Zadanie kwadratowe wpisane

Wpisany błąd kwadratowy , znany również jako przypuszczeń Toeplitz , jest otwartym problemem w geometrii . Ten problem jest określony w następujący sposób:

Czy każda prosta zamknięta krzywa (zwana także krzywą Jordana ) dopuszcza wpisany kwadrat?

Sformułowany przez Otto Toeplitza w 1911 r. I pomimo wielu postępów problem ten do dziś pozostaje nierozwiązany.

Stan badań

• Pierwszy duży postęp pochodzi od Arnolda Emcha, który w 1913 roku udowodnił wynik dla każdej wypukłej krzywej .
• W 1929 roku Lev Schnirelmann rozszerzył ten wynik na krzywe dwukrotnie różniczkowalne i tak, że druga pochodna jest ciągła. Dowód, który został zbadany w 1965 roku przez Heinricha Guggenheimera, który dodał i poprawił niektóre kwestie techniczne.
• W 1950 roku Ogilvy opublikował dowód ogólnego problemu bez żadnych warunków. Jednak ten dowód okaże się fałszywy.
• W 1989 roku Walter Stromquist udowodnił, że każda lokalnie monotoniczna krzywa dopuszcza co najmniej jeden wpisany kwadrat. Z wyjątkiem krzywych fraktalnych i kilku innych krzywych, wszystkie krzywe są zawarte w tym twierdzeniu. Ten ważny wynik dowodzi, że każda krzywa, którą można narysować papierem i ołówkiem, dopuszcza wpisany kwadrat.

Metoda tworzenia wpisanego kwadratu dowolnej krzywej byłaby następująca:

• • Przybliż tę krzywą serią lokalnie monotonicznych krzywych.
  • Użyj wyniku Stromquista, aby uzyskać wpisany kwadrat w każdej iteracji.
  • Weź granicę serii kwadratów.

Jedynym problemem związanym z tą metodą jest to, że nie można zagwarantować, że otrzymany kwadrat nie jest zdegenerowany (o boku zerowej długości).

• W 1995 roku Nielsen i Wright udowodnili, że każda krzywa przyjmująca środek symetrii dopuszcza co najmniej jeden wpisany kwadrat. Umożliwia to udowodnienie hipotezy Toeplitza dla jeszcze większej liczby krzywych, które nie są zawarte w twierdzeniu Stromquista, takich jak symetryczne krzywe fraktalne. Na przykład płatek Kocha , który nie jest lokalnie monotoniczny, ale przyjmuje środek symetrii, ma zatem co najmniej jeden wpisany kwadrat.

Warianty i uogólnienia

Udowodniono w 1980 roku, że każda krzywa Jordana C dopuszcza wpisany trójkąt podobny do danego trójkąta T i istnieje metoda jego znalezienia. Wynik ten został uzupełniony w 1992 r. Przez sprecyzowanie, że zbiór wierzchołków trójkątów podobnych do T i wpisanych w C jest gęsty w C.
Jeśli zamiast kwadratu rozważymy tym razem wpisany prostokąt, wynik został ogólnie zademonstrowany przez Herberta Vaughana w 1977.

Linki zewnętrzne

• Kwadrat na krzywej autorstwa Étienne Ghys na stronie images des Maths
• (en) Mark J. Nielsen, Figury wpisane na krzywych. Krótka prezentacja starego problemu
• (en) Igor Pak, Dyskretny problem z kwadratowymi kołkami
• (fr) Wizualna demonstracja problemu wpisanego prostokąta
• (fr) Niektóre podejścia do problemu na blogu Terence Tao

Bibliografia

1. Toeplitz, Oscar: Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), s.  197 .
2. Emch, Arnold: Niektóre właściwości zamkniętych wypukłych krzywych w płaszczyźnie. Gorzki. J. Math. 35 (1913), nr. 4, str.  407–412 .
3. LG Shnirelman , O pewnych właściwościach geometrycznych zamkniętych krzywych (po rosyjsku) Uspehi Matem. Nauk 10, (1944) s.  34–44 .
4. Guggenheimer, Heinrich: Skończone zbiory na krzywych i powierzchniach. Israel J. Math. 3 (1965) str.  104–112 .
5. Ogilvy, CS: Advanced Problems and Solutions: 4325, Amer. Matematyka. Miesięcznik 57 (1950), nr. 6, 423–424
6. Stromquist, Walter: Wpisane kwadraty i kwadratowe czworoboki na zamkniętych krzywych. Mathematika 36 (1989), nr. 2, str.  187–197 .
7. Mark J. Nielsen i SE Wright, Rectangles wpisane w symetryczne continua, Geometriae Dedicata 56: 285-297 (1995)
8. Mark D. Meyerson, Trójkąty równoboczne i krzywe ciągłe, Fund. Matematyka. 110: 1-9 (1980).
9. Mark J. Nielsen, Trójkąty wpisane w proste zamknięte krzywe, Geometriae Dedicata 43: 291-297 (1992).
10. Vaughan H., Balancing Acts, Topology Proceedings. 6: 59-75 (1981), Mark D. Meyerson