Liczba Markowa

W matematyce , A numer Markowa jest dodatnią liczbą całkowitą x , y, i z , które jest częścią roztworu diofantycznego Markowa równania :

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 3xyz. \,}

Liczby Markowa zostały nazwane na cześć rosyjskiego matematyka Andrieja Markowa .

Wymienianie kolejno

Liczbami pierwszymi Markowa (ciąg dalszy A002559 z OEIS ) wynosi 1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433 , 610 , itd. występujące jako współrzędne trójek Markowa (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) itp.

Nieruchomości

Symetria równania Markowa pozwala na zmianę kolejności współrzędnych, więc tryplet Markowa ( a , b , c ) można znormalizować, jak powyżej, tak, że a ≤ b ≤ c . Z wyjątkiem dwóch najmniejszych trioli, trzy liczby całkowite z trioli Markowa są różne.

Wyjątkowość hipoteza mówi, że dla danej liczby Markowa C , istnieje dokładnie jedno rozwiązanie znormalizowaną c jako największego elementu.

Jeśli ( x , y , z ) jest trypletem Markowa, to również ( x , y , 3 xy - z ). Jeśli nie zmienimy kolejności elementów przed ponownym zastosowaniem transformacji, znajdziemy początkową trójkę. Ale jeśli na przykład z (1, 1, 2) zamienimy y i z przed każdą iteracją transformacji, otrzymamy trojaczki liczb Fibonacciego. Z tej samej trójki, ale zamieniając x i z przed każdą iteracją, otrzymujemy trojaczki liczb Pella.

Dokładniej, znormalizowane triole Markowa można ułożyć w nieskończone drzewo binarne : sąsiedzi znormalizowanej trójki uzyskuje się modyfikując jedną z trzech współrzędnych, jak powyżej, a następnie renormalizując otrzymaną trójkę. Liczby Markowa regionów sąsiadujących z regionem 2 to liczby Pellów o nieparzystych indeksach (lub znowu: liczby n takie, że 2 n 2 - 1 to kwadrat, A001653 ), a numery Markowa sąsiednich regionów do tego 1 to liczby Fibonacciego nieparzystych indeksów ( A001519 ). Tak więc istnieje nieskończona liczba trójek Markowa tej formy

{\ Displaystyle (1, F_ {2n-1}, F_ {2n + 1}),}

gdzie F x jest x- tą liczbą Fibonacciego. Podobnie istnieje nieskończona liczba trójek Markowa tej formy

{\ displaystyle (2, P_ {2n-1}, P_ {2n + 1}),}

gdzie P x jest x- tą liczbą Pell.

Po A030452 z listy OEIS liczby Markowa, które pojawiają się w rozwiązaniach, w których jednym z dwóch terminów jest 5.

Trzy liczby z trioli Markowa są zawsze pierwsze względem siebie, ale nie zawsze są pierwsze . Pierwsze liczby Markowa to 2, 5, 13, 29, 89, 233 itd. ( A178444 ). W liczbach Markowa mają gęstość zerową.

W 1982 roku Don Zagier przypuszczał, że n-ta liczba Markowa jest asymptotycznie podana przez

{\ Displaystyle m_ {n} = {\ tfrac {1} {3}} e ^ {C {\ sqrt {n}} + o (1)} \ quad {\ tekst {z}} C = 2,3523418721 \ ldots}

Ponadto wykazał, że x 2 + y 2 + z 2 = 3 xyz + 4/9, niezwykle dobre przybliżenie pierwotnego równania Diofantyna, jest równoważne f ( x ) + f ( y ) = f ( z ) z f ( t ) = arcosh (3 t / 2). To przypuszczenie zostało zademonstrowane przez Grega McShane'a i Igora Rivina (en) w 1995 roku za pomocą technik wywodzących się z geometrii hiperbolicznej .

N p liczba Lagrange'a można obliczyć z n -tego Markowa liczbę z wzoru

{\ Displaystyle L_ {n} = {\ sqrt {9- {4 \ ponad {m_ {n}} ^ {2}}}}.}

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Numer Markowa ” ( zobacz listę autorów ) .

(w) Jean Bourgain , Gamburd Alex i Peter Sarnak , „ Markoff Triples and Strong Approximation ”2015( arXiv 1505.06411 ) .
(w) Don B. Zagier, „O liczbie Markoffa liczb poniżej jest podana”, Math. Comp. , lot. 39, n o 160, 1982 , str. 709-723 .
(w) Greg McShane i Igor Rivin, „ Pojedyncze krzywe to hiperboliczne torusy ” , CR Acad. Sci. Paryż , ja. Math., Vol. 320 n O 12,1995.