Prostokąt

W geometrii , A prostokąt to czworokąt , którego cztery kąty są w porządku .

Definicja i właściwości

Czworoboku jest wielokąt (zatem płaszczyzny rysunku ), składający się z czterech punktów (zwanych wierzchołki ) i cztery segmenty (lub boku ) łączący te wierzchołki dwójkami, tak by ograniczał zamknięty kontur.

Definicja  -  prostokąt to czworokąt, który ma cztery kąty proste.

• Czworokąty. Dwa w lewym górnym rogu (zielony i brązowy) to prostokąty.

• Prostokąt, jego dwie przekątne i zakodowany kąt prosty .

Udowodnij, że czworokąt jest prostokątem

Różne cechy charakterystyczne pozwalają stwierdzić, że czworobok jest prostokątem.

Wystarczy, że czworokąt ma trzy kąty proste, aby było prostokątem.

Każdy równoboczny czworokąt (to znaczy wszystkie cztery kąty są równe) jest prostokątem.

Jeśli czworokąt jest równoległobokiem , to jest prostokątem, jeśli jest spełniona którakolwiek z następujących właściwości:

• ma dwa kolejne prostopadłe boki (innymi słowy: ma kąt prosty);
• jego dwie przekątne mają tę samą długość .

Nieruchomości

Prostokąt to szczególny przypadek równoległoboku, więc:

• jego przeciwległe boki są równoległe i tej samej długości;
• jego dwie przekątne przecinają się w środku;
• ten punkt środkowy jest środkiem symetrii prostokąta.

Posiada dodatkowe właściwości:

• jego przekątne mają tę samą długość;
• ma dwie osie symetrii, które są mediatorami jego boków;
• przekątne są tej samej długości i sieczne w ich środku O , cztery wierzchołki prostokąta są jednakowo oddalone od O , co oznacza, że ​​istnieje okrąg ze środkiem O przechodzącym przez te cztery wierzchołki, zwany okręgiem ograniczonym do prostokąta, który jest sobą - to samo powiedział wpisane w to koło .

Do tworzenia mozaikowania płaszczyzny można użyć dowolnego prostokąta . Oznacza to, że za pomocą identycznych prostokątów można pokryć całą płaszczyznę bez nakładania dwóch prostokątów. Prostopadłe linie dzielą płaszczyznę na prostokątne obszary.

Środki

Obwód	2 × ( a  +  b )
Powierzchnia	a  ×  b
Przekątna	√ a 2 + b 2

Boków prostokąta są dwa na dwa, o jednakowej długości a i b , to jest zwyczajowo nazwać te dwie liczby wymiarów tego prostokąta. Im większa długość prostokąta, tym mniejsza jego szerokość .

Prostokąt bokami a i b ma powierzchnię RÓWNOWARTOŚCI a  x  b i obwód z 2 x (  +  b ). Suma a  +  b jest czasami nazywana połową obwodu prostokąta.

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa pokazuje, że przekątne prostokąta są równe i mierząw2+b2.{\ Displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}

Środki te podsumowano w tabeli obok.

Dwa prostokąty o tej samej długości a i szerokości b są izometryczne . Oznacza to, że można je nakładać: jeden z nich może zostać przekształcony w drugi przez kolejne tłumaczenia , obroty lub odwrócenia . iloraz w/bnazywa się formatem prostokąta. Wszystkie prostokąty o równych rozmiarach są podobne  : istnieje powiększenie (lub zmniejszenie) umożliwiające przełączanie się między nimi. Innymi słowy, mają „ten sam kształt”. Ponieważ długość jest większa lub równa szerokości, format jest liczbą większą lub równą 1. Format równy 1 jest charakterystyczny dla kwadratu . Im większy format, tym bardziej „wydłużony” prostokąt.

Niezwykłe prostokąty

Kwadrat

Kwadrat jest zwłaszcza prostokąta, którego cztery boki mają taką samą długość .

Złoty prostokąt

Złoty prostokąt to prostokąt, którego stosunek długości do szerokości jest równy złotej liczbie .

Format prostokąta

Zobacz rozmiar A4 i różne rozmiary ekranu telewizora i komputera .

Ilustracja koncepcji odległości Hausdorffa

Oto, co oferuje prostokąt w kontekście elementarnej geometrii:

Niech R będzie prostokątem o szerokości b i długości a. Wtedy odległość Hausdorffa między R a jego granicą (topologią) jest równa b / 2. Wykonywany jest dla wszystkich KL, gdzie K jest punktem odcinka długości ab zawartego w środkowej względem szerokości, a L rzutem prostopadłym K na długość prostokąta. Odległość ta jest przydatna do obliczania odległości Hausdorffa między dwiema kolejnymi iteracjami dywanu Sierpińskiego skojarzonymi z prostokątem.

1. (w) Michael F.Barnsley, Fraktale wszędzie ,1993, 531  s. ( ISBN  978-0-12-079069-2 i 0-12-079069-6 , czytaj online ) , ćwiczenie 6.8 s.30

Załączniki

• Bibliografia: Patricia Rulence-Easter, Perception of surface and inference of surface: the case of the surface of the rectangle , EHESS, Université Paris 5, 1996 (praca doktorska z psychologii)
• Filmografia: Rectangle et rectangles , sekwencja 8:29 min, 1984, z kanadyjskiego filmu Geometry on the move, playing with shape and forme / Géométrie en mouvement, jeux et forme , reżyseria: Gayle Thomas, René Jodoin i Norman McLaren , National Office from Canada Film , 2006 ( DVD )