Prawa odwrotnych kwadratów

Intensywność (lub oświetlenia lub natężenia oświetlenia ) od światła i innych fal liniowych rozchodzących się od punktu źródłowego (energia na jednostkę powierzchni prostopadłej do źródła) jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości od źródła, co oznacza, że przedmiot (z tej samej wielkości) umieszczone dwa razy dalej będą odbierać tylko jedną czwartą wyemitowanej energii (w tym samym okresie).
Mówiąc ogólnie, natężenie oświetlenia, to znaczy natężenie (lub moc na jednostkę powierzchni w kierunku propagacji ) o sferycznej czoła fali zmienia się odwrotnie z odległością od źródła (postulując, że nie istnieją żadne straty spowodowane optycznych lub rozpraszania ) . Na przykład natężenie światła emitowanego przez Słońce wynosi 9140 watów na metr kwadratowy w odległości od Merkurego (0,387 AU), ale tylko 1370  W / m 2 w odległości od Ziemi (1 AU). trzykrotny wzrost odległości powodujący około dziewięciokrotny wzrost natężenia światła. Fotografowie i projektanci oświetlenia stosują to prawo do określenia optymalnej lokalizacji źródeł światła , aby obiekt był odpowiednio oświetlony. Prawo to ma również szczególne znaczenie w radiografii , planowaniu radioterapii i zabiegów radioterapii .

Jako przykład weźmy całkowitą moc napromieniowaną ze źródła (takiego jak antena izotropowa ), oznaczonej . W przypadku dużych odległości od źródła (w stosunku do wielkości źródła) moc ta jest rozprowadzana na coraz większych powierzchniach kulistych wraz ze wzrostem odległości. Ponieważ obszar kuli o promieniu wynosi , natężenie promieniowania na odległość wynosi: P.{\ displaystyle P}r{\ displaystyle r}W=4πr2{\ Displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2}} ja{\ displaystyle I}r{\ displaystyle r}

ja=P.W=P.4πr2.{\ Displaystyle I = {\ Frac {P} {A}} = {\ Frac {P} {4 \ pi r ^ {2}}}.}

ja∝1r2{\ Displaystyle I \ propto {\ Frac {1} {r ^ {2}}}}

ja1ja2=r22r12{\ Displaystyle {\ Frac {I_ {1}} {I_ {2}}} = {\ Frac {{r_ {2}} ^ {2}} {{r_ {1}} ^ {2}}}}

ja1=ja2⋅r22⋅1r12{\ Displaystyle I_ {1} = I_ {2} \ cdot {r_ {2} ^ {2}} \ cdot {\ frac {1} {{r_ {1}} ^ {2}}}}

Energia lub intensywność zmniejsza się o współczynnik ¼, gdy odległość jest podwojona. Jest to podstawowy powód, dla którego intensywność promieniowania , czy to elektromagnetycznego, czy akustycznego , jest zgodna z prawem odwrotnych kwadratów, i to przynajmniej w idealnie trójwymiarowym kontekście (dwuwymiarowa propagacja byłaby zgodna z odwrotnym prawem odległości i w jednym wymiarze , fala płaska miałaby stałą amplitudę nawet przy zmianie odległości do źródła). r{\ displaystyle r}

W elektrostatyce

W elektrostatyce siła działająca na obiekt naładowany przez inny naładowany obiekt jest siłą centralną, której wyraz jest następujący:

fa→1→2=q1q24πε0‖r→12‖2.r→12‖r→12‖{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1 \ rightarrow 2} = {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} {\ | {\ vec {r} } _ {12} \ |} ^ {2}}}. {\ Frac {{\ vec {r}} _ {12}} {\ | {\ vec {r}} _ {12} \ |}}}

gdzie ε 0 = 8,854 × 10-12  F / m jest uniwersalną stałą zwaną przenikalnością elektryczną próżni i jest wektorem położenia, który łączy pierwsze ciało z drugim, a litery oznaczają ładunki obu obiektów. r→12=M1M2→{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {12} = {\ overrightarrow {M_ {1} M_ {2}}}}q{\ displaystyle q}

W mechanice (grawitacja)

W kontekście mechaniki Newtona siła grawitacji jest wyrażana jako siła centralna zależna od odwrotności kwadratu odległości do obiektu, który wywiera przyciąganie, w sposób analogiczny do prawa Coulomba:

fa→12=-solm1m2re2u→12{\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = - G {\ Frac {m_ {1} m_ {2}} {d ^ {2}}} {\ vec {u}} _ {12}}

• fa→12{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12}}będąca siłą grawitacji wywieraną przez ciało 1 na ciało 2 (w niutonach lub m kg s −2 );
• sol{\ displaystyle G}, stała grawitacji , która jest warta 6,674 2 × 10 −11  N · m 2  kg −2 (lub m 3  kg −1  s −2 )
• m1{\ displaystyle m_ {1}}oraz masy dwóch obecnych ciał (w kilogramach );m2{\ displaystyle m_ {2}}
• re{\ displaystyle d}odległość między dwoma ciałami (w metrach );
• u→12{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {12}}jest wektorem jednostkowym skierowanym z ciała 1 do ciała 2;
• znak - wskazuje, że ciało 2 jest przyciągane do ciała 1.

Należy zauważyć, że ten rodzaj siły (siła grawitacji i siła elektrostatyczna) generuje trajektorie, które w matematyce nazywane są stożkami ( elipsy , parabole i hiperbola ), co występuje w szczególności w ruchach obiektów niebiańskich, gdy efekty relatywistyczne prawie nie są wyczuwalny.

Interpretacja w teorii pola

W przypadku nierotacyjnego pola wektorowego prawo odwrotnych kwadratów odpowiada zerowej dywergencji poza źródłem.

Uwagi i odniesienia

• W tym artykule wykorzystano materiał z Federal Standard 1037C , który, jako dzieło rządu Stanów Zjednoczonych, znajduje się w domenie publicznej.

• (fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „  Prawo odwrotnych kwadratów  ” ( zobacz listę autorów ) .

Uwagi

1. Isaac Newton był czytelnikiem Ismaëla Boulliau i zacytuje swoje dane w 1687 roku w swoim Principia Mathematica
2. List Hooke Newton został sprzedany na aukcji w Sotheby's w kwietniu 1918 roku. Opublikowany w 1952 roku jest teraz własnością Biblioteki Uniwersytetu Yale w New Haven ( Connecticut )

Bibliografia

1. (w) Alexandre Koyre, „  An Unpublished Letter of Robert Hooke to Isaac Newton: An unpublished letter to Robert Hooke Isaac Newton  ” on jstor.org ,4 grudnia 1952(dostęp 22 września 2020 ) .
2. Prawo odwrotności kwadratów dla dźwięku