Pseudodowód równości liczb

Określenie pseudo dowód równości odnosi się do pozornej poprawności dowodów na równość które oczywiście fałszywe.

Ograniczymy się tutaj do patrzenia na sprawy równości między numerami , a my będziemy szczegółowo różne przywary Wśród najbardziej rozpowszechniony, które prowadzą do tych błędów . Zaproponowane w tym artykule metody mają być również najczęstsze, najbardziej informacyjne i, w miarę możliwości, najbardziej bezpośrednie.

Pseudo-demonstracja poprzez niezwykłe tożsamości i dzielenie przez zero

Zasada

Ta pseudodemonstracja jest oparta na następującym błędzie:

Wywnioskować z tego .

{\ styl wyświetlania 0 \ razy a = 0 \ razy b}

{\ styl wyświetlania a = b}

Generalnie odbywa się to w dwóch etapach:

tworzą poprzez niezwykłą tożsamość iloczyn dwóch członków równości, której jeden z czynników wynosi zero;
poprzez dzielenie przez zero uzyskaj absurdalny wynik.

Zauważ, że w zależności od użytej niezwykłej tożsamości i sposobu, w jaki się do niej podchodzi, można uzyskać dowolną fałszywą równość.

Rozgrywka polega głównie na ukrywaniu dzielenia przez zero w bardzo skomplikowanych operacjach z dużą liczbą niewiadomych, co utrudnia zidentyfikowanie niewłaściwej linii w demonstracji.

Technikę tę stosuje się zwłaszcza do „wykazują, że” 1 + 1 = 3, w The Encyclopedia of względnej i absolutnej wiedzy o Bernard Werber .

Przykład

Krok 1 :

Niech a i b będą dwiema niezerowymi liczbami rzeczywistymi, ustalamy $a = b$ .
Każdy członek mnożymy przez : $w$ $a ^ {2} = a \ razy b$ .
Odejmujemy : $b ^ 2$ $a ^ {2} -b ^ {2} = a \ razy bb ^ {2}$ .
Uwzględniamy każdego członka (w pierwszym używamy niezwykłej tożsamości): $(ab) \ razy (a + b) = b \ razy (ab)$ .

Drugi krok :

Dzielimy przez : $(ab)$ ${\ styl wyświetlania a + b = b}$ .
Jako , zastępujemy przez : $a = b$ $w$ $b$ ${\ styl wyświetlania b + b = b}$ ,
jest $2 \ razy b = 1 \ razy b$ .
Dzielimy przez : $b$ ${\ styl wyświetlania 2 = 1}$ .

Błąd popełniamy, gdy dokonujemy dzielenia przez , ponieważ wtedy dzielimy przez 0, co jest niemożliwe. $(ab)$ $a = b$ $ab = 0$

Wariant bez niezwykłej tożsamości

Zaczynamy od następującej propozycji: $2 = 1 + 1$
Każdy członek mnożymy przez : $(2-1)$ $2 (2-1) = (1 + 1) (2-1)$ .
Rozwijamy: $2 \ razy 2-2 \ razy 1 = 2 \ razy 1 + 2 \ razy 1-1 \ razy 1-1 \ razy 1$ .
Od każdego członka odejmujemy : $2 \ razy 1$ $2 \ razy 2-2 \ razy 1-2 \ razy 1 = 2 \ razy 1-1 \ razy 1-1 \ razy 1$ .
Bierzemy pod uwagę: $2 \ razy (2-1-1) = 1 \ razy (2-1-1)$ .
Możemy uprościć i otrzymujemy: $2 = 1$ .
Wystarczy dodać, aby w końcu mieć: $1$ $3 = 1 + 1$ .

Rozwiązanie: Upraszczając z , robimy:

(2-1-1)

{\ frac {2 \ razy (2-1-1)} {(2-1-1)}} = {\ frac {1 \ razy (2-1-1)} {(2-1-1)} }

więc dzielimy przez 2-1-1 tj. o 0.

Pseudoodporność poprzez równania i pomylenie warunku koniecznego i wystarczającego

Zasada

Innym powszechnym pseudodowodem jest ograniczenie zbioru możliwych rozwiązań równania, a następnie stwierdzenie, że jednym z elementów zbioru jest pierwiastek.

Odbywa się to w następujący sposób:

badanie równania (ograniczenie zbioru możliwych rozwiązań do małej liczby, jednego lub dwóch);
afirmacja zbioru możliwych rozwiązań jako zbioru rozwiązań;
test jednego z domniemanych korzeni i absurdalnego wyniku.

Przykład

Krok 1 :

Rozważ równanie:

x ^ {2} + x + 1 = 0

Jego rozwiązania to również (poza zerem):

x (x ^ {2} + x + 1) = 0 \ Leftrightarrow x ^ {3} + x ^ {2} + x = 0 \ Leftrightarrow x ^ {3} = - x ^ {2} -x

Jednak zgodnie z początkowym równaniem:

x ^ {2} + x + 1 = 0 \ Lewoprawo x ^ {2} = - x-1

w związku z tym :

x ^ {3} = - (- x-1) -x = 1

Krok 2: Jedynym możliwym prawdziwym rootem jest 1.

Krok 3: Zastępując x przez 1 w początkowym równaniu, otrzymujemy równość . $3 = 0$

Pseudoodporność poprzez niezdefiniowane pierwiastki kwadratowe

Zasada

Jest to częsty błąd dedukowania z tego , poprawna implikacja polega na wywnioskowaniu z tego , gdzie |x| jest wartością bezwzględną x. ${\ styl wyświetlania a ^ {2} = b ^ {2}}$ $a = b$ ${\ styl wyświetlania a ^ {2} = b ^ {2}}$ ${\ styl wyświetlania | a | = | b |}$

Dwuetapowy:

napisz prawdziwą równość między kwadratami;
zastosuj fałszywą implikację, pisząc równość bez kwadratów (poprzez wywołanie niezdefiniowanej funkcji pierwiastka kwadratowego , na przykład w ). $\ mathbb {C}$

Możemy uogólnić tę zasadę na złożone wykładniki , wywołując niezdefiniowaną funkcję logarytmiczną w zbiorze roboczym, na przykład . Pierwiastki kwadratowe są zapisywane w tym ostatnim zestawie . $\ mathbb {C}$ ${\ sqrt {z}} = \ pm {\ sqrt {| z |}} \ exp \ po lewej (i {\ tfrac {\ arg z} 2} \ po prawej)$

Przykłady

Przykład

Krok 1 :

Rozważ równość , którą można zapisać w postaci ilorazów : $-1 = -1$

{\ displaystyle {\ frac {1} {-1}} = {\ frac {-1} {1}}}

Złoto (patrz liczba urojona ), stąd $-1 = ja ^ {2}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {i ^ {2}}} = {\ frac {i ^ {2}} {1}}}

Drugi krok :

Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z obu stron, co daje:

{\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {1} {i ^ {2}}}} = {\ sqrt {\ frac {i ^ {2}} {1}}} \ Leftrightarrow {\ frac {\ sqrt {1 }} {\ sqrt {i ^ {2}}}} = {\ frac {\ sqrt {i ^ {2}}} {\ sqrt {1}}} \ Leftrightarrow {\ frac {1} {i}} = {\ frac {i} {1}}}

Mnożąc przez i po obu stronach, otrzymujemy

1 = ja ^ {2}

A od tego czasu mamy $ja ^ 2 = -1$

1 = -1

. Przykład załącznika (poprzez logarytm )

\ ln (-1) + \ ln (-1) = \ ln ((- 1) ^ {2}) = \ ln (1) = 0

Więc,

\ ln (-1) = \ ln (i ^ {2}) = 2 \ cdot \ ln (i) = 0 \ Rightarrow e ^ {{\ ln (i)}} = e ^ {0} (= 1)

A ponieważ wykładnik jest wzajemnym zastosowaniem logarytmu naturalnego :

ja = 1

Pseudoodporność za pomocą sumowania rozmytego

Zasada

Pisząc sumę w sposób rozmyty , czyli nie w sposób formalny:

S = \ suma _ {{k = 1}} ^ {n} k

ale z punktami zawieszenia:

S = 1 + \ ldots + n

fikcyjna zmienna sumująca (zanotowana tutaj ) jest rzeczywiście pomijana milczeniem, a brak formalizmu punktów zawieszenia służy maskowaniu błędu. $k$

Metodologia:

robić obliczenia na sumę;
generować błąd poprzez zbiór definicji zmiennej fikcyjnej, innymi słowy liczbę terminów;
skutkuje absurdalnym rezultatem.

Warianty

Wariant przez obejście

Wyprowadzenie będą wykonywane w różny sposób w zależności od państwa równości, po lewej stronie będzie to kwestia prawidłowego wyprowadzenia, a po prawej na wyprowadzenie bez brania pod uwagę fakt, że zmienna x jest również kardynał zestawu warunków .

Krok 1: Niech będzie liczbą całkowitą. Z definicji funkcji kwadratowej: $x$

x ^ {2} = x + \ cdots + x

( warunki)

x

Krok 2: Dryfując w odniesieniu do : $x$

2x = 1 + \ cdots +1

( terminy),

x

Krok 3: stąd uproszczenie przez : $x$

2 = 1

Wariant poprzez ciąg arytmetyczny

Wariant ten gra na sumie pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego liczb całkowitych. $nie$

Krok 1 :

Suma pierwszych liczb całkowitych jest zapisywana: $nie$

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad 1 + 2 + 3 + \ kropki + n = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}

Odnosi się to również do rangi : $n-1$

{\ displaystyle \ forall (n-1) \ in \ mathbb {N} \ quad 1 + 2 + 3 + \ kropki + n-1 = {\ frac {(n-1) n} {2}}}

Stąd dodając w każdym członku: $1$

{\ displaystyle \ forall (n-1) \ in \ mathbb {N} \ quad 1 + 2 + 3 + \ kropki + n-1 + 1 = {\ frac {(n-1) n} {2}} + 1}

Drugi krok :

Równość tę można również zapisać:

{\ displaystyle \ forall (n-1) \ in \ mathbb {N} \ quad 1 + 2 + 3 + \ kropki + n = {\ frac {(n-1) n + 2} {2}}}

Zgodnie z równością rang mamy zatem: $nie$

{\ displaystyle \ forall (n-1) \ in \ mathbb {N} \ quad \ left [{\ frac {n (n + 1)} {2}} = {\ frac {(n-1) n + 2 } {2}} \ Lewoprawostrzałka n (n + 1) = (n-1) n + 2 \ prawo]}

Skąd :

{\ displaystyle \ forall (n-1) \ in \ mathbb {N} \ quad \ lewo [n ^ {2} + n = n ^ {2} -n + 2 \ lewoprawo strzałka 2n = 2 \ prawo]}

Krok 3:

Wreszcie:

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad n = 1}

Błąd wynika z tego, że mylimy sumy i . $\ suma _ {{k = 1}} ^ {n} k$ ${\ styl wyświetlania \ suma _ {k = 1} ^ {n-1} k + 1}$

Pseudodemonstracja poprzez zmianę niedozwolonej zmiennej podczas integracji

Zasada

Kiedy jeden przeprowadza zmianę zmiennej podczas integracji w segmencie, to wystarczy, że zmiana jest zmienna C 1 - dyfeomorfizmu . Jeśli zmiana zmiennej jest przeprowadzana zbyt pospiesznie, nierzadko można znaleźć absurdalny wynik na końcu integracji.

Kroki :