Apartament Pell
W matematyce The sekwencja Pella , a łeb na Lucas sekwencji są odpowiednio sekwencje liczb całkowitych U (2, -1) i V (2, -1), szczególnych przypadkach sekwencji Lucas .
Pierwsza to także sekwencja Fibonacciego 2 .
Ich terminy nazywane są odpowiednio liczbami Pella i liczbami Pella-Lucasa.
Definicje
Sekwencja Pella i sekwencja Pell - Lucas są zdefiniowane przez podwójną indukcję liniową :
(P.nie){\ displaystyle (P_ {n})} (Qnie){\ displaystyle (Q_ {n})}
P.nie={0dla nie=0,1dla nie=1,2P.nie-1+P.nie-2dla nie≥2mitQnie={2dla nie=0,2dla nie=1,2Qnie-1+Qnie-2dla nie≥2.{\ Displaystyle P_ {n} = {\ rozpocząć {przypadków} 0 i {\ mbox {for}} n = 0, \\ 1 i {\ mbox {for}} n = 1, \\ 2P_ {n-1} + P_ {n-2} & {\ mbox {for}} n \ geq 2 \ end {cases}} \ quad {\ rm {and}} \ quad Q_ {n} = {\ begin {cases} 2 & { \ mbox {for}} n = 0, \\ 2 & {\ mbox {for}} n = 1, \\ 2Q_ {n-1} + Q_ {n-2} & {\ mbox {for}} n \ geq 2. \ end {sprawy}}}Innymi słowy: zaczynamy od 0 i 1 dla pierwszej sekwencji i od 2 i 2 dla drugiej, aw każdym z dwóch ciągów tworzymy następny człon, dodając dwukrotnie ostatni do przedostatniego.
Możemy też napisać: a gdzie i są odpowiednio wielomiany Fibonacciego i Lucasa o indeksie .
P.nie=fanie(2){\ Displaystyle P_ {n} = F_ {n} (2)}Qnie=Lnie(2){\ Displaystyle Q_ {n} = L_ {n} (2)}P.nie{\ displaystyle P_ {n}}Lnie{\ displaystyle L_ {n}}nie{\ displaystyle n}
Niektóre wartości
Pierwsze dziesięć liczb Pella to 0, 1, 2, 5 , 12 , 29 , 70 , 169 , 408 i 985, a pierwszych dziesięć liczb Pell-Lucasa to 2, 2, 6 , 14 , 34 , 82 , 198 , 478 , 1154 i 2786 (dla pierwszego 1 000, patrz apartamentów A000129 i A002203 z OEIS ).
Są to wszyscy rówieśnicy nazywani czasami liczbami Pell-Lucas.
Qnie{\ displaystyle Q_ {n}}Qnie/2{\ displaystyle Q_ {n} / 2}
Podsekwencją z głównych kategoriach sekwencji Pella powstaje numerami
2 ,
5 ,
29 ,
5 741 , etc. (pierwsze 23 terminy, patrz
A086383 )
a odpowiadające im indeksy (koniecznie pierwsze) są
2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191 itd. (dla pierwszych 31, patrz
A096650 ).
Termin ogólny
Te ogólne warunki te dwie sekwencje są podane odpowiednio wzorami:
P.nie=Unie(2,-1)=(1+2)nie-(1-2)nie22mitQnie=Vnie(2,-1)=(1+2)nie+(1-2)nie.{\ Displaystyle P_ {n} = U_ {n} (2, -1) = {\ Frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {n} - (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {n}} {2 {\ sqrt {2}}}} \ quad {\ rm {and}} \ quad Q_ {n} = V_ {n} (2, -1) = (1 + {\ sqrt { 2}}) ^ {n} + (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {n}.}
Powiązanie z liczbą pieniędzy
Kolejne potęgi srebrnej liczby 1 + √ 2 są zatem zbliżone do liczb Pell-Lucasa, gdy jest duże. Na przykład :
nie{\ displaystyle n}
(1+2)2≃5,8≃6=Q2,{\ Displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2} \ simeq 5 {,} 8 \ simeq 6 = Q_ {2},}
(1+2)4≃33,97≃34=Q4,{\ Displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {4} \ simeq 33 {,} 97 \ simeq 34 = Q_ {4},}
(1+2)8≃1153,999≃1154=Q8{\ Displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {8} \ simeq 1153 {,} 999 \ simeq 1154 = Q_ {8}}
i do wszystkiego , gdzie oznacza całą górną część .
nie⩾2{\ displaystyle n \ geqslant 2}Qnie=⌈(1+2)nie⌉{\ Displaystyle Q_ {n} = \ lewo \ lceil (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {n} \ prawo \ rceil}⌈.⌉{\ Displaystyle \ lewo \ lceil. \ prawo \ rceil}
Uwagi i odniesienia
(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w
języku angielskim zatytułowanego
„ Pell number ” ( zobacz listę autorów ) .
-
(w) Thomas Koshy, Pell and Pell-Lucas Numbers with Applications , New York, NY, Springer ,2014( ISBN 978-1-4614-8489-9 , czytaj online ).
Zobacz też
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">