu bieguna północnego. Wprawdzie ruchomy układ odniesienia przestaje być definiowany na biegunie północnym, ale aby przezwyciężyć tę trudność, rozciąga się równoleżnik w pobliżu bieguna północnego w okrąg o jednostkowym promieniu i rzutuje zarówno pole wektorowe, jak i ruchomą ramę odniesienie na płaszczyźnie stycznej do bieguna północnego. Orientacja tej płaszczyzny stycznej jest dedukowana z orientacji kuli. Przez ciągłość liczba uzwojeń nie zmienia się podczas tej transformacji. Ostatecznie transformowana ruchoma rama obraca się raz wokół bieguna, w kierunku równoleżników, a zatem pole wektorowe obraca się raz w ruchomej ramie. Liczba uzwojeń jest zatem warta m, a m jest warta +1 lub –1, w zależności od wyboru orientacji równoleżników. v{\ styl wyświetlania v}

Zgodnie z tym samym rozumowaniem w pobliżu bieguna południowego rama ruchoma obraca się raz wokół bieguna południowego w kierunku równoleżników, ale aby zachować orientację zgodną z orientacją kuli, jako płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej, płaszczyzna styczna do bieguna południowego jest zorientowana w kierunku przeciwnym do płaszczyzny stycznej do bieguna północnego, a zatem numer uzwojenia pola wynosi . Mamy pożądaną sprzeczność. -m{\ styl wyświetlania -m}

Wersja analityczna

Oznaczamy aktualny punkt kuli i pole wektorowe. Sferę parametryzujemy we współrzędnych sferycznych , zakładając, że ma ona promień 1: x{\ styl wyświetlania x}v(x){\ styl wyświetlania v \ lewy (x \ prawy)}

x1=sałata⁡θsałata⁡φ,x2=grzech⁡θsałata⁡φ,x3=grzech⁡φ{\ displaystyle x_ {1} = \ cos \ theta \ cos \ phi, \ quad x_ {2} = \ sin \ theta \ cos \ phi, \ quad x_ {3} = \ sin \ phi}

z i0≤θ<2π{\ styl wyświetlania 0 \ leq \ theta <2 \ pi}-π/2≤φ≤π/2.{\ displaystyle - \ pi/2 \ leq \ phi \ leq \ pi/2.}

Zauważ, że ta parametryzacja nie definiuje ani bijekcji ani a fortiori a diffeomorfizmu .

W każdym punkcie kuli odmiennym od bieguna północnego i południowego wprowadza się ruchomy układ odniesienia utworzony przez dwa wektory styczne do kuli:

• mi1(θ,φ){\ displaystyle e_ {1} \ lewy (\ theta, \ phi \ prawy)}, współrzędne i(-grzech⁡θ,sałata⁡θ,0){\ displaystyle \ lewo (- \ sin \ theta, \ quad \ cos \ theta, \ quad 0 \ prawo)}
• mi2(θ,φ){\ displaystyle e_ {2} \ lewy (\ theta, \ phi \ prawy)}, współrzędne .(-grzech⁡φ⋅sałata⁡θ,-grzech⁡φ⋅grzech⁡θ,sałata⁡φ){\ displaystyle \ lewo (- \ sin \ phi \ cdot \ cos \ theta, \ quad - \ sin \ phi \ cdot \ sin \ theta, \ quad \ cos \ phi \ prawy)}

Jest natychmiastowe, że ta podstawa stale zależy od i dla i . θ{\ styl wyświetlania \ theta}φ{\ styl wyświetlania \ phi}0≤θ<2π{\ styl wyświetlania 0 \ leq \ theta <2 \ pi}-π/2≤φ<π/2{\ displaystyle - \ pi/2 \ leq \ phi <\ pi/2}

W tej bazie i oczywiście poza biegunami północnym i południowym pole wektorowe przyjmuje współrzędne: v(x){\ styl wyświetlania v \ lewy (x \ prawy)}

• w1(θ,φ)=mi1(θ,φ)⋅v(x(θ,φ)){\ displaystyle w_ {1} \ lewy (\ theta, \ phi \ prawy) = e_ {1} \ lewy (\ theta, \ phi \ prawy) \ cdot v \ lewy (x \ lewy (\ theta, \ phi \ po prawej) \ po prawej)} i
• w2(θ,φ)=mi2(θ,φ)⋅v(x(θ,φ)).{\ displaystyle w_ {2} \ lewo (\ theta, \ phi \ prawo) = e_ {2} \ lewo (\ theta, \ phi \ prawo) \ cdot v \ lewo (x \ lewo (\ theta, \ phi \ po prawej) \ po prawej).}

Współrzędne te zależą w sposób ciągły od i , od . Ponadto okresowo zależą one od , z kropką , i nie znoszą się nawzajem jednocześnie. θ{\ styl wyświetlania \ theta}φ{\ styl wyświetlania \ phi}[0,2π[×[-π/2,π/2[{\ styl wyświetlania \ lewo [0,2 \ pi \ prawo [\ razy \ lewo [- \ pi/2, \ pi/2 \ prawo [}θ{\ styl wyświetlania \ theta}2π{\ styl wyświetlania 2 \ pi}

Dla wszystkiego rozumianego ściśle pomiędzy i można w ten sposób określić liczbę zwojów pola wektorów φ{\ styl wyświetlania \ phi}-π/2{\ styl wyświetlania - \ pi / 2}π/2{\ styl wyświetlania \ pi/2}

(w1(⋅,φ),w2(⋅,φ)){\ displaystyle \ lewy (w_ {1} \ lewy (\ cdot, \ phi \ prawy), \ quad w_ {2} \ lewy (\ cdot, \ phi \ prawy) \ prawy)}

na okręgu jednostkowym. Jest to liczba całkowita , będąca funkcją ciągłą liczby , a zatem stała. nie{\ styl wyświetlania n}φ∈]-π/2,π/2[{\ styl wyświetlania \ phi \ in] - \ pi/2, \ pi/2 [}

Obliczymy teraz liczbę zwojów pola wektorowego w pobliżu bieguna północnego i południowego, aby uzyskać sprzeczność.

Niech będzie wartością pola wektorowego na biegunie północnym. Jego trzy składniki to . Poprzez ciągłość pola możemy znaleźć takie, że: vŻ{\ displaystyle {\ bar {czas.}}}(0,vŻ1,vŻ2){\ displaystyle \ lewy (0, \ quad {\ bar {v}} _ {1}, \ quad {\ bar {v}} _ {2} \ prawy)}α>0{\ styl wyświetlania \ alfa> 0}

π/2-α≤φ<π/2⟹|v(x(θ,φ))-vŻ|≤1/4.{\ displaystyle \ pi / 2- \ alfa \ leq \ phi <\ pi / 2 \ quad \ implikuje \ quad \ lewy | v \ lewy (x \ lewy (\ theta, \ phi \ prawy) \ prawy) - {\ bar {v}} \ prawy | \ leq 1/4.}

Możemy również wybrać na tyle małe, aby mieć α{\ styl wyświetlania \ alfa}

|vŻ|⋅|1-grzech⁡φ|≤1/4.{\ displaystyle \ lewy | {\ bar {v}} \ prawy | \ cdot \ lewy | 1- \ sin \ phi \ prawy | \ leq 1/4.}

Jeśli zauważymy:

zŻ(θ)=(-vŻ1grzech⁡θ+vŻ2sałata⁡θ-vŻ1sałata⁡θ-vŻ2grzech⁡θ)=(zŻ1(θ)zŻ2(θ)),{\ displaystyle {\ bar {z}} \ lewo (\ theta \ prawo) = {\ początek {pmatrix} - {\ bar {v}} _ {1} \ grzech \ teta + {\ bar {v}} _ {2} \ cos \ theta \\ - {\ bar {v}} _ {1} \ cos \ theta - {\ bar {v}} _ {2} \ sin \ theta \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ bar {z}} _ {1} \ left (\ theta \ right) \\ {\ bar {z}} _ {2} \ left (\ theta \ right) \ end {pmatrix}} ,}

wtedy obliczenia dają

|w1(θ)-zŻ(θ)|≤1/4,|w2(θ)-zŻ2(θ)|≤1/4+|vŻ|⋅|1-grzech⁡φ|,{\ displaystyle \ lewy | w_ {1} \ lewy (\ teta \ prawy) - {\ bar {z}} \ lewy (\ teta \ prawy) \ prawy | \ leq 1/4, \ quad \ lewy | w_ { 2} \ lewy (\ teta \ prawy) - {\ bar {z}} _ {2} \ lewy (\ teta \ prawy) \ prawy | \ leq 1/4 + \ lewy | {\ bar {v}} \ prawo | \ cdot \ lewo | 1- \ sin \ phi \ prawo |,}

dla . π/2-α≤φ<π/2{\ styl wyświetlania \ pi / 2- \ alfa \ leq \ phi <\ pi / 2}

W związku z tym,

|w(θ,φ)-zŻ(θ)|≤5/4{\ displaystyle \ po lewej | w \ po lewej (\ theta, \ phi \ po prawej) - {\ bar {z}} \ po lewej (\ theta \ po prawej) \ po prawej | \ leq {\ sqrt {5}} / 4},

który pozostaje ściśle mniejszy niż . 1=|zŻ(θ)|{\ displaystyle 1 = \ lewo | {\ bar {z}} \ lewo (\ theta \ prawo) \ prawo |}

Więc ma taki sam numer uzwojenia jak i ten ostatni jest wart . w(⋅,φ){\ styl wyświetlania w \ lewy (\ cdot, \ phi \ prawy)}zŻ{\ displaystyle {\ bar {z}}}-1{\ styl wyświetlania -1}

To samo rozumowanie w okolicach bieguna południowego pokazuje, że jeśli pozujemy

z^(θ)=(-v^1grzech⁡θ+v^2sałata⁡θv^1sałata⁡θ+v^2grzech⁡θ)=(z^1(θ)z^2(θ)),{\ displaystyle {\ kapelusz {z}} (\ theta) = {\ zacząć {pmatrix} - {\ kapelusz {v}} _ {1} \ grzech \ theta + {\ kapelusz {v}} _ {2} \ cos \ theta \\ {\ hat {v}} _ {1} \ cos \ theta + {\ hat {v}} _ {2} \ sin \ theta \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} { \ kapelusz {z}} _ {1} (\ theta) \\ {\ kapelusz {z}} _ {2} (\ theta) \ end {pmatrix}},}

następnie dla wystarczająco blisko do , liczba uzwojeń z jest taka sama jak z , więc wynosi 1. φ{\ styl wyświetlania \ phi}-π/2{\ styl wyświetlania - \ pi / 2}w(⋅,φ){\ styl wyświetlania w \ lewy (\ cdot, \ phi \ prawy)}z^{\ displaystyle {\ kapelusz {z}}}

Mamy pożądaną sprzeczność.

Pokazy w dowolnym wymiarze

Bardzo analityczny pokaz zawdzięczamy Johnowi Milnorowi . W artykule, w którym przedstawia dowód, który następuje, Milnor przywołuje metodę Asimova, ale artykuł Asimova przywołuje koncepcje znacznie bardziej zaawansowane niż te, które zostaną tu przedstawione, a co za tym idzie, nie daje elementarnego światła na źródło tej zaskakującej demonstracji. Nieco inną wersję demonstracji podaje CA Rogers .

Dowód Milnora jest dowodem absurdalnym, opartym na konstrukcji określonej transformacji zależnej od rzeczywistego parametru t i rozważanego pola wektorowego.

Aby móc korzystać z narzędzi analitycznych, należy założyć, że pole wektorów stycznych jest ciągle różniczkowalne, a zatem na końcu rozumowania stosuje się proces aproksymacyjny.

Transformacja zależna od t wysyła kulę o promieniu r na kulę o promieniu r √ 1 + t 2 . Objętość obrazu pełnej korony jest następnie obliczana na dwa różne sposoby za pomocą tej transformacji. Ze wzoru na zmianę zmiennej w całkach wielokrotnych otrzymujemy wyrażenie wielomianowe w t . Poprzez bezpośrednie obliczenie w nieparzystym wymiarze n + 1 otrzymujemy irracjonalne wyrażenie , ponieważ zawiera nieparzystą potęgę √ 1 + t 2 , która zapewnia pożądaną sprzeczność.

Inne dowody oparte są na bardziej wyuczonych pojęciach topologii algebraicznej . Klasyczna demonstracja wykorzystuje charakterystykę Eulera-Poincarégo . Jest to liczba, którą można uzyskać metodami kombinatorycznymi dla zbiorów, do których można podejść za pomocą triangulacji . Pozwala w pewnych przypadkach ( twierdzenie Poincarégo-Hopfa ) policzyć liczbę punktów zniesienia pola wektorów na rozmaitości . Kolejny dowód pochodzi z własności homotopii  : możemy udowodnić, że na sferze parzystego wymiaru odwzorowanie antypodów x ↦ - x nie jest homotopiczne względem tożsamości; to jest twierdzenie Borsuka-Ulama . Wreszcie, w przypadku zwykłej sfery, dowód można wyprowadzić z lematu Spernera .

Demonstracja Milnora

Zauważamy ciągłe pole wektorowe styczne na . To pole wektorowe jest funkcją zdefiniowaną na sferze i wycenianą w przestrzeni euklidesowej wymiaru , z parzystym. Wykażemy za pomocą rozumowania przez absurd, że jest on z konieczności zniesiony w co najmniej jednym punkcie kuli. Będziemy oznaczać ten euklidesową normę o wektorze z i do euklidesowej iloczynem skalarnym w i należący do . X{\ styl wyświetlania X}Snie{\ styl wyświetlania S ^ {n}}X{\ styl wyświetlania X}Snie{\ styl wyświetlania S ^ {n}}V{\ styl wyświetlania V}nie+1{\ styl wyświetlania n + 1}nie{\ styl wyświetlania n}v{\ styl wyświetlania v}|v|{\ styl wyświetlania | v |}v{\ styl wyświetlania v}X{\ styl wyświetlania X}(v|w){\ styl wyświetlania (v | w)}v{\ styl wyświetlania v}w{\ styl wyświetlania w}X{\ styl wyświetlania X}

Przypadek ciągle różniczkowalnego pola wektorowegoX{\ styl wyświetlania X}

Pole wektorów stycznych do sfery jest ciągle różniczkowalne, jeżeli jest ograniczeniem do ciągle różniczkowalnego pola określonego w sąsiedztwie . Ponieważ mamy tu do czynienia z bardzo prostą geometrią, wystarczy, że będzie ona stale różnicowana na koronie litej . X{\ styl wyświetlania X}Snie{\ styl wyświetlania S ^ {n}}Snie{\ styl wyświetlania S ^ {n}}Snie{\ styl wyświetlania S ^ {n}}v↦X(v/|v|){\ displaystyle v \ mapsto X (v / | v |)}1/2≤|v|≤3/2{\ displaystyle 1/2 \ leq | v | \ leq 3/2}

Styczna oznacza, że ​​cokolwiek w sferze jest prostopadłe do . v{\ styl wyświetlania v}X(v){\ styl wyświetlania X (v)}v{\ styl wyświetlania v}

Załóżmy zatem, że nigdy nie znika w sferze . Ponieważ jest ciągle różniczkowalna, jej norma jest również ciągle różniczkowalna na sferze, a nie zero. W związku z tym, jest to pole styczna, różniczkowalne w sposób ciągły i dla wszystkich , posiada normę 1. My również powiedzieć, że jest jednolita. X{\ styl wyświetlania X}Snie{\ styl wyświetlania S ^ {n}}X{\ styl wyświetlania X}|X|{\ styl wyświetlania | X |}Tak=X/|X|{\ styl wyświetlania Y = X / | X |}v{\ styl wyświetlania v}Tak(v){\ styl wyświetlania Y (v)}

Ponieważ jest to ciągle różnicujące się na koronie litej , jest to w szczególności Lipschitzian  ; istnieje zatem liczba rzeczywista L taka, że ​​dla wszystkich i w , nierówność Lipschitza zachodzi: v↦Tak(v/|v|){\ displaystyle v \ mapsto Y (v / | v |)}1/2≤|v|≤3/2{\ displaystyle 1/2 \ leq | v | \ leq 3/2}v{\ styl wyświetlania v}w{\ styl wyświetlania w}Snie{\ styl wyświetlania S ^ {n}}

∀v∈Snie,∀w∈Snie,|Tak(v)-Tak(w)|≤L|v-w|.{\ displaystyle \ forall v \ w S ^ {n}, \ forall w \ w S ^ {n}, \ quad | Y (v) -Y (w) | \ leq L | vw |.}

Definiujemy jednorodne pole wektorowe stopnia 1 ponad podczas ustawiania V{\ styl wyświetlania V}

Z(v)=|v|Tak(v/|v|),{\ styl wyświetlania Z (v) = | v | Y (v / | v |),}

i pokażemy, że jest to Lipschitzian. Załóżmy przede wszystkim  ; więc Z{\ styl wyświetlania Z}|v|≥|w|=1{\ displaystyle | v | \ geq | w | = 1}

Z(v)-Z(w)=|v|Tak(v/|v|)-Tak(v/|v|)+Tak(v/|v|)-Tak(w/|w|),{\ displaystyle Z (v) -Z (w) = | v | Y (v / | v |) -Y (v / | v |) + Y (v / | v |) -Y (w / | w | ),}

stąd, z racji trójkątnej nierówności ,

|Z(v)-Z(w)|≤(|v|-1)+L(|v-w|)≤(L+1)|v-w|.{\ displaystyle | Z (v) -Z (w) | \ leq (| v | -1) + L (| vw |) \ leq (L + 1) | vw |.}

Przez jednorodność otrzymujemy ogólny przypadek.

Zdefiniujmy funkcję na x] 0,1] wzorem: fa{\ styl wyświetlania f}V{\ styl wyświetlania V}

fa(v,t)=v+tZ(v) gdyby v≠0;fa(0,t)=0.{\ displaystyle f (v, t) = v + tZ (v) {\ mbox {si}} v \ neq 0; f (0, t) = 0.}

Widzimy, że funkcja jest jednorodna stopnia 1 względem . Co więcej, norma jest łatwa do obliczenia, dzięki twierdzeniu Pitagorasa  : fa{\ styl wyświetlania f}v{\ styl wyświetlania v}fa(v,t){\ styl wyświetlania f (v, t)}

|fa(v,t)|2=|v|2(1+t2).{\ displaystyle | f (v, t) | ^ {2} = | v | ^ {2} (1 + t ^ {2}).}

Innymi słowy, część obrazu sfery o środku 0 i promieniu jest zawarta w sferze o środku 0 i promieniu , cokolwiek . Dla , jest widocznie zero. fa(.,t){\ styl wyświetlania f (., t)}r{\ styl wyświetlania r}r1+t2{\ displaystyle r {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}}r>0{\ styl wyświetlania r> 0}r=0{\ styl wyświetlania r = 0}fa(0,t){\ styl wyświetlania f (0, t)}

Pokażemy, że w rzeczywistości ten obraz jest całą sferą powyżej. Z racji jednorodności względem , wystarczy wykazać ją dla pojedynczej wartości , i wybieramy . Sprowadza się do szukania rozwiązania równania fa(v,t){\ styl wyświetlania f (v, t)}v{\ styl wyświetlania v}r{\ styl wyświetlania r}r=1/1+t2{\ displaystyle r = 1 / {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}}

v=w-tZ(v){\ styl wyświetlania v = w-tZ (v)},

dla danego, normy 1. w{\ styl wyświetlania w}

Pomysł polega na zastosowaniu twierdzenia o ściśle skróconym punkcie stałym . Pozujemy

sol(v,t)=w-tZ(v).{\ styl wyświetlania g (v, t) = w-tZ (v).}

Uwaga: aby uprościć zapisy, nie umieszczamy argumentów , a traktujemy je jako stałe. w{\ styl wyświetlania w}sol{\ styl wyświetlania g}

Funkcja wysyła przestrzeni euklidesowej, która jest pełna , w siebie. Jest lipschitzianką, z raportu . Dlatego jeśli jest ściśle mniejsze niż , jest ścisłym skróceniem samego siebie. Ma zatem jeden punkt stały, spełniający równanie . Podobnie rozwiązanie . W szczególności, zgodnie z obliczeniami normy przeprowadzonej powyżej, zauważa się, że , a zatem obraz sfery o promieniu par jest sferą o promieniu 1. sol(.,t){\ styl wyświetlania g (., t)}V{\ styl wyświetlania V}t(L+1){\ Displaystyle t (L + 1)}t{\ styl wyświetlania t}1/(L+1){\ styl wyświetlania 1 / (L + 1)}sol(.,t){\ styl wyświetlania g (., t)}V{\ styl wyświetlania V}sol(v,t)=v{\ styl wyświetlania g (v, t) = v}v{\ styl wyświetlania v}fa(v,t)=w{\ styl wyświetlania f (v, t) = w}fa(v,t){\ styl wyświetlania f (v, t)}|w|2=|fa(v,t)|2=(1+t2)|v|2{\ displaystyle | w | ^ {2} = | f (v, t) | ^ {2} = (1 + t ^ {2}) | v | ^ {2}}1+t2{\ displaystyle {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}}fa(.,t){\ styl wyświetlania f (., t)}

Przez jednorodność pokazuje to, że sferę promienia wysyła się na sferę promienia i że cokolwiek . fa(.,t){\ styl wyświetlania f (., t)}r{\ styl wyświetlania r}r1+t2{\ displaystyle r {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}}r≥0{\ styl wyświetlania r \ geq 0}

Teraz obliczamy na dwa różne sposoby objętość obrazu przez pełną koronę środka 0 oraz promienie i . fa(.,t){\ styl wyświetlania f (., t)}1{\ styl wyświetlania 1}2{\ styl wyświetlania 2}

Z jednej strony ten obraz to pełna korona o środku 0 i promieniach, a zatem jego objętość wynosi 1+t2{\ displaystyle {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}}21+t2{\ displaystyle 2 {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}}

ωnie+1(2nie+1-1)(1+t2)(nie+1)/2,{\ displaystyle \ omega _ {n + 1} (2 ^ {n + 1} -1) (1 + t ^ {2}) ^ {(n + 1) / 2},}

z objętością jednostki kulowej w wymiarze . ωnie+1{\ styl wyświetlania \ omega _ {n + 1}}nie+1{\ styl wyświetlania n + 1}

Z drugiej strony wiemy, jak wyprowadzić z  : fa(v,t){\ styl wyświetlania f (v, t)}v{\ styl wyświetlania v}

fav'(v,t)=ja+tZ'(v),{\ displaystyle f '_ {v} (v, t) = I + tZ' (v),}

ponieważ jest ciągle różniczkowalna poza 0. Tutaj jest po prostu tożsamość odwzorowania liniowego w . Ze wzoru na zmianę zmiennej w całkach wielokrotnych objętość kuli dana jest zatem wzorem : Z{\ styl wyświetlania Z}ja{\ styl wyświetlania I}V{\ styl wyświetlania V}

∫1≤|v|≤2det(ja+tZ'(v))rev.{\ displaystyle \ int _ {1 \ leq | v | \ leq 2} \ det (I + tZ '(v)) \, dv.}

Determinantą jest dobrze zdefiniowane w powyższym wzorze, ponieważ jest to liniowa mapa w sobie, parametryzowane . Zauważamy, że wyznacznik nie zmienia znaku, bo jest dyfeomorfizmem. Przez ciągłość jest równy 1 dla zera, a zatem jest wszędzie dodatni. Dlatego nie jest konieczne podawanie wartości bezwzględnej. Z'(v){\ styl wyświetlania Z '(v)}V{\ styl wyświetlania V}v{\ styl wyświetlania v}fa(.,t){\ styl wyświetlania f (., t)}t{\ styl wyświetlania t}

Zauważmy, że pierwsze wyrażenie objętości jest irracjonalne w stosunku do zmiennej , ponieważ jest parzyste, podczas gdy drugie jest wielomianem w stosunku do tej samej zmiennej. To jest pożądana sprzeczność, wykazano, że ciągle różniczowalne pole styczne do kuli jest z konieczności zniesione w pewnym punkcie. t{\ styl wyświetlania t}nie{\ styl wyświetlania n}Snie{\ styl wyświetlania S ^ {n}}

Sprawa ogólna

Zakłada się tym razem, że jest to ciągłe pole styczne na kuli . X{\ styl wyświetlania X}Snie{\ styl wyświetlania S ^ {n}}

Do tego pola można zbliżyć się jednolicie przez szereg pól stycznych, które można w sposób ciągły różniczkować . Użyjemy techniki splotu, która jest szczegółowo opisana poniżej, chociaż jest konwencjonalna. (Xk)k∈NIE{\ displaystyle (X_ {k}) _ {k \ in \ mathbb {N}}}

Zgodnie z poprzednim krokiem, dla każdego możemy znaleźć taki, w którym znika. k{\ styl wyświetlania k}vk{\ styl wyświetlania v_ {k}}Snie{\ styl wyświetlania S ^ {n}}Xk(vk){\ styl wyświetlania X_ {k} (v_ {k})}

Punkty należące do kompaktowego zestawu , możemy znaleźć podciąg zbieżny z sekwencją lub, co sprowadza się do tego samego, nieskończonej części o takich, że ciąg ma granicę wzdłuż  ; ten limit jest odnotowany . vk{\ styl wyświetlania v_ {k}}Snie{\ styl wyświetlania S ^ {n}}vk{\ styl wyświetlania v_ {k}}K{\ styl wyświetlania K}NIE{\ styl wyświetlania \ mathbb {N}}(vk)k∈K{\ styl wyświetlania (v_ {k}) _ {k \ w K}}K{\ styl wyświetlania K}vŻ{\ displaystyle {\ bar {czas.}}}

Jest natychmiastowe, że wzdłuż , zbiega się w kierunku , dlatego znika w punkcie . K{\ styl wyświetlania K}Xk(vk){\ styl wyświetlania X_ {k} (v_ {k})}X(vŻ){\ styl wyświetlania X ({\ bar {v}})}X{\ styl wyświetlania X}vŻ{\ displaystyle {\ bar {czas.}}}

Ciągle różniczkowalna aproksymacja ciągłego pola wektorowego stycznego

Niech będzie funkcją V, w której ma następujące właściwości: φ{\ styl wyświetlania \ phi}R+{\ styl wyświetlania \ mathbb {R} ^ {+}}

• φ{\ styl wyświetlania \ phi} jest ciągle różniczkowalny;
• podpora , to znaczy przyczepność zbioru wszystkich punktów, w których nie jest zerem, jest zawarta w kuli o środku 0 i promieniu 1;φ{\ styl wyświetlania \ phi}φ{\ styl wyświetlania \ phi}
• całka z na V wynosi 1.φ{\ styl wyświetlania \ phi}

Taka jest łatwy do skonstruowania: najpierw wybrać różniczkowalne w sposób ciągły, dodatni lub zerowy funkcję będąc 1 na 0 i 0 poza 1. Jeśli założymy, że pochodna tej funkcji jest zero 0, wystarczy wziąć ze φ{\ styl wyświetlania \ phi}ψ{\ styl wyświetlania \ psi}R+{\ styl wyświetlania \ mathbb {R} ^ {+}}φ(v)=ψ(|v|)/ja{\ Displaystyle \ phi (v) = \ psi (| v |) / ja}

ja=∫Vψ(|v|)rev.{\ Displaystyle I = \ int _ {V} \ psi (| v |) dv.}

Sprawdza się, czy tak zdefiniowana funkcja ma wymagane właściwości. φ{\ styl wyświetlania \ phi}

Ustalamy dla k dodatnią liczbę całkowitą

φk(v)=kφ(kv),{\ styl wyświetlania \ phi _ {k} (v) = k \ phi (kv),}

i definiujemy

X^k=∫Vφk(v-w)Z(w)rew.{\ displaystyle {\ kapelusz {X}} _ {k} = \ int _ {V} \ phi _ {k} (vw) Z (w) dw.}

Następnie pokazujemy, że są one ciągle różniczkowalne i zbiegają się jednostajnie, gdy k dąży do nieskończoności w kierunku X na dowolnym zbiorze zwartym zawartym w V , a więc w szczególności na . X^k{\ displaystyle {\ kapelusz {X}} _ {k}}Snie{\ styl wyświetlania S ^ {n}}

Ale a priori nie ma powodu, aby były styczne… więc musimy wykonać dodatkową operację: rzutować je. W ten sposób definiujemy X^k{\ displaystyle {\ kapelusz {X}} _ {k}}

Xk(v)=X^k(v)-(Xk(v)|v)v,{\ displaystyle X_ {k} (v) = {\ kapelusz {X}} _ {k} (v) - (X_ {k} (v) | v) v}

Pole jest styczne do sfery i jednostajnie zbiega się w kierunku pola , co kończy konstrukcję aproksymacji ciągłego pola stycznego przez jednostajnie zbieżny ciąg ciągle różniczkowalnych pól stycznych, gdy k dąży do nieskończoności. Xk{\ styl wyświetlania X_ {k}}v↦X(v)-(X(v)|v)v=X(v){\ displaystyle v \ mapsto X (v) - (X (v) | v) v = X (v)}

Konsekwencje

Konsekwencje twierdzenia są liczne i nie ograniczają się do matematyki.

Fuzja nuklearna

Zastosowania technologiczne daje cywilna synteza jądrowa . Celem jest uzyskanie energii z reakcji fuzji o tej samej naturze, która wytwarza energię gwiazd. Jedna z trudności wynika z faktu, że materiał w stanie plazmy musi być ograniczony do temperatury i ciśnienia, które są zbyt wysokie, aby żaden materiał nie mógł się oprzeć.

Jednym z przewidywanych rozwiązań jest ograniczenie plazmy przez pole magnetyczne . Mówimy o uwięzieniu „magnetycznym”, w przeciwieństwie do tak zwanego „inercyjnego” uwięzienia, również w warunkach eksperymentalnych, które nie są oparte na elektromagnetyzmie, ale na technikach laserowych. Bardziej konkretnym przykładem może być tokamak , dosłownie skrócenie (po rosyjsku) "toroidalnej magnetycznej komory ograniczającej". O ile kulisty kształt wydaje się najbardziej naturalnym rozwiązaniem dla tego typu reaktora, to twierdzenie włochatej kuli implikuje, że taka geometria jest niemożliwa. W rzeczywistości byłby punkt na powierzchni, w którym ograniczające pole magnetyczne znosiłoby się. W takim punkcie plazma nie byłaby już ograniczana przez pole magnetyczne, a cel trwałej reakcji nie zostałby osiągnięty.

Z tego powodu kształt zachowany dla tokamaków jest, jak sama nazwa wskazuje, torusem , czyli unikalną geometrią, która nie dopuszcza odpowiednika twierdzenia o kuli włosowej. Przykładem jest projekt Joint European Torus .

Meteorologia

Twierdzenie artykułu ma konsekwencje meteorologiczne. Wiatr na powierzchni kuli ziemskiej jest opisany funkcją ciągłą. Schematyczne modelowanie przedstawia to za pomocą dwuwymiarowego pola wektorowego. W stosunku do średnicy ziemi pionowa składowa wiatru jest rzeczywiście znikoma.

Pierwszy sposób spełnienia twierdzenia o włochatej kuli polega na wyobrażeniu sobie istnienia punktu na powierzchni ziemi absolutnie bez wiatru. Takie założenie jest fizycznie nierealne.

Model fizyczny bardziej zgodny z obserwacjami implikuje istnienie kompleksu cyklonowego lub antycyklonowego . Twierdzenie artykułu narzuca trwałe istnienie punktu na ziemi, w którym wiatr jest modelowany przez układ wirowy z w swoim centrum okiem, w którym składowa pozioma wiatru wynosi zero. Ta konsekwencja jest faktycznie obserwowana w rzeczywistości.

Twierdzenie to nie podaje wielkości oka ani siły otaczających je wiatrów.

Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym

Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym możemy udowodnić na podstawie twierdzenia o włochatej kuli. Brzmi następująco:

Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym  —  albo liczba całkowita co najmniej równa , albo zamknięta kula wyśrodkowana na początku i promieniu 1 w przestrzeni euklidesowej do wymiarów. Albo ciągłe stosowanie samego siebie. Wtedy ma stały punkt; Innymi słowy, nie jest w taki sposób, że . nie{\ styl wyświetlania n}1{\ styl wyświetlania 1}bnie{\ styl wyświetlania B ^ {n}}V{\ styl wyświetlania V}nie{\ styl wyświetlania n}fa{\ styl wyświetlania f}bnie{\ styl wyświetlania B ^ {n}}fa{\ styl wyświetlania f}x{\ styl wyświetlania x}bnie{\ styl wyświetlania B ^ {n}}fa(x)=x{\ styl wyświetlania f (x) = x}

Wizualna demonstracja płyty

Demonstracja znów jest demonstracją absurdu. Załóżmy, że dysk jest stale używany w samym sobie, co różni się od tego, co znajduje się na dysku. Zrobimy włochatą kulkę bez ucha czy łysiny i uzyskamy w ten sposób sprzeczność. fa{\ styl wyświetlania f}fa(x){\ styl wyświetlania f (x)}x{\ styl wyświetlania x}x{\ styl wyświetlania x}

Jeśli mamy mapę bez punktu stałego, to każdy punkt dysku umożliwia zdefiniowanie niezerowego wektora, czyli wektora . fa{\ styl wyświetlania f}x{\ styl wyświetlania x}fa(x)-x{\ styl wyświetlania f (x) -x}

Teraz bierzemy piłkę tenisową, ostrożnie przecinamy skórę piłki wzdłuż równika i odklejamy każdą z półkul skóry. Ponieważ są wykonane z gumy, można je odkształcać i ostrożnie nakładać kolejno na półkrążek.

• Dysk z wektorami dołączonymi do ich początku . fa(x)-x{\ styl wyświetlania f (x) -x}x{\ styl wyświetlania x}

• Piłka tenisowa nacięta wzdłuż równika za pomocą gumowego rdzenia.

• Górna półkula stała się przezroczysta i przesunęła się nad dysk.

• Na krążku spłaszczamy górną półkulę, przezroczystą.

Po przyłożeniu pierwszej półkuli do krążka łatwo jest narysować w każdym punkcie wektor, który ma ten sam kierunek co , ale który jest standardowy , aby nie komplikować zadania. Półkula zostaje następnie zwolniona i cudem matematycznym narysowane wektory stają się niezerowymi wektorami stycznymi. To samo robimy z drugą półkulą: kopiujemy pole wektorowe, a następnie uwalniamy je, aby odzyskało swój kształt, i jest zaopatrzone w pole wektorowe styczne, które się nie znosi. fa(x)-x{\ styl wyświetlania f (x) -x}1{\ styl wyświetlania 1}

• Górna półkula, wciąż spłaszczona, ale z kopiami wektorów.

• Górna półkula powraca do swojego kształtu, ze sklejonymi wektorami.

Na krawędzi każdej z dwóch półpółkul pole wektorowe znajduje się w płaszczyźnie pionowej. Gdybyśmy umieścili dwie półkule z powrotem na piłce tenisowej, nie mielibyśmy ciągłego pola. Ale to jest poprawione: na drugiej półkuli transformuje się pole wektorów w następujący sposób: w każdym punkcie pole leży na płaszczyźnie stycznej i na tej płaszczyźnie odbija się wektor porównany ze styczną do równoległości ten punkt.

• Dolna półkula to przede wszystkim obraz górnej w lustrze poziomym. Pokazano tylko wektory przednie.

• Teraz wektory dołączone do dolnej półkuli są symetryzowane. Pokazano tylko wektory przednie.

• Dolna półkula gotowa do przyklejenia do górnej półkuli. Jego wektory są zaznaczone na czerwono, aby ułatwić odczytanie figury, i są ciągłe z wektorami górnej półkuli.

W tym momencie przyklejamy dwie półkule z powrotem do kuli i tym razem ich pola styczne są połączone w sposób ciągły, zapewniając w ten sposób ciągły włos i bez łysienia kuli, co daje pożądaną sprzeczność.

Dowód w ogólnym przypadku dla dowolnej piłki

Ogólna demonstracja jest formalizacją wizualnej demonstracji, która poprzedza w przypadku kul parzystych. Przypadek nieparzysty jest wyprowadzany z przypadku parzystego przez redukcję wymiarów.

Anegdotyczny wniosek

Dodaje się liniowy Algebra związku jest znacznie podstawowych i ogólne (pozostaje natychmiastowy, gdy zastąpienie R przez każdego pierścienia przemiennego z cechą innych niż 2), ale może być widoczne, w danym przypadku w zakresie liczb rzeczywistych jako następstwo z twierdzenie o włochatej kuli:

Nieparzyste celu antysymetryczna matrycy ze współczynników R nie jest odwracalna (ze względu na jej wyznacznik wynosi zero). Albo znowu: powiązana antysymetryczna forma dwuliniowa jest zdegenerowana.

Rzeczywiście, dla dowolnego wektora v przestrzeni euklidesowej V, na którym działa A , mamy: a zatem . W szczególności zdefiniuj przez ograniczenie ciągłe pole wektorowe na jednostkowej sferze V , która jest sferą parzystego wymiaru. To pole dopuszcza punkt anulowania v . Wektor jednostkowy v należy zatem do rdzenia A . (Wv|v)=-(v|Wv)=-(Wv|v){\ styl wyświetlania (Av | v) = - (v | Av) = - (Av | v)}Wv.v=0{\ displaystyle Śr.v = 0}X(v)=Wv{\ styl wyświetlania X (v) = Av}

Bibliografia

• (en) John Milnor , Topologia z różniczkowalnego punktu widzenia [ szczegóły wydań ]
• WG Chinn i NE Steenrod , Topologia elementarna , Dunod, 1991 ( ISBN  2040048480 )
• (en) M. Eisenberg i R. Guy, „Dowód twierdzenia o włochatej kuli”, w Amer. Matematyka. Miesięcznie , obj. 86, n o  7, 1979, s.  571-574

Uwagi i referencje

1. (de) Luitzen Egbertus Jan Brouwer, “Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten”, Mathematische Annalen , 1912 [ czytaj online ] .
2. Twierdzenie to mówi, że prosta koronka dzieli płaszczyznę na dwie połączone elementy. Zostało to w końcu rygorystycznie zademonstrowane w 1905 r.: (en) Oswald Veblen , „Teoria na krzywych płaskich w analizie niemetrycznej situs”, Transactions of the American Mathematical Society , tom. 6, 1905, s.  83-98 .
3. (de) Leopold Kronecker, „Über Systeme von Funktionen mehrerer Variabeln”, Monatsber. Berlińska Akad. , 1869, s.  159-193 i 688-698.
4. Ten opis pochodzi tu z Benoît Rittaud „, «  twierdzenie owłosionej Bila  » ( Archiwum • wikiwix • Archive.is • Google • Co robić? ) , Journal studentów matematyki , vol. 1, N O   1 1994, ENS de Lyon .
5. Ta demonstracja jest inspirowana oświadczeniem z egzaminu z matematyki na Uniwersytecie Pierre-et-Marie-Curie . Jest tam odniesienie, na przykład na stronie dyskusyjnej witryny "  Phorum 5 geometrii  " ( Archiwum • Wikiwix • Archive.is • Google • Co robić? ) By Mathematics.net.
6. (w) [PDF] J. Milnor, „  Dowody analityczne twierdzenia o włochatej kuli” i twierdzenia Brouwera o punkcie stałym  ”, „ American Mathematical Monthly” , tom. 85, 1978, s.  521-524 [ czytaj online ] .
7. (w) D. Asimov, "Średnia krzywizna Gaussa liści foliacji", Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , tom. 84, 1978, s.  131-133 .
8. (w) CA Rogers, „  Mniej dziwne wydanie dowodu Milnora twierdzenia Brouwera o punkcie stałym  ”, American Mathematical Monthly , tom. 87, 1980, s.  525-527 .
9. [PDF] L. Lemaire, Badania matematyczne dzisiaj , Université libre de Bruxelles , 2000 [ czytaj online ] , s.  22 .

Zobacz również

Powiązane artykuły

• Pola wektorowe na sferze
• Twierdzenie Poincarégo-Hopfa

Link zewnętrzny

Jean Mawhin , „  Wokół twierdzenia o punkcie stałym  ”, konferencja w czasach Ukryte oblicze matematyki w 2004 r.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">