Ciąg wielomianów ortogonalnych
W matematyce , A sekwencja wielomianów ortogonalnych jest nieskończona sekwencja wielomianów P 0 ( x ) , P 1 ( x ) ,
s 2 ( x ) ... o współczynnikach rzeczywistych, w którym każdy z p n ( x ) jest stopień N i tak, że wielomian z sekwencji są prostopadłe parami dla danego iloczynu skalarnego funkcji.
Pojęcie to jest używane na przykład w kryptologii lub w analizie cyfrowej . Rozwiązuje wiele problemów fizycznych, takich jak mechanika płynów czy przetwarzanie sygnałów . Wiele typów poszczególnych wielomianów ortogonalnych, takich jak Legendre , Czebyszewa , umożliwia podejście do funkcji i, dzięki ich właściwościom, rozwiązywanie prostszych złożonych równań różniczkowych .
Wprowadzenie
Najprostszy produkt kropka funkcji jest integralną produktu z tych funkcji, ponad ograniczonym przedziale:
⟨fa,sol⟩=∫wbfa(x)sol(x) rex{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x}![{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ae037b4b93311617d10601606412d95e19b4a2)
Mówiąc bardziej ogólnie, możemy wprowadzić „funkcję wagi” W ( x ) w całce (w przedziale całkowania ] a , b [ , W musi mieć wartości skończone i ściśle dodatnie, a całka iloczynu wagi funkcja wielomianu musi być skończona; granice a , b mogą być nieskończone):
⟨fa,sol⟩=∫wbfa(x)sol(x)W(x) rex{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) W (x) ~ \ mathrm {d} x}![{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) W (x) ~ \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0339bc5f8ef551d161cdfd35ba63273a46dd7f)
Przy tej definicji iloczynu skalarnego dwie funkcje są do siebie prostopadłe, jeśli ich iloczyn skalarny jest równy zero (w ten sam sposób, w jaki dwa wektory są prostopadłe (prostopadłe), jeśli ich iloczyn skalarny jest równy zero). Następnie wprowadzono standard związany: ; iloczyn skalarny czyni zbiór wszystkich funkcji normy skończonej przestrzenią Hilberta .
||fa||=⟨fa,fa⟩{\ displaystyle || f || = {\ sqrt {\ langle f, f \ rangle}}}![{\ displaystyle || f || = {\ sqrt {\ langle f, f \ rangle}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb137aec4c3f2ffa3c65fe656c5da33e5156633)
Przedział całkowania nazywany jest przedziałem ortogonalności .
Pole wielomianów ortogonalnych opracowanych pod koniec XIX -go wieku z badania frakcji kontynuowana przez Pafnutij Czebyszow i został pozwany przez Andriej Markow i Thomas Joannes Stieltjes . Gábor Szegő , Sergei Bernstein , Naum Akhiezer , Arthur Erdélyi (en) , Jakow Geronimus , Wolfgang Hahn (en) , Theodore seio Chihara (en) , Mourad Ismail (en) , Waleed Al-Salam (en) i Richard Askey również pracował w temacie. Wiele zastosowań zaowocowało matematyką i fizyką .
Przykład: wielomiany Legendre'a
Najprostszymi wielomianami ortogonalnymi są wielomiany Legendre'a, dla których przedział ortogonalności wynosi] -1, 1 [a funkcja wagi jest stałą funkcją o wartości 1:
P0(x)=1{\ styl wyświetlania P_ {0} (x) = 1}
P1(x)=x{\ styl wyświetlania P_ {1} (x) = x}
P2(x)=3x2-12{\ displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {3x ^ {2} -1} {2}}}
P3(x)=5x3-3x2{\ displaystyle P_ {3} (x) = {\ frac {5x ^ {3} -3x} {2}}}
P4(x)=35x4-30x2+38{\ displaystyle P_ {4} (x) = {\ frac {35x ^ {4} -30x ^ {2} +3} {8}}}
...{\ styl wyświetlania \ kropki \,}![{\ styl wyświetlania \ kropki \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f67d6cee45a37fca00ebf598881e60591110ab8)
Wszystkie są prostopadłe na] -1, 1 [:
∫-11Pmi(x)Pnie(x) rex=0potyrmi≠nie{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) ~ \ mathrm {d} x = 0 \ qquad \ mathrm {for} \ qquad m \ neq n }![{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) ~ \ mathrm {d} x = 0 \ qquad \ mathrm {for} \ qquad m \ neq n }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab24fe110ebcfdd72f82ac44c6db88cf9cd3c96c)
Nieruchomości
Dowolny ciąg wielomianów p 0 , p 1 , ... , gdzie każdy p k ma stopień k , jest bazą przestrzeni wektorowej (o nieskończonym wymiarze) wszystkich wielomianów „przystosowanych do flagi ”. Taką bazą jest ciąg wielomianów ortogonalnych, który jest zresztą ortogonalny dla pewnego iloczynu skalarnego. Ten iloczyn skalarny jest ustalony, taka sekwencja jest prawie unikalna (unikatowa dla iloczynu w pobliżu jego wektorów przez niezerowe skalary) i może być uzyskana z bazy kanonicznej (1, x , x 2 , ...) (nieortogonalna ogólnie), metodą Grama-Schmidta .
R[x]{\ displaystyle \ mathbb {R} [x]}
(Rnie[x])nie∈NIE{\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {n} [x]) _ {n \ in \ mathbb {N}}}![{\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {n} [x]) _ {n \ in \ mathbb {N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1d635ace7923b6c4d2de6a93dc2e418b4b1518)
Kiedy konstruujemy bazę ortogonalną, możemy pokusić się o uczynienie jej ortonormalną , czyli taką dla wszystkich n , dzieląc każde p n przez jego normę. W przypadku wielomianów preferuje się nie narzucać tego dodatkowego warunku, ponieważ często prowadziłoby to do współczynników zawierających pierwiastki kwadratowe. Często wolimy dobierać mnożnik w taki sposób, aby współczynniki pozostały wymierne, a formuły były jak najprostsze. To jest standaryzacja. Wymienione poniżej „klasyczne” wielomiany zostały zatem znormalizowane; zazwyczaj współczynnik ich członu najwyższego stopnia lub ich wartość w punkcie zostały ustawione na określoną wartość (dla wielomianów Legendre'a P ' n (1) = 1 ). Ta standaryzacja jest konwencją, którą czasami można również uzyskać, skalując odpowiednią funkcję wagi. Uwaga
⟨pnie,pnie⟩ = 1{\ displaystyle \ langle p_ {n}, p_ {n} \ rangle \ = \ 1}![{\ displaystyle \ langle p_ {n}, p_ {n} \ rangle \ = \ 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b058d9d84ea03c3e64bd1fb567a67a9f8f6fb9)
hnie=⟨pnie, pnie⟩{\ displaystyle h_ {n} = \ langle p_ {n}, \ p_ {n} \ rangle}![{\ displaystyle h_ {n} = \ langle p_ {n}, \ p_ {n} \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd5f09cfeb70795c15a5067959b3e3cf5e4e0e9d)
(norma p n to pierwiastek kwadratowy z h n ). Wartości h n dla znormalizowanych wielomianów podano w poniższej tabeli. Mamy
⟨pmi, pnie⟩=δminiehnie{\ displaystyle \ langle p_ {m}, \ p_ {n} \ rangle = \ delta _ {mn} h_ {n}}![{\ displaystyle \ langle p_ {m}, \ p_ {n} \ rangle = \ delta _ {mn} h_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ace9a78e137a901994d183cb218de0077aaad5)
;
gdzie δ MN jest symbolem Kronecker .
Każda sekwencja ( p k ) wielomianów ortogonalnych ma wiele niezwykłych właściwości. Na początek:
-
Lemat 1: ( p 0 , P 1 , ..., p n ) jest podstawą zRnie[x]{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {n} [x]}
-
Lemat 2: p n jest prostopadłe do .Rnie-1[x]{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {n-1} [x]}
![{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {n-1} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c9ef8fe672a3d5110d7fc960e26a3b718e19a9)
Lemat 1 wynika z faktu, że p k jest stopnia k . Lemat 2 wynika z tego, że co więcej, p k są ortogonalne dwa na dwa.
Relacja nawrotu
Dla dowolnej sekwencji wielomianów ortogonalnych istnieje relacja powtarzalności w stosunku do trzech kolejnych wielomianów.
pnie+1 = (wniex+bnie) pnie - vsnie pnie-1{\ displaystyle p_ {n + 1} \ = \ (a_ {n} x + b_ {n}) \ p_ {n} \ - \ c_ {n} \ p_ {n-1}}![{\ displaystyle p_ {n + 1} \ = \ (a_ {n} x + b_ {n}) \ p_ {n} \ - \ c_ {n} \ p_ {n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9410752b8ca02ea2bef7a3df23d2cdd82f2037e3)
Współczynniki a n , b n , c n są podane przez
wnie=knie+1knie,bnie=wnie(knie+1'knie+1-knie'knie),vsnie=wnie(knie-1hniekniehnie-1),{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {k_ {n + 1}} {k_ {n}}}, \ qquad b_ {n} = a_ {n} \ lewo ({\ frac {k_ {n + 1 } '} {k_ {n + 1}}} - {\ frac {k_ {n}'} {k_ {n}}} \ prawo), \ qquad c_ {n} = a_ {n} \ lewo ({\ szczelina {k_ {n-1} h_ {n}} {k_ {n} h_ {n-1}}} \ dobrze),}![{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {k_ {n + 1}} {k_ {n}}}, \ qquad b_ {n} = a_ {n} \ lewo ({\ frac {k_ {n + 1 } '} {k_ {n + 1}}} - {\ frac {k_ {n}'} {k_ {n}}} \ prawo), \ qquad c_ {n} = a_ {n} \ lewo ({\ szczelina {k_ {n-1} h_ {n}} {k_ {n} h_ {n-1}}} \ dobrze),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/937b9852bb7b5c3b14bd6876f4faa0d0687d9aba)
gdzie k j i k j ' oznaczają dwa pierwsze współczynniki p j :
pjot(x)=kjotxjot+kjot'xjot-1+⋯{\ displaystyle p_ {j} (x) = k_ {j} x ^ {j} + k_ {j} 'x ^ {j-1} + \ cdots}![{\ displaystyle p_ {j} (x) = k_ {j} x ^ {j} + k_ {j} 'x ^ {j-1} + \ cdots}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e56eeaee4eece07abb87641fa5c56a871523e0)
oraz h j iloczyn skalarny samego p j :
hjot = ⟨pjot, pjot⟩{\ displaystyle h_ {j} \ = \ \ langle p_ {j}, \ p_ {j} \ rangle}![{\ displaystyle h_ {j} \ = \ \ langle p_ {j}, \ p_ {j} \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f66d8490fe21bd4414fc500ed2ab59f21fd76be4)
.
(Umownie c 0 , p –1 , k ' 0 to zero.)
Demonstracja
Przy wartościach podanych dla a n i b n , wielomian
( a n x + b n ) p n - p n +1 ma stopień mniejszy niż n (wyrażenia stopni n +1 i n są eliminowane). Można to więc wyrazić w postaci liniowej kombinacji elementów bazy ( p j )n -1
j = 0od :
Rnie-1[x]{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {n-1} [x]}![{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {n-1} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c9ef8fe672a3d5110d7fc960e26a3b718e19a9)
(wniex+bnie)pnie-pnie+1=Σjot=0nie-1μnie,jotpjot,{\ displaystyle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1} = \ suma _ {j = 0} ^ {n-1} \ mu _ {n, j} p_ {jot},}![{\ displaystyle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1} = \ suma _ {j = 0} ^ {n-1} \ mu _ {n, j} p_ {jot},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15a7cc15876ecf22299ee3900819199fab5b772)
z
hjotμnie,jot=⟨(wniex+bnie)pnie-pnie+1,pjot⟩=wnie⟨xpnie,pjot⟩{\ displaystyle h_ {j} \ mu _ {n, j} = \ langle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1}, p_ {j} \ rangle = a_ {n} \ langle xp_ {n}, p_ {j} \ langle}![{\ displaystyle h_ {j} \ mu _ {n, j} = \ langle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1}, p_ {j} \ rangle = a_ {n} \ langle xp_ {n}, p_ {j} \ langle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3eebd7c3e9c31583b961e7fc63fac2bbaeba1c)
(ponieważ dla j < n , p j jest prostopadłe do p n i p n +1 ).
Ponadto, przez integralną formę iloczynu skalarnego,
⟨xpnie,pjot⟩=⟨pnie,xpjot⟩.{\ displaystyle \ langle xp_ {n}, p_ {j} \ rangle = \ langle p_ {n}, xp_ {j} \ rangle.}![{\ displaystyle \ langle xp_ {n}, p_ {j} \ rangle = \ langle p_ {n}, xp_ {j} \ rangle.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668f57a7fa3f54609b223e5a377e84c844fc286d)
Dla j < n -1 ten iloczyn skalarny wynosi zero, ponieważ xp j ma stopień < n .
Dla j = n -1 jest równe, ponieważ (tak samo rozumując jak na początku) a n –1 x p n –1 - p n jest stopnia mniejszego niż n .
hniewnie-1{\ displaystyle {\ frac {h_ {n}} {a_ {n-1}}}}![{\ displaystyle {\ frac {h_ {n}} {a_ {n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60dda3deaf85681c037947986c2f65d06737343d)
Możemy stwierdzić:
(wniex+bnie)pnie-pnie+1=vsniepnie-1,{\ displaystyle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1} = c_ {n} p_ {n-1}, \,}![{\ displaystyle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1} = c_ {n} p_ {n-1}, \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287b398b0526807ca3ef97c7ba752f7bf74e41ce)
z
vsnie=μnie,nie-1=wniehnie-1 hniewnie-1=wnie(knie-1hniekniehnie-1).{\ displaystyle c_ {n} = \ mu _ {n, n-1} = {\ frac {a_ {n}} {h_ {n-1}}} \ {\ frac {h_ {n}} {a_ { n-1}}} = a_ {n} \ po lewej ({\ frac {k_ {n-1} h_ {n}} {k_ {n} h_ {n-1}}} \ po prawej).}
Wynik ten dopuszcza odwrotność twierdzenia Favarda , twierdzącego, że pod pewnymi dodatkowymi warunkami ciąg wielomianów spełniających tę powtarzalność jest ciągiem wielomianów ortogonalnych (dla pewnej funkcji wagowej W ).
Rdzeń Christoffela-Darboux
W przestrzeni L 2 związanym z W , niech S n oznacza się prostopadły występ na : Dla każdej funkcji F tak, aby ,
Rnie[x]{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {n} [x]}
∫wbfa2(x)W(x) rex<∞{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f ^ {2} (x) W (x) ~ \ matematyka {d} x <\ infty}![{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f ^ {2} (x) W (x) ~ \ matematyka {d} x <\ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f37dcd9c487b122672cbc9f411ee87f3c1caa6)
(Sniefa)(x)=Σk=0nie⟨fa,pk⟩hkpk(x)=∫wbKnie(x,tak)fa(tak)W(tak) retak,{\ displaystyle (S_ {n} f) (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ langle f, p_ {k} \ rangle} {h_ {k}}} p_ { k} (x) = \ int _ {a} ^ {b} K_ {n} (x, y) f (y) W (y) ~ \ mathrm {d} y,}![{\ displaystyle (S_ {n} f) (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ langle f, p_ {k} \ rangle} {h_ {k}}} p_ { k} (x) = \ int _ {a} ^ {b} K_ {n} (x, y) f (y) W (y) ~ \ mathrm {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ab8de840f7a59fb793d97f087112f142fec269)
gdzie K n to rdzeń z Christoffela - Darboux , określony przez:
Knie(x,tak)=Σk=0niepk(x)pk(tak)hk.{\ displaystyle K_ {n} (x, y) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {p_ {k} (x) p_ {k} (y)} {h_ {k}} }.}![{\ displaystyle K_ {n} (x, y) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {p_ {k} (x) p_ {k} (y)} {h_ {k}} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87be77c41cee1418262766d27c579af3c87027e)
Poprzednia relacja rekurencyjna umożliwia zatem pokazanie:
Knie(x,tak)=knieknie+1hnie pnie+1(x)pnie(tak)-pnie(x)pnie+1(tak)x-tak,{\ displaystyle K_ {n} (x, y) = {\ frac {k_ {n}} {k_ {n + 1} h_ {n}}} \ {\ frac {p_ {n + 1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n + 1} (y)} {xy}},}
Knie(x,x)=knieknie+1hnie (pnie+1'(x)pnie(x)-pnie'(x)pnie+1(x)).{\ displaystyle K_ {n} (x, x) = {\ frac {k_ {n}} {k_ {n + 1} h_ {n}}} \ (p '_ {n + 1} (x) p_ { n} (x) -p '_ {n} (x) p_ {n + 1} (x)).}![{\ displaystyle K_ {n} (x, x) = {\ frac {k_ {n}} {k_ {n + 1} h_ {n}}} \ (p '_ {n + 1} (x) p_ { n} (x) -p '_ {n} (x) p_ {n + 1} (x)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e072474226ab787bc185f25a25bb22d062a382)
Demonstracja
Udowodnijmy pierwszą z tych dwóch formuł (druga jest dedukowana przez dążenie y do x ) przez indukcję na n . Dla n = -1 to prawda (umownie K -1 = 0). Załóżmy, że jest to prawda na poziomie n -1 i udowodnij to na poziomie n . Zastępując p n +1 otrzymujemy
pnie+1(x)pnie(tak)-pnie(x)pnie+1(tak)=wnie(x-tak)pnie(x)pnie(tak)-vsnie(pnie-1(x)pnie(tak)-pnie(x)pnie-1(tak)){\ displaystyle p_ {n + 1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n + 1} (y) = a_ {n} (xy) p_ {n} (x ) p_ {n} (y) -c_ {n} \ lewo (p_ {n-1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n-1} (y) \ dobrze) \,}![{\ displaystyle p_ {n + 1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n + 1} (y) = a_ {n} (xy) p_ {n} (x ) p_ {n} (y) -c_ {n} \ lewo (p_ {n-1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n-1} (y) \ dobrze) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bfdf8d03f98a0842edd7c069f8a2ba35835ca0b)
z, przez hipotezę indukcyjną,
-vsnie(pnie-1(x)pnie(tak)-pnie(x)pnie-1(tak))=vsniewnie-1hnie-1(x-tak)Knie-1(x,tak)=wniehnie(x-tak)Knie-1(x,tak),{\ displaystyle -c_ {n} \ lewo (p_ {n-1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n-1} (y) \ prawo) = c_ { n} a_ {n-1} h_ {n-1} (xy) K_ {n-1} (x, y) = a_ {n} h_ {n} (xy) K_ {n-1} (x, y ), \,}![{\ displaystyle -c_ {n} \ lewo (p_ {n-1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n-1} (y) \ prawo) = c_ { n} a_ {n-1} h_ {n-1} (xy) K_ {n-1} (x, y) = a_ {n} h_ {n} (xy) K_ {n-1} (x, y ), \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44133f1625d6f17f361524ba79f243075d0ba0f6)
Skąd
pnie+1(x)pnie(tak)-pnie(x)pnie+1(tak)wniehnie(x-tak)=pnie(x)pnie(tak)hnie+Knie-1(x,tak)=Knie(x,tak).{\ displaystyle {\ frac {p_ {n + 1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n + 1} (y)} {a_ {n} h_ {n} (xy)}} = {\ frac {p_ {n} (x) p_ {n} (y)} {h_ {n}}} + K_ {n-1} (x, y) = K_ {n} ( x, y).}
Istnienie prawdziwych korzeni
Każdy wielomian szeregu wielomianów ortogonalnych, których stopień n jest większy lub równy 1, dopuszcza n odrębnych pierwiastków, wszystkich rzeczywistych i znajdujących się ściśle wewnątrz przedziału całkowania (jest to niezwykła właściwość: jest to rzadkie, dla wielomianu o wysokim stopniu których współczynniki zostały wybrane losowo, aby miały wszystkie swoje rzeczywiste pierwiastki).
Pozycja korzenia
Pierwiastki wielomianów leżą ściśle między pierwiastkami wielomianu wyższego stopnia w poniższym.
Demonstracja
Najpierw umieszczamy wszystkie wielomiany w postaci standaryzowanej, tak aby dominujący współczynnik był dodatni (co nie zmienia pierwiastków), a następnie wykonujemy rekurencję na n . Dla n = 0 nie ma nic do udowodnienia. Załóżmy, że nieruchomość nabyta do rangi n . Niech x 1 <... < x n oznacza korzenie p n i a 0 <... < y n tych p n +1 . Relacja rekurencyjna daje p n +1 ( x j ) = - c n p n –1 ( x j ) z (zgodnie z wyborem standaryzacji) c n > 0 . Jednak zgodnie z hipotezą indukcyjną (–1) n - j p n –1 ( x j )> 0 . Dedukujemy (–1) n + 1– j p n +1 ( x j )> 0 . Ponadto ∀ x > y n , p n + 1 ( x )> 0 i ∀ x < y 0 (-1) n + 1 P n + 1 ( x )> 0 . To pozwala nam stwierdzić: y 0 < x 1 < y 1 <... < x n < y n .
Inną metodą dowodu jest udowodnienie (poprzez indukcję lub prościej za pomocą jądra Christoffel-Darboux), że dla wszystkich n i wszystkich x , p n +1 '( x ) p n ( x )> p n +1 ( x ) P n '( x ) , aby wnioskować, że p n +1 ' ( r j ) i p n ( r j ) ma taki sam znak, tak, że (1) n - J t n ( Y j )> 0 , co pozwala wnioskować, że p n znika między y j .
Równania różniczkowe prowadzące do wielomianów ortogonalnych
Ważna klasa wielomianów ortogonalnych pochodzi z równania różniczkowego Sturma-Liouville'a postaci
Q(x)fa″+L(x)fa'+λfa=0{\ displaystyle {Q (x)} \, f '' + {L (x)} \, f '+ {\ lambda} f = 0 \,}![{\ displaystyle {Q (x)} \, f '' + {L (x)} \, f '+ {\ lambda} f = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9895f1bbaf7be16ca22c147a0a7336d481b019)
gdzie Q jest danym wielomianem kwadratowym, a L jest danym wielomianem liniowym. Funkcja f jest nieznana, a stała λ jest parametrem. Możemy zauważyć, że rozwiązanie wielomianowe jest a priori możliwe dla takiego równania, przy czym stopnie wyrazów są zgodne. Jednak rozwiązania tego równania różniczkowego mają osobliwości, chyba że λ przyjmuje określone wartości. Kolejność tych wartości λ 0 , λ 1 , λ 2 itd. prowadzi do ciągu wielomianów rozwiązania P 0 , P 1 , P 2 ... jeśli jedno z następujących twierdzeń jest prawdziwe:
-
Q jest prawdziwie kwadratowe i ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, L jest liniowe, a jego pierwiastek leży między dwoma pierwiastkami Q , a wyrazy najwyższego stopnia Q i L mają ten sam znak.
-
Q nie jest kwadratowe, ale liniowe, L jest liniowe, pierwiastki Q i L są różne, a wyrazy najwyższego stopnia Q i L mają ten sam znak, jeśli pierwiastek L jest mniejszy niż pierwiastek Q lub odwrotnie.
-
Q jest niezerową stałą wielomianową, L jest liniowa, a wyraz najwyższego stopnia L ma znak przeciwny niż Q .
Te trzy przypadki prowadzą odpowiednio do wielomianów Jacobiego , Laguerre'a i Hermite'a . W każdym z tych przypadków:
- Rozwiązaniem jest szereg wielomianów P 0 , P 1 , P 2 …, z których każdy P n ma stopień n i odpowiada liczbie λ n ;
- Przedział ortogonalności jest ograniczony pierwiastkami Q ;
- Pierwiastek L znajduje się wewnątrz przedziału ortogonalności.
- Zauważając , że wielomiany są ortogonalne w funkcji wagiR(x)=exp(∫x0xL(t)Q(t) ret){\ displaystyle R (x) = \ exp \ lewo (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {Q (t)}} ~ \ mathrm {d} t \ dobrze) \,}
W(x)=R(x)Q(x){\ displaystyle W (x) = {\ frac {R (x)} {Q (x)}} \,}
-
W ( x ) nie może zniknąć ani przyjąć wartości nieskończonej w przedziale, chociaż może na końcach.
-
W ( x ) może być wybrane jako dodatnie w przedziale (w razie potrzeby pomnóż równanie różniczkowe przez –1)
Ze względu na stałą całkowania wielkość R ( x ) jest określona do stałej multiplikatywnej. Tabeli poniżej podano „oficjalną” wartości R ( x ) i W ( x ).
Formuła Rodriguesa
Przy założeniach z poprzedniego rozdziału
P n ( x ) jest proporcjonalne do1W(x) renierexnie(W(x)[Q(x)]nie){\ displaystyle {\ frac {1} {W (x)}} \ {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ lewo (W (x) [Q (x)] ^ { n} \ prawo)}
równanie lepiej znane jako „ formuła Rodriguesa ”, nazwane na cześć Olinde Rodriguesa . Często pisze się:
Pnie(x)=1minieW(x) renierexnie(W(x)[Q(x)]nie){\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {{e_ {n}} W (x)}} \ {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ lewa (W (x) [Q (x)] ^ {n} \ prawa)}![{\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {{e_ {n}} W (x)}} \ {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ lewa (W (x) [Q (x)] ^ {n} \ prawa)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a07e5e38a366b32be8a4fa7b6ec39cfe8b51e8)
gdzie liczby e n zależą od normalizacji. Wartości e n podano w poniższej tabeli .
Aby udowodnić tę formułę, sprawdzamy, w każdym z trzech powyższych przypadków, że P n, które dostarcza, jest rzeczywiście wielomianem stopnia n , a następnie przez całkowanie przez powtarzające się części, że dla dowolnego wielomianu P ,
jest zatem równe zero jeśli P jest stopnia mniejszego niż n . Ta metoda dodatkowo pokazuje, że .
⟨1W(WQnie)(nie),P⟩{\ displaystyle \ lewo \ langle {\ frac {1} {W}} (WQ ^ {n}) ^ {(n)}, P \ prawo \ rangle}
(-1)nie⟨Qnie,P(nie)⟩,{\ displaystyle (-1) ^ {n} \ langle Q ^ {n}, P ^ {(n)} \ rangle,}
hnieminie=(-1)nienie!knie∫wb(Q(x))nieW(x) rex{\ displaystyle h_ {n} e_ {n} = (- 1) ^ {n} n! k_ {n} \ int _ {a} ^ {b} (Q (x)) ^ {n} W (x) ~ \ matematyka {d} x}![{\ displaystyle h_ {n} e_ {n} = (- 1) ^ {n} n! k_ {n} \ int _ {a} ^ {b} (Q (x)) ^ {n} W (x) ~ \ matematyka {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f66b5ac48baa7d1714a61029bcdaf7463f612e)
Liczby λ n
Przy założeniach z poprzedniego rozdziału,
λnie=nie(1-nie2 Q″-L'){\ displaystyle {\ lambda} _ {n} = n \ lewo ({\ frac {1-n} {2}} \ Q '' - L '\ prawy)}![{\ displaystyle {\ lambda} _ {n} = n \ lewo ({\ frac {1-n} {2}} \ Q '' - L '\ prawy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db232113f0631b07017111f005a94311b0cd6db9)
Zauważ, że Q jest kwadratowe i L liniowe, Q '' i L ' są rzeczywiście stałymi.
Druga postać równania różniczkowego
Z .
R(x)=exp(∫x0xL(t)Q(t) ret){\ displaystyle R (x) = \ exp \ lewo (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {Q (t)}} ~ \ mathrm {d} t \ dobrze) \,}![{\ displaystyle R (x) = \ exp \ lewo (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {Q (t)}} ~ \ mathrm {d} t \ dobrze) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7d96b7a52391f817b4d3adf38cb9d938c5d8e3)
Więc
(Rtak')'=Rtak″+R'tak'=Rtak″+RLQtak'{\ displaystyle (Ry ')' = R \, y '' + R '\, y' = R \, y '' + {\ frac {R \, L} {Q}} \, y '}![{\ displaystyle (Ry ')' = R \, y '' + R '\, y' = R \, y '' + {\ frac {R \, L} {Q}} \, y '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7774d88ce3c824ba135da03fee2dbdb32a836ca3)
Teraz mnożąc równanie różniczkowe
Qtak″+Ltak'+λtak=0{\ displaystyle {Q} \, y '' + {L} \, y '+ {\ lambda} \, y = 0 \,}![{\ displaystyle {Q} \, y '' + {L} \, y '+ {\ lambda} \, y = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8354bc82b31bd24df44655e6c936b57f8c69a1)
przez R / Q otrzymujemy
Rtak″+RLQtak'+RλQtak=0{\ displaystyle R \, y '' + {\ frac {R \, L} {Q}} \, y '+ {\ frac {R \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}![{\ displaystyle R \, y '' + {\ frac {R \, L} {Q}} \, y '+ {\ frac {R \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17195cae1f4ed0e951bfeb97f693931ecfcb4e1)
lub
(Rtak')'+RλQtak=0{\ displaystyle (Ry ')' + {\ frac {R \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}![{\ displaystyle (Ry ')' + {\ frac {R \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7779defeb9441e720cc73c99e98f8126ea3f74a7)
Jest to znormalizowana postać równania Sturma-Liouville'a .
Trzecia postać równania różniczkowego
Pozując .
S(x)=R(x)=exp(∫x0xL(t)2Q(t) ret){\ displaystyle S (x) = {\ sqrt {R (x)}} = \ exp \ lewo (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {2 \, Q (t)}} ~ \ matematyka {d} t \ prawo) \,}![{\ displaystyle S (x) = {\ sqrt {R (x)}} = \ exp \ lewo (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {2 \, Q (t)}} ~ \ matematyka {d} t \ prawo) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b05cd348b91fb01d3b9ce176fa52ee07807ac45)
Więc :
S'=SL2Q.{\ displaystyle S '= {\ frac {S \, L} {2 \, Q}}.}![{\ displaystyle S '= {\ frac {S \, L} {2 \, Q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5e3381d49d864b79457b419e6c1b604273b810)
Teraz mnożąc równanie różniczkowe
Qtak″+Ltak'+λtak=0{\ displaystyle {Q} \, y '' + {L} \, y '+ {\ lambda} \, y = 0 \,}![{\ displaystyle {Q} \, y '' + {L} \, y '+ {\ lambda} \, y = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8354bc82b31bd24df44655e6c936b57f8c69a1)
przez S / Q otrzymujemy:
Stak″+SLQtak'+SλQtak=0{\ displaystyle S \, y '' + {\ frac {S \, L} {Q}} \, y '+ {\ frac {S \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}![{\ displaystyle S \, y '' + {\ frac {S \, L} {Q}} \, y '+ {\ frac {S \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b883eed8155bb5ae364fa91ecac1af954bb53a32)
lub
Stak″+2S'tak'+SλQtak=0{\ displaystyle S \, y '' + 2 \, S '\, y' + {\ frac {S \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}![{\ displaystyle S \, y '' + 2 \, S '\, y' + {\ frac {S \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56bbe1115b8d79bde7aef38b0ea33fb0bb0f1899)
Ale , więc
(Stak)″=Stak″+2S'tak'+S″tak{\ displaystyle (S \, y) '' = S \, y '' + 2 \, S '\, y' + S '' \, y}![{\ displaystyle (S \, y) '' = S \, y '' + 2 \, S '\, y' + S '' \, y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c20c44efaba16493384296b4081e9194165783b)
(Stak)″+(SλQ-S″)tak=0,{\ displaystyle (S \, y) '' + \ lewo ({\ frac {S \, \ lambda} {Q}} - S '' \ prawo) \, y = 0, \,}![{\ displaystyle (S \, y) '' + \ lewo ({\ frac {S \, \ lambda} {Q}} - S '' \ prawo) \, y = 0, \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa0f5625e1f58c0247ea93fe5ed6e25a8e526d8)
lub ustawiając u = Sy ,
ty″+(λQ-S″S)ty=0.{\ displaystyle u '' + \ po lewej ({\ frac {\ lambda} {Q}} - {\ frac {S ''} {S}} \ po prawej) \, u = 0. \,}![{\ displaystyle u '' + \ po lewej ({\ frac {\ lambda} {Q}} - {\ frac {S ''} {S}} \ po prawej) \, u = 0. \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806e1bd07c121dc3e6ac3afaf3db7ed7510b536f)
Tabela klasycznych wielomianów ortogonalnych
Ze względu na układ tabela ta jest podzielona na trzy części.
Nazwa i symbol
|
Czebyszew , Tnie{\ styl wyświetlania \ T_ {n}}
|
Czebyszew (drugi rodzaj), Unie{\ styl wyświetlania \ U_ {n}}
|
Legenda , Pnie{\ styl wyświetlania \ P_ {n}}
|
Pustelnik (forma fizyczna), Hnie{\ styl wyświetlania \ H_ {n}}
|
---|
Granica ortogonalności |
-1,1{\ styl wyświetlania -1,1 \,}
|
-1,1{\ styl wyświetlania -1,1 \,}
|
-1,1{\ styl wyświetlania -1,1 \,}![{\ styl wyświetlania -1,1 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07625933be80e4cfc29f57d4101a3b8dccdd1969) |
-∞,∞{\ styl wyświetlania - \ infty, \ infty}
|
Waga, W(x){\ styl wyświetlania W (x) \,}
|
(1-x2)-1/2{\ styl wyświetlania (1-x ^ {2}) ^ {- 1/2} \,}
|
(1-x2)1/2{\ styl wyświetlania (1-x ^ {2}) ^ {1/2} \,}
|
1{\ styl wyświetlania 1 \,}![1 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd1e7984fe6e1b79a26404a8138a6c6ee41a476) |
mi-x2{\ styl wyświetlania e ^ {- x ^ {2}}}
|
Normalizacja |
Tnie(1)=1{\ displaystyle T_ {n} (1) = 1 \,}
|
Unie(1)=nie+1{\ displaystyle U_ {n} (1) = n + 1 \,}![{\ displaystyle U_ {n} (1) = n + 1 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c8cf4e571b67d519aa532f478ba314a6d786cb) |
Pnie(1)=1{\ styl wyświetlania P_ {n} (1) = 1 \,}
|
Dominujący współczynnik = 2nie{\ styl wyświetlania 2 ^ {n} \,}
|
Kwadrat standardowy hnie{\ styl wyświetlania h_ {n} \,}
|
{π: nie=0π/2: nie≠0{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {macierz} \ pi &: ~ n = 0 \\\ pi/2 &: ~ n \ neq 0 \ end {macierz}} \ po prawej.}
|
π/2{\ styl wyświetlania \ pi/2 \,}![{\ styl wyświetlania \ pi/2 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5145b1ceeed3ff342b36ddf4c8629fa260edc3b6) |
22nie+1{\ displaystyle {\ frac {2} {2n + 1}}}
|
2nienie!π{\ displaystyle 2 ^ {n} \, n! \, {\ sqrt {\ pi}}}
|
Dominujący współczynnik knie{\ styl wyświetlania k_ {n} \,}
|
2nie-1{\ styl wyświetlania 2 ^ {n-1} \,}![{\ styl wyświetlania 2 ^ {n-1} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925bc7ea79e92c2e198dc10b005c9cfbf8c9292c) |
2nie{\ styl wyświetlania 2 ^ {n} \,}
|
(2nie)!2nie(nie!)2{\ displaystyle {\ frac {(2n)!} {2 ^ {n} \, (n!) ^ {2}}} \,}
|
2nie{\ styl wyświetlania 2 ^ {n} \,}
|
Następny współczynnik knie'{\ styl wyświetlania k '_ {n} \,}
|
0{\ styl wyświetlania 0 \,}
|
0{\ styl wyświetlania 0 \,}
|
0{\ styl wyświetlania 0 \,}![0 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4b06f9315849466a0502680377e30a9da8a1b5) |
0{\ styl wyświetlania 0 \,}
|
Q{\ styl wyświetlania Q \,}![Q \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23c85e3da723c6f662dfd28b9ea209f3f0df613) |
1-x2{\ styl wyświetlania 1-x ^ {2} \,}
|
1-x2{\ styl wyświetlania 1-x ^ {2} \,}
|
1-x2{\ styl wyświetlania 1-x ^ {2} \,}![{\ styl wyświetlania 1-x ^ {2} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09e974ecaab5677a4844b08e1afc9453d4095fc) |
1{\ styl wyświetlania 1 \,}
|
L{\ styl wyświetlania L \,}![L \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d330bc0cd693cc87e3943137dc591038a89f77e2) |
-x{\ styl wyświetlania -x \,}
|
-3x{\ styl wyświetlania -3x \,}
|
-2x{\ styl wyświetlania -2x \,}![{\ styl wyświetlania -2x \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23553e8384a4c6f0dff75c60540af382bef8973b) |
-2x{\ styl wyświetlania -2x \,}
|
R(x)=mi∫L(x)Q(x) rex{\ displaystyle R (x) = e ^ {\ int {\ frac {L (x)} {Q (x)}} ~ \ matematyka {d} x}}
|
(1-x2)1/2{\ styl wyświetlania (1-x ^ {2}) ^ {1/2} \,}![{\ styl wyświetlania (1-x ^ {2}) ^ {1/2} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0f40ab643c82605c6e80eeeccdc2761c5713f5) |
(1-x2)3/2{\ styl wyświetlania (1-x ^ {2}) ^ {3/2} \,}
|
1-x2{\ styl wyświetlania 1-x ^ {2} \,}![{\ styl wyświetlania 1-x ^ {2} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09e974ecaab5677a4844b08e1afc9453d4095fc) |
mi-x2{\ styl wyświetlania e ^ {- x ^ {2}} \,}
|
Stała w równaniu różniczkowym, λnie{\ styl wyświetlania {\ lambda} _ {n} \,}
|
nie2{\ styl wyświetlania n ^ {2} \,}![{\ styl wyświetlania n ^ {2} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90cee51aae1283734bbde1736bfbbc8a5e7374b7) |
nie(nie+2){\ styl wyświetlania n (n + 2) \,}
|
nie(nie+1){\ styl wyświetlania n (n + 1) \,}![{\ styl wyświetlania n (n + 1) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eecf4b6b489ecd1af4244aa897ed0e868ec5260) |
2nie{\ styl wyświetlania 2n \,}
|
Stała we wzorze Rodriguesa ,minie{\ styl wyświetlania e_ {n} \,}
|
(-2)nieΓ(nie+1/2)π{\ displaystyle (-2) ^ {n} \, {\ frac {\ gamma (n + 1/2)} {\ sqrt {\ pi}}} \,}
|
2(-2)nieΓ(nie+3/2)(nie+1)π{\ displaystyle 2 (-2) ^ {n} \, {\ frac {\ Gamma (n + 3/2)} {(n + 1) \, {\ sqrt {\ pi}}}} \,}
|
(-2)nienie!{\ styl wyświetlania (-2) ^ {n} \, n! \,}![{\ styl wyświetlania (-2) ^ {n} \, n! \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a29606cb56c839dda61c0dea28035caddac8263) |
(-1)nie{\ styl wyświetlania (-1) ^ {n} \,}
|
Relacja nawrotu, wnie{\ styl wyświetlania a_ {n} \,}
|
2{\ styl wyświetlania 2 \,}![2 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f0585b3d3c0d207a91af7a41e4173b58f309ae) |
2{\ styl wyświetlania 2 \,}
|
2nie+1nie+1{\ displaystyle {\ frac {2n + 1} {n + 1}} \,}![{\ displaystyle {\ frac {2n + 1} {n + 1}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5923686972e73b408f842d0e964c8f07d6674e9) |
2{\ styl wyświetlania 2 \,}
|
Relacja nawrotu, bnie{\ styl wyświetlania b_ {n} \,}
|
0{\ styl wyświetlania 0 \,}![0 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4b06f9315849466a0502680377e30a9da8a1b5) |
0{\ styl wyświetlania 0 \,}
|
0{\ styl wyświetlania 0 \,}![0 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4b06f9315849466a0502680377e30a9da8a1b5) |
0{\ styl wyświetlania 0 \,}
|
Relacja nawrotu, vsnie{\ styl wyświetlania c_ {n} \,}
|
1{\ styl wyświetlania 1 \,}![1 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd1e7984fe6e1b79a26404a8138a6c6ee41a476) |
1{\ styl wyświetlania 1 \,}
|
nienie+1{\ displaystyle {\ frac {n} {n + 1}} \,}![{\ displaystyle {\ frac {n} {n + 1}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae7661809e6a7f6eb3e9658758a9a7d4317fac3c) |
2nie{\ styl wyświetlania 2n \,}
|
Nazwa i symbol
|
partner Laguerre'a ,Lnie(α){\ styl wyświetlania L_ {n} ^ {(\ alfa)}}
|
Laguerre , Lnie{\ styl wyświetlania \ L_ {n}}
|
---|
Granice ortogonalności |
0,∞{\ styl wyświetlania 0, \ infty \,}
|
0,∞{\ styl wyświetlania 0, \ infty \,}
|
Waga, W(x){\ styl wyświetlania W (x) \,}
|
xαmi-x{\ displaystyle x ^ {\ alfa} e ^ {- x} \,}
|
mi-x{\ styl wyświetlania e ^ {- x} \,}
|
Normalizacja
|
Dominujący współczynnik = (-1)nienie!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}
|
Dominujący współczynnik = (-1)nienie!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}
|
Kwadrat standardowy hnie{\ styl wyświetlania h_ {n} \,}
|
1{\ styl wyświetlania 1 \,}![1 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd1e7984fe6e1b79a26404a8138a6c6ee41a476) |
1{\ styl wyświetlania 1 \,}
|
Dominujący współczynnik knie{\ styl wyświetlania k_ {n} \,}
|
(-1)nienie!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}![{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7940678552e70ee42f8e12fbf387fc01485a3f) |
(-1)nienie!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}
|
Następny współczynnik knie'{\ styl wyświetlania k '_ {n} \,}
|
(-1)nie+1(nie+α)(nie-1)!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n + 1} (n + \ alfa)} {(n-1)!}} \,}
|
(-1)nie+1nie(nie-1)!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n + 1} n} {(n-1)!}} \,}
|
Q{\ styl wyświetlania Q \,}![Q \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23c85e3da723c6f662dfd28b9ea209f3f0df613) |
x{\ styl wyświetlania x \,}
|
x{\ styl wyświetlania x \,}
|
L{\ styl wyświetlania L \,}![L \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d330bc0cd693cc87e3943137dc591038a89f77e2) |
α+1-x{\ styl wyświetlania \ alfa + 1-x \,}
|
1-x{\ styl wyświetlania 1-x \,}
|
R(x)=mi∫L(x)Q(x) rex{\ displaystyle R (x) = e ^ {\ int {\ frac {L (x)} {Q (x)}} ~ \ matematyka {d} x}}
|
xα+1mi-x{\ displaystyle x ^ {\ alfa +1} \, e ^ {- x} \,}![{\ displaystyle x ^ {\ alfa +1} \, e ^ {- x} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d77e515e232bb58649cb11ac12b97e9332c3e91) |
xmi-x{\ styl wyświetlania x \, e ^ {- x} \,}
|
Stała w równaniu różniczkowym, λnie{\ styl wyświetlania {\ lambda} _ {n} \,}
|
nie{\ styl wyświetlania n \,}![nie\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205e33e6845813cc72ca346b896a7945f90ca373) |
nie{\ styl wyświetlania n \,}
|
Stała w relacji Rodriguesa, minie{\ styl wyświetlania e_ {n} \,}
|
nie!{\ styl wyświetlania n! \,}![{\ styl wyświetlania n! \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945282047859fba9f177762482a86d00c899dd82) |
nie!{\ styl wyświetlania n! \,}
|
Relacja nawrotu, wnie{\ styl wyświetlania a_ {n} \,}
|
-1nie+1{\ displaystyle {\ frac {-1} {n + 1}} \,}![{\ displaystyle {\ frac {-1} {n + 1}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc709688c847a6f8b2469032ccd8f8d8d86da6c3) |
-1nie+1{\ displaystyle {\ frac {-1} {n + 1}} \,}
|
Relacja nawrotu, bnie{\ styl wyświetlania b_ {n} \,}
|
2nie+1+αnie+1{\ displaystyle {\ frac {2n + 1 + \ alfa} {n + 1}} \,}
|
2nie+1nie+1{\ displaystyle {\ frac {2n + 1} {n + 1}} \,}
|
Relacja nawrotu, vsnie{\ styl wyświetlania c_ {n} \,}
|
nie+αnie+1{\ displaystyle {\ frac {n + \ alfa} {n + 1}} \,}![{\ displaystyle {\ frac {n + \ alfa} {n + 1}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ebf1dc91b176fdc09e1283549bbdc02495e5cf) |
nienie+1{\ displaystyle {\ frac {n} {n + 1}} \,}
|
Nazwa i symbol
|
Gegenbauera ,VSnie(α){\ styl wyświetlania C_ {n} ^ {(\ alfa)}}
|
Jacobiego ,Pnie(α,β){\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alfa, \ beta)}}
|
---|
Granice ortogonalności |
-1,1{\ styl wyświetlania -1,1 \,}
|
-1,1{\ styl wyświetlania -1,1 \,}
|
Waga, W(x){\ styl wyświetlania W (x) \,}
|
(1-x2)α-1/2{\ styl wyświetlania (1-x ^ {2}) ^ {\ alfa -1/2} \,}
|
(1-x)α(1+x)β{\ displaystyle (1-x) ^ {\ alfa} (1 + x) ^ {\ beta} \,}
|
Normalizacja
|
VSnie(α)(1)=Γ(nie+2α)nie!Γ(2α){\ displaystyle C_ {n} ^ {(\ alfa)} (1) = {\ Frac {\ Gamma (n + 2 \ alfa)} {n! \, \ Gamma (2 \ alfa)}} \,} cis α≠0{\ styl wyświetlania \ alfa \ neq 0}
|
Pnie(α,β)(1)=Γ(nie+1+α)nie!Γ(1+α){\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alfa, \ beta)} (1) = {\ Frac {\ Gamma (n + 1 + \ alfa)} {n! \, \ Gamma (1+ \ alfa)} } \,}
|
Kwadrat standardu, hnie{\ styl wyświetlania h_ {n} \,}
|
π21-2αΓ(nie+2α)nie!(nie+α)(Γ(α))2{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi \, 2 ^ {1-2 \ alfa} \ Gamma (n + 2 \ alfa)} {n! (n + \ alfa) (\ Gamma (\ alfa)) ^ {2 } }}}
|
2α+β+1Γ(nie+α+1)Γ(nie+β+1)nie!(2nie+α+β+1)Γ(nie+α+β+1){\ displaystyle {\ frac {2 ^ {\ alfa + \ beta +1} \, \ Gamma (n \! + \! \ alfa \! + \! 1) \, \ Gamma (n \! + \! \ beta \! + \! 1)} {n! (2n \! + \! \ alfa \! + \! \ beta \! + \! 1) \ Gamma (n \! + \! \ alfa \! + \ !\beta\!+ \!1)}}}
|
Dominujący współczynnik knie{\ styl wyświetlania k_ {n} \,}
|
Γ(2nie+2α)Γ(1/2+α)nie!2nieΓ(2α)Γ(nie+1/2+α){\ Displaystyle {\ Frac {\ Gamma (2n + 2 \ alfa) \ Gamma (1/2 + \ alfa)} {n! \, 2 ^ {n} \ \ Gamma (2 \ alfa) \ Gamma (n + 1/2 + \ alfa)}} \,}
|
Γ(2nie+1+α+β)nie!2nieΓ(nie+1+α+β){\ displaystyle {\ Frac {\ Gamma (2n + 1 + \ alfa + \ beta)} {n! \, 2 ^ {n} \, \ Gamma (n + 1 + \ alfa + \ beta)}} \, }
|
Następny współczynnik knie'{\ styl wyświetlania k '_ {n} \,}
|
0{\ styl wyświetlania 0 \,}
|
(α-β)Γ(2nie+α+β)(nie-1)!2nieΓ(nie+1+α+β){\ displaystyle {\ frac {(\ alfa - \ beta) \, \ gamma (2n + \ alfa + \ beta)} {(n-1)! \, 2 ^ {n} \, \ gamma (n + 1 + \ alfa + \ beta)}} \,}
|
Q{\ styl wyświetlania Q \,}![Q \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23c85e3da723c6f662dfd28b9ea209f3f0df613) |
1-x2{\ styl wyświetlania 1-x ^ {2} \,}
|
1-x2{\ styl wyświetlania 1-x ^ {2} \,}
|
L{\ styl wyświetlania L \,}![L \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d330bc0cd693cc87e3943137dc591038a89f77e2) |
-(2α+1)x{\ styl wyświetlania - (2 \ alfa +1) \, x \,}
|
β-α-(α+β+2)x{\ displaystyle \ beta - \ alfa - (\ alfa + \ beta +2) \, x \,}
|
R(x)=mi∫L(x)Q(x) rex{\ displaystyle R (x) = e ^ {\ int {\ frac {L (x)} {Q (x)}} ~ \ matematyka {d} x}}
|
(1-x2)α+1/2{\ styl wyświetlania (1-x ^ {2}) ^ {\ alfa + 1/2} \,}
|
(1-x)α+1(1+x)β+1{\ displaystyle (1-x) ^ {\ alfa +1} (1 + x) ^ {\ beta +1} \,}
|
Stała w równaniu różniczkowym, λnie{\ styl wyświetlania {\ lambda} _ {n} \,}
|
nie(nie+2α){\ styl wyświetlania n (n + 2 \ alfa) \,}![{\ styl wyświetlania n (n + 2 \ alfa) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181f538b154c71cd9bcde156f006fa2933b70ea6) |
nie(nie+1+α+β){\ styl wyświetlania n (n + 1 + \ alfa + \ beta) \,}
|
Stała w równaniu Rodriguesa, minie{\ styl wyświetlania e_ {n} \,}
|
(-2)nienie!Γ(2α)Γ(nie+1/2+α)Γ(nie+2α)Γ(α+1/2){\ displaystyle {\ Frac {(-2) ^ {n} \, n! \, \ Gamma (2 \ alfa) \, \ Gamma (n \! + \! 1/2 \! + \! \ alfa) } {\ Gamma (n \! + \! 2 \ alfa) \ Gamma (\ alfa \! + \! 1/2)}}}
|
(-2)nienie!{\ styl wyświetlania (-2) ^ {n} \, n! \,}
|
Relacja nawrotu, wnie{\ styl wyświetlania a_ {n} \,}
|
2(nie+α)nie+1{\ displaystyle {\ frac {2 (n + \ alfa)} {n + 1}} \,}
|
(2nie+1+α+β)(2nie+2+α+β)2(nie+1)(nie+1+α+β){\ displaystyle {\ frac {(2n + 1 + \ alfa + \ beta) (2n + 2 + \ alfa + \ beta)} {2 (n + 1) (n + 1 + \ alfa + \ beta)}} }
|
Relacja nawrotu, bnie{\ styl wyświetlania b_ {n} \,}
|
0{\ styl wyświetlania 0 \,}
|
(α2-β2)(2nie+1+α+β)2(nie+1)(2nie+α+β)(nie+1+α+β){\ displaystyle {\ frac {({\ alfa} ^ {2} - {\ beta} ^ {2}) (2n + 1 + \ alfa + \ beta)} {2 (n + 1) (2n + \ alfa + \ beta) (n + 1 + \ alfa + \ beta)}}}
|
Relacja nawrotu, vsnie{\ styl wyświetlania c_ {n} \,}
|
nie+2α-1nie+1{\ displaystyle {\ frac {n + 2 {\ alfa} -1} {n + 1}} \,}
|
(nie+α)(nie+β)(2nie+2+α+β)(nie+1)(nie+1+α+β)(2nie+α+β){\ displaystyle {\ frac {(n + \ alfa) (n + \ beta) (2n + 2 + \ alfa + \ beta)} {(n + 1) (n + 1 + \ alfa + \ beta) (2n + \ alfa + \ beta)}}}
|
Uogólnienia
Możliwe jest zdefiniowanie wielowymiarowych wielomianów ortogonalnych przy użyciu całek wielokrotnych . Tak jest na przykład w przypadku wielomianów Zernike , przydatnych w optyce geometrycznej i okulistyce, lub, bardziej ogólnie, w przypadku harmoniki sferycznej .
Uwaga
-
Zobacz na przykład II.2 kwestia tego problemu z CAPES 2000 zewnętrzne ( 1 st testowym) i jego skorygowanej lub wykonywania korygowane na Wikipedii .
Załączniki
Bibliografia w języku francuskim
- Jean Dieudonné, „Ułamki ciągłe i wielomiany ortogonalne” , w EN Laguerre, Wielomiany ortogonalne i zastosowania , Springer,1985( czytaj online ) , s. 1-15
- Jean-Louis Ovaert, Wielomiany ortogonalne , w Słowniku matematyki, algebry, analizy, geometrii , Albin Michel i Encyclopædia Universalis , Paryż, 1997
Bibliografia w języku angielskim
- (en) Milton Abramowitz i Irene Stegun , Podręcznik funkcji matematycznych ze wzorami, wykresami i tabelami matematycznymi [ szczegóły wydania ] ( czytaj online ) , rozdz. 22 („Wielomiany ortogonalne”) , s. 773-792
- (en) Theodore Seio Chihara (en) , Wprowadzenie do wielomianów ortogonalnych , Dover Publications ,2011( 1 st ed. 1978), 270 , str. ( ISBN 978-0-486-47929-3 , czytaj online )
- (en) Mourad EH Ismail (en) , Klasyczne i kwantowe wielomiany ortogonalne w jednej zmiennej , Cambridge (GB), Cambridge University Press , coll. "Encyclopedia Matematyczny i jej zastosowanie" ( N O 98)2005, 706 s. ( ISBN 978-0-521-78201-2 , czytaj online )
- (en) Tom H. Koornwinder (de) , Roderick SC Wong, Roelof Koekoek i René F. Swarttouw, rozdz. 18 „Wielomiany ortogonalne” , w: Frank WJ Olver i in. , Cyfrowa Biblioteka Funkcji Matematycznych ( czytaj online )
- (en) Qazi Ibadur Rahman i Gerhard Schmeisser, Analytyczna teoria wielomianów , Oxford University Press ,2002( przeczytaj online )
- (en) PK Suetin , „Wielomiany ortogonalne” , w Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , czytaj online )
- (en) Gábor Szegő , Wielomiany ortogonalne , AMS , coll. "Kolokwium publikacje" ( N O 23)1939( ISBN 978-0-8218-1023-1 , czytaj online )
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">