Problem konwergencji (matematyka)
W matematyce, a dokładniej w analitycznej teorii o ogólnych ułamków ze złożonych współczynników The błąd zbieżności jest ustalenie warunków, w częściowych liczników ı i częściowych mianownika b I , które są wystarczające aby zagwarantować zbieżność ułamka
b0+w1b1+w2b2+w3b3+⋱{\ Displaystyle b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + {\ cfrac {a_ {3}} {b_ {) 3} + \ ddots}}}}}}}, teraz zaznaczone w tym artykule b0+w1∣∣b1+w2∣∣b2+w3∣∣b3+⋯,{\ Displaystyle b_ {0} + {\ Frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ Frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + {\ frac {a_ {3} \ mid} {\ mid b_ {3}}} + \ cdots,}
czyli zbieżność sekwencji jego redukcji
b0+w1∣∣b1+w2∣∣b2+...+wnie∣∣bnie.{\ Displaystyle b_ {0} + {\ Frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ Frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ ldots + {\ frac {a_ {n} \ mid} {\ mid b_ {n}}}.}
Podstawowe wyniki
Konieczny i dostateczny warunek konwergencji
Z definicji ułamek jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy B n jest różna od zera z pewnej rangi i ogólnego szeregu terminów
Wniebnie-Wnie-1bnie-1=(-1)nie-1w1...wniebnie-1bnie{\ Displaystyle {\ Frac {A_ {n}} {B_ {n}}} - {\ Frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} = (- 1) ^ {n-1 } {\ frac {a_ {1} \ ldots a_ {n}} {B_ {n-1} B_ {n}}}}
zbiega się , gdzie A n i B n oznaczają liczniki i mianowniki redukcji, a powyższą równość wyprowadza się ze wzorów na redukcje . Co więcej, jeśli kompleksy a n i b n są funkcjami zmiennej z i jeśli zbieżność szeregu jest jednorodna względem z , to oczywiście jest taka sama dla zbieżności ułamka ciągłego.
Twierdzenie Sterna-Stolza i Seidela-Sterna
Jeśli wszystkie liczniki cząstkowe a n są niezerowe, łatwo zredukujemy przez konwersję do przypadku, w którym są one równe 1. Następnie mówimy, że ułamek jest regularny.
Dla zwykłego ułamka mamy wzrost
|bnie|≤(1+|b1|)...(1+|bnie|).{\ Displaystyle | B_ {n} | \ równoważnik (1+ | b_ {1} |) \ ldots (1+ | b_ {n} |).}
Zgodnie z powyższym kryterium warunkiem koniecznym osiągnięcia zbieżności tego ułamka jest zatem rozbieżność iloczynu nieskończonego (1 + | b n |) lub, co jest równoważne, że szereg | b n | rozbieżne: to jest twierdzenie Sterna - Stolza .
Dla ułamka o złożonych współczynnikach ten warunek zbieżności nie jest wystarczający: na przykład ułamek okresu 1
1∣∣ja+1∣∣ja+1∣∣ja+⋯{\ Displaystyle {\ Frac {1 \ mid} {\ mid {\ rm {i}}}} + {\ Frac {1 \ mid} {\ mid {\ rm {i}}}} + {\ Frac {1 \ mid} {\ mid {\ rm {i}}}} + \ cdots}
nie zbiegają się, chociaż ogólny szereg terminów | i | = 1 jest z grubsza rozbieżna .
Jednak dla ułamka regularnego, którego wszystkie mianowniki b n są ściśle dodatnimi liczbami rzeczywistymi , ten warunek jest również wystarczający: jest nim twierdzenie Seidela -Sterna. Rzeczywiście, w tym przypadku szeregi równoważne ułamkowi są naprzemienne, a formuły powtarzania na B n pozwalają na ich obniżenie:
b2nie≥b1(b2+b4+...+b2nie) i b2nie+1≥b1+b3+...+b2nie+1.{\ Displaystyle B_ {2n} \ geq b_ {1} (b_ {2} + b_ {4} + \ ldots + b_ {2n}) {\ tekst {i}} B_ {2n + 1} \ geq b_ {1 } + b_ {3} + \ ldots + b_ {2n + 1}.}
Konwergencja warunkowa i bezwarunkowa
W przeciwieństwie do serii ułamek
b0+w1∣∣b1+w2∣∣b2+⋯{\ Displaystyle b_ {0} + {\ Frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ Frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ cdots}
może być bardzo zbieżny bez jego „wyodrębnionych frakcji”
bnie-1+wnie∣∣bnie+wnie+1∣∣bnie+1+⋯{\ Displaystyle b_ {n-1} + {\ Frac {a_ {n} \ mid} {\ mid b_ {n}}} + {\ Frac {a_ {n + 1} \ mid} {\ mid b_ {n +1}}} + \ cdots}
wszyscy są. Na przykład :
1+-1∣∣2+-1∣∣2+-1∣∣2+⋯=0{\ Displaystyle 1 + {\ Frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ Frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ Frac {-1 \ mid} {\ mid 2 }} + \ cdots = 0}
w związku z tym
1+1∣∣1+1∣∣1+-1∣∣2+-1∣∣2+-1∣∣2+⋯=1+1∣∣1+1∣∣0=1{\ Displaystyle 1 + {\ Frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + \ cdots = 1 + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1 }} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 0}} = 1}
Ale
1+1∣∣1+-1∣∣2+-1∣∣2+-1∣∣2+⋯=+∞.{\ Displaystyle 1 + {\ Frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ Frac {-1 \ mid} {\ mid 2} } + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + \ cdots = + \ infty.}
O zbieżnym ułamku mówi się, że jest bezwarunkowo zbieżny, gdy wszystkie jego „wyodrębnione ułamki” są zbieżne, aw przeciwnym razie warunkowo zbieżne . Odtąd, o ile nie określono inaczej, kiedy mówimy o zbieżności uogólnionego ułamka ciągłego, będzie to implicite pojęcie „dobre”: konwergencja bezwarunkowa, która z definicji jest dziedziczona przez „ułamki wyodrębnione”.
Zbieżność w kierunku x ułamka jest bezwarunkowa wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z jego reduktorów nie jest równy x .
Okresowe ciągłe ułamki
Okresowy ułamek ciągły (którego szczególnym przypadkiem jest ten odpowiadający kwadratowej niewymiernej ) jest ułamkiem ciągłym, którego dwa szeregi częściowych liczników i częściowych mianowników są, z pewnej rangi, okresowe i którego częściowe liczniki nie są zerowe. Aby je przestudiować, wystarczy oczywiście skoncentrować się na tych zwanych „czysto okresowymi”, przy czym b 0 = 0, to znaczy te o postaci
x=w1∣∣b1+w2∣∣b2+⋯+wk∣∣bk+w1∣∣b1+w2∣∣b2+⋯+wk∣∣bk+⋯.{\ Displaystyle x = {\ Frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {k} \ mid} {\ mid b_ {k}}} + {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {k} \ mid} {\ mid b_ {k}}} + \ cdots.}Stosując teorię transformacji Möbiusa do
s(w)=Wk-1w+Wkbk-1w+bk{\ Displaystyle s (w) = {\ Frac {A_ {k-1} w + A_ {k}} {B_ {k-1} w + B_ {k}}}}
gdzie K -1 , B K -1 , K i B K są liczniki i mianownik z zmniejszenie wskaźników k - 1 i k o x pokazujemy, że jeśli x zbieżny, to jest zbieżny z jednym ze stałych punktów od s ( w ). Dokładniej, niech r 1 i R 2 są z korzeni z równania kwadratowego
bk-1w2+(bk-Wk-1)w-Wk=0,{\ Displaystyle B_ {k-1} w ^ {2} + (B_ {k} -A_ {k-1}) w-A_ {k} = 0,}
które są stałymi punktami s ( w ). Jeśli B k –1 nie jest zerem, x zbiega się do r 1 wtedy i tylko wtedy, gdy
-
r 1 = r 2 lub
- obniżenie wskaźnika k - 1 jest bliższe r 1 niż r 2, a jeśli k ≥ 2, to żadna z poprzednio zredukowanych k - 1 (o indeksach 0,…, k - 2) nie jest równa r 2 .
Jeśli B k –1 jest równe zero, wszystkie B nk –1 również znikają, a ułamek ciągły nie jest zbieżny. Gdy żaden z dwóch poprzednich warunków nie jest spełniony, sekwencja redukcji oscyluje bez zbieżności.
Szczególny przypadek, w którym okres jest równy 1
Jeśli okres k jest równy 1, to znaczy, jeśli
x=w∣∣b+w∣∣b+w∣∣b+⋯{\ Displaystyle x = {\ Frac {a \ mid} {\ mid b}} + {\ Frac {a \ mid} {\ mid b}} + {\ Frac {a \ mid} {\ mid b}} + \ cdots}
(gdzie b nie jest zerem), to A 0 / B 0 = 0/1 = 0, A 1 / B 1 = a / b, a poprzednie równanie to: w 2 + bw - a = 0, czyli nie więcej niż
w=wb+w.{\ displaystyle w = {\ frac {a} {b + w}}.}
Z poprzedniego wyniku x zbiega się do r 1 wtedy i tylko wtedy, gdy r 1 = r 2 lub | r 1 | <| r 2 |.
Warunek ułamka
y: =b+x=b+w∣∣b+w∣∣b+w∣∣b+⋯{\ Displaystyle y: = b + x = b + {\ Frac {a \ mid} {\ mid b}} + {\ Frac {a \ mid} {\ mid b}} + {\ Frac {a \ mid} {\ mid b}} + \ cdots}
zbieżność jest oczywiście taka sama, a jej granica wynosi wtedy b + r 1 , czyli tym razem (ponieważ r 1 + r 2 = - b ) pierwiastek największego modułu z równania v 2 - bv - a = 0, czyli nikt inny niż
v=b+wv.{\ Displaystyle v = b + {\ Frac {a} {v}}.}
Bezpośredni dowód elementarny
Liczniki i mianowniki redukcji tworzą tutaj liniową powtarzającą się sekwencję rzędu 2 (to samo, z wyjątkiem przesunięcia: A n = B n +1 ):
b-1=0,b0=1,bnie=bbnie-1+wbnie-2.{\ Displaystyle B _ {- 1} = 0, \ quad B_ {0} = 1, \ quad B_ {n} = bB_ {n-1} + aB_ {n-2}.}
Ogólne badanie liniowych powtarzających się sekwencji pokazuje, że pojawiają się dwa przypadki:
-
jeśli równanie v 2 - bv - a = 0 ma dwa różne pierwiastki δ 1 i δ 2 :
Jeśli oznaczymy przez δ 1 większy z dwóch pierwiastków modułu, to δ 1 jest koniecznie niezerowy, co umożliwia zdefiniowanie liczby zespolonej ω = δ 2 / δ 1 (różną od 1) i napisać:
∀nie∈NIE∪{-1}bnie=δ1nie+1-δ2nie+1δ1-δ2=δ1nie1-ωnie+11-ω.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ cup \ {- 1 \} \ quad B_ {n} = {\ frac {\ delta _ {1} ^ {n + 1} - \ delta _ {2 } ^ {n + 1}} {\ delta _ {1} - \ delta _ {2}}} = \ delta _ {1} ^ {n} {\ frac {1- \ omega ^ {n + 1}} {1- \ omega}}.}
Ten przypadek jest następnie podzielony na dwie części:
- Korzenie to oddzielne moduły:
W tym przypadku ω ma moduł ściśle mniejszy niż 1, dlatego ω n dąży do 0, a sekwencja zredukowanej zbieżna jest w kierunku δ 1, ponieważ
Wnie-1bnie-1=bniebnie-1=δ11-ωnie+11-ωnie.{\ Displaystyle {\ Frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} = {\ Frac {B_ {n}} {B_ {n-1}}} = \ delta _ {1} { \ frac {1- \ omega ^ {n + 1}} {1- \ omega ^ {n}}}.}
- Korzenie mają ten sam moduł:
W tym przypadku ω ma moduł 1. Jeśli jest
pierwiastkiem jednostki rzędu m , to sekwencja zredukowanych jest rozbieżna, ponieważ okresowość o okresie m > 1, przy czym jedna z jego m wartości jest nieokreślona (z zerowym mianownikiem). Jeśli ω nie jest pierwiastkiem jedności, sekwencja (ω n ) jest
gęsta w okręgu jednostkowym, a sekwencja reduktorów jest również rozbieżna, ponieważ
Wnie-1bnie-1=δ11-ωnie+11-ωnie=δ1(1-ω1-ωnie+ω).{\ Displaystyle {\ Frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} = \ delta _ {1} {\ Frac {1- \ omega ^ {n + 1}} {1- \ omega ^ {n}}} = \ delta _ {1} \ left ({\ frac {1- \ omega} {1- \ omega ^ {n}}} + \ omega \ right).}
-
jeśli równanie v 2 - bv - a = 0 ma podwójny pierwiastek δ (nie zero):∀nie∈NIE∪{-1}bnie=(nie+1)δnie.{\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ kubek \ {- 1 \} \ quad B_ {n} = (n + 1) \ delta ^ {n}.}
Wnie-1bnie-1=bniebnie-1=(nie+1)δnienieδnie-1=δ(1+1nie)→δ.{\ Displaystyle {\ Frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} = {\ Frac {B_ {n}} {B_ {n-1}}} = {\ Frac {(n + 1) \ delta ^ {n}} {n \ delta ^ {n-1}}} = \ delta \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) \ to \ delta.}Sekwencja redukcji zbiega się z unikalnym korzeniem.
Ustawiając z = a / b 2 , zbieżność x i y zachodzi zatem wtedy i tylko wtedy, gdy dwa pierwiastki kwadratowe z 1 + 4 z są równe lub nierównoodległe od 1, tj. Wtedy i tylko wtedy, gdy z nie jest rzeczywiste <−1/4.
W szczególności frakcja
1∣∣b+1∣∣b+1∣∣b+⋯{\ Displaystyle {\ Frac {1 \ mid} {\ mid b}} + {\ Frac {1 \ mid} {\ mid b}} + {\ Frac {1 \ mid} {\ mid b}} + \ cdots }
jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy 1 / b 2 nie jest rzeczywistą <−1/4, tj. jeśli zespolony b (przyjęty jako niezerowy) nie należy do czystego przedziału urojonego ] −2 i , 2i [ .
Zbieżność była przewidywalna dla dodatniej liczby rzeczywistej b , na podstawie przedstawionego powyżej twierdzenia Seidela-Sterna (oraz dla b o module większym lub równym 2, zgodnie z kryterium Śleszyńskiego-Pringsheima poniżej).
Kryterium Śleszyńskiego-Pringsheima
Pod koniec XIX wieku Ivan Śleszyński (en) i Alfred Pringsheim wykazali, że jeśli liczniki i częściowe mianowniki weryfikują | b n | ≥ | a n | + 1 dla n ≥ 1, więc
∀NIE∈NIE∑nie=1NIE|w1...wniebnie-1bnie|<1{\ Displaystyle \ forall N \ in \ mathbb {N} \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ lewo | {\ Frac {a_ {1} \ ldots a_ {n}} {B_ {n- 1} B_ {n}}} \ right | <1}
dlatego ( por. § „Konieczny i dostateczny warunek zbieżności” powyżej) ułamek
w1∣∣b1+w2∣∣b2+⋯{\ Displaystyle {\ Frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ Frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ cdots}
zbieżności i ich redukcje mają moduły ściśle mniejsze niż 1. Używając ułamków okresu 1 , możemy również wykazać, że „zbiór graniczny ułamków Śleszyńskiego-Pringsheima” - czyli zbiór wszystkich granic ułamków spełniających hipotezy tego twierdzenia - jest dokładnie zamkniętym dyskiem jednostkowym .
Twierdzenie Worpitzky'ego
Wcześniej (w 1865 r.) Julius Worpitzky (de) wykazał, w czymś, co wydaje się być „najstarszą publikacją rozprawy o zbieżności algebraicznych ułamków ciągłych” , że jeśli częściowe liczniki a n ułamka ciągłego
w1∣∣1+w2∣∣1+w3∣∣1+⋯{\ Displaystyle {\ Frac {a_ {1} \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac {a_ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac {a_ {3} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}
są takie, że | a n | ≤ 1/4 to ułamek zbiega się równomiernie względem z, jeśli zespoły a n są funkcjami zmiennej z .
Twierdzenie to można dziś wywnioskować z twierdzenia Śleszyńskiego-Pringsheima na podstawie równoważności ułamków
2w1∣∣1+w2∣∣1+w3∣∣1+⋯=4w1∣∣2+4w2∣∣2+4w3∣∣2+⋯.{\ Displaystyle {\ Frac {2a_ {1} \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac {a_ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac {a_ {3} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots = {\ frac {4a_ {1} \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {4a_ {2} \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac { 4a_ {3} \ mid} {\ mid 2}} + \ cdots.}
Pozwolił Worpitzky'emu pokazać, że jeśli
fa(z)=1∣∣1+vs2z∣∣1+vs3z∣∣1+vs4z∣∣1+⋯{\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac {c_ {2} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac {c_ {3} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {c_ {4} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}i jeśli | c i | ≤ 1/4 dla wszystkich i , a zatem dla | z | ≤ 1, ułamek f ( z ) zbiega się równomiernie, więc f jest holomorficzny na otwartym dysku jednostkowym .
Natychmiast jest ponadto, że wszystkie reduktory f ( z ) należą do otwartego dysku Ω o promieniu 2/3 wyśrodkowanym w 4/3, a ustawionym limitem jest dysk zamknięty Ω .
Możemy również pokazać, że 1/4 jest największą górną granicą | c i | dla których zawsze ma miejsce zbieżność f (1).
Twierdzenie Van Vlecka
Jones i Thron przypisują Edwardowi Burr Van Vleck (w) następujący wynik, który uogólnia twierdzenie Seidela-Sterna . Jeśli wszystko ja to 1, a jeśli wszystko b ja mam argumenty takie, że
-π/2+ε<arg(bja)<π/2-ε,{\ Displaystyle - \ pi / 2 + \ varepsilon <\ arg (b_ {i}) <\ pi / 2- \ varepsilon,}
gdzie ε jest ustaloną liczbą dodatnią mniejszą niż π / 2 (innymi słowy, jeśli wszystkie b i znajdują się w kątowym sektorze otwarcia π - 2ε i są symetryczne wokół osi dodatnich liczb rzeczywistych), to i -ty zredukowany f i z frakcja kontynuowana znajduje się w tym samym sektorze, tj. spełnia
-π/2+ε<arg(faja)<π/2-ε.{\ Displaystyle - \ pi / 2 + \ varepsilon <\ arg (f_ {i}) <\ pi / 2- \ varepsilon.}
W tym przypadku seria redukcji wskaźnika parzystego i redukcji wskaźnika nieparzystego zbiegają się, ale niekoniecznie w kierunku tej samej granicy; ich granica jest wspólna (a następnie ciągły ułamek jest zbieżny) wtedy i tylko wtedy, gdy seria | b n | jest rozbieżne.
Uwagi i odniesienia
(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w
języku angielskim zatytułowanego
„ Convergence problem ” ( zobacz listę autorów ) .
-
(de) Oskar Perron , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Teubner ,1913( czytaj online ) , „Divergenz Kriterien von Broman und Stern”.
-
(w) William B. Jones i WJ Thron , Continued Fractions: Analytic Theory and Applications , Addison-Wesley , al. "Encyclopedia Matematyczny i jej zastosowania" ( N O 11)1980( ISBN 978-0-201-13510-7 ) , str. 79.
-
(De) A. Pringsheim , Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre , vol. JA,1921, rozdz. 3, s. 846 i 966.
-
Zobacz także (w) Hubert Stanley Wall (w :) , Analytic Theory of Continued Fractions , AMS ,2000( 1 st ed. 1948), 433 , str. ( ISBN 978-0-8218-2106-0 ) , str. 27-28 i 424, w związku z pracą Helge von Kocha , „ O twierdzeniu Stieltjesa i ułamkach ciągłych ”, Buli. SMF , vol. 23,1895, s. 33-40.
-
(w) Lisa Lorentzen i Haakon Waadeland , Continued Fractions: Convergence Theory , Atlantic Press,2008( czytaj online ) , s. 94.
-
Pringsheim 1921 , s. 846.
-
Wall 2000 , s. 29.
-
Perron 1913 , rozdz. VII, § 50, „ Konvergenz bei positiven Elementen ”.
-
Lorentzen i Waadeland 2008 , s. 98.
-
Pringsheim 1921 , s. 764 i 962.
-
W Jones and Thron 1980 , str. 87 twierdzenie Seidela-Sterna przedstawiono w nieco wzmocnionej formie, w tym stwierdzenia dotyczące zbieżności sekwencji redukcji.
-
Perron, 1913 , rozdz. VII, § 48, „ Bedingte und unbedingte Konvergenz ”.
-
(de) A. Pringsheim , „ Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbrüche ” , S'ber. math.-fiz. München , t. 28,1898, s. 295-324 ( czytaj online ).
-
Perron 1913 , rozdz. VII, § 55, „ Periodische Kettenbrüche ”.
-
(de) Otto Stolz , Vorlesungen über allgemeine Arithmetik , t. 2,1886( czytaj online ) , rozdz. VIII, § 14 („Periodische Kettenbrüche”) , str. 299-304.
-
(De) A. Pringsheim , „ Ueber die Convergenz periodischer Kettenbrüche ” , S'ber. math.-fiz. München , t. 30,1900, s. 463-488 ( czytaj online ).
-
(de) O. Perron , „ Über die Konvergenz periodischer Kettenbrüche ” , S'ber. math.-fiz. München , t. 35,1905, s. 495-503 ( czytaj online ).
-
W tym przypadku x jest równe ( √ b 2 + 4 - b ) / 2: dla b = 2 znajdujemy zatem ciągły ułamek √ 2 - 1 i dla b = 1, będący odwrotnością liczby złoto .
-
Lorentzen i Waadeland 2008 , s. 32.
-
Dokładniej ( Perron 1913 , rozdz. VII, § 53, „ Die Konvergenzkriterien von Pringsheim ”): | B n | - | B n –1 | ≥ | a 1 … a n | .
-
Zobacz na przykład Jones i Thron 1980 , s. 92, Twierdzenie 4.35.
-
Lorentzen i Waadeland 2008 , s. 131.
-
(de) J. Worpitzky , „ Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen und monogenen Functionen durch Kettenbrüche: Erste Folge ” , Friedrichs-Gymnasium und Realschule (de) Jahresbericht , Berlin,1865, s. 3-39 ( czytaj online ).
-
(w) EB Van Vleck , „Wybrane tematy w teorii szeregów rozbieżnych i ułamki ciągłe” w The Boston Colloquium ,1905( czytaj online ) , s. 75-187(uwaga na s. 147 ).
-
(w) J. Findlay Paydon i HS Wall, „Ułamek ciągły jako sekwencja przekształceń liniowych”, Duke Mathematical Journal , t. 9, nr 2, 1942, s. 360-372 .
-
Jones i Thron 1980 , s. 88, Twierdzenie 4.29.
Dodatkowa bibliografia
- (w) George E. Andrews and Bruce C. Berndt , Ramanujan's Lost Notebook , vol. Ja, Springer ,2005( czytaj online )
- (en) Annie Cuyt i Luc Wuytack , Nonlinear Methods in Numerical Analysis , Elsevier ,1987( czytaj online ) , rozdz. I, § 4 („Zbieżność ułamków ciągłych”)
- (en) David F. Dawson , „ Twierdzenie o ułamkach ciągłych i podstawowych nierównościach ” , Proc. Natl. Gorzki. Matematyka. Soc. , vol. 13,1962, s. 698-701 ( czytaj online )
- (en) Amparo Gil , Javier Segura i Nico M. Temme , Numerical Methods for Special Functions , SIAM ,2007( czytaj online ) , „§ 6.5: Zbieżność ułamków ciągłych”
- (en) WT Scott i HS Wall , „ Twierdzenie o zbieżności dla ułamków ciągłych ” , przeł. Gorzki. Matematyka. Soc. , vol. 47,1940, s. 155-172 ( czytaj online )
- (en) Haakon Waadeland , „Some Recent Results in the Analytic Theory of Continued Fractions” , w: Nonlinear Numerical Methods and Rational Approximation ,1988( czytaj online ) , s. 299-333
- (en) Haakon Waadeland , „Some Probabilistic Remarks on the Boundary Version of Worpitzky's Theorem” , w: Orthogonal functions, Mom Teoria and Continuous Fractions , Marcel Dekker,1998( czytaj online ) , s. 409-416
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">