Prawo afiniczne

Prawo afiniczne jest fizyczne lub matematyczny prawo łączący dwie wielkości x i y w postaci afinicznej funkcji  :

y = ƒ ( x )

z

ƒ ( x ) = ax + b

współczynniki a (nachylenie) i b ( punkt przecięcia z osią y) są stałymi.

Gdy punkt przecięcia z osią b wynosi zero,

ƒ ( x ) = ax

mówimy o prawie liniowym lub proporcjonalnym .

Znaczenie praw afinicznych

Rozważ dwa zjawiska, których intensywność jest różna; oznaczają x intensywność jednego, a y intensywność drugiego. Jeśli x i y zmieniają się w tym samym czasie, możemy oszacować, że wielkości są ze sobą powiązane, mówi się, że ich zmiany są skorelowane  ; wtedy kusi, by chcieć połączyć się według prawa typu

y = ƒ ( x )

Najprostszym prawem opisującym skorelowaną zmienność jest prawo afiniczne: szacuje się, że zmiany intensywności są proporcjonalne lub nawet, że intensywności są proporcjonalne (prawo liniowe).

Mogą zaistnieć cztery przypadki:

• w matematyce,
  • pokazano, że dwie wielkości są połączone prawem afinicznym lub liniowym; to jest dokładne prawo;
    na przykład obwód p okręgu jest proporcjonalny do jego promienia r  : p = 2π r  ;
  • prawo łączące te dwa rozmiary jest bardziej złożone, ale w pierwszym przybliżeniu możemy zredukować się do prawa afinicznego, zazwyczaj wykonując rozszerzenie ograniczone do rzędu 1; pozwala to w niektórych przypadkach na wyciągnięcie interesujących wniosków w prosty sposób, patrz Porównanie asymptotyczne  ;
• w naukach doświadczalnych  :
  • rozwinięta teoria pokazuje, że dwie wielkości są połączone prawem afinicznym lub liniowym;
    na przykład dla równomiernego ruchu prostoliniowego na osi odciętych pozycja x zmienia się afinicznie w odniesieniu do czasu t  : x = x 0 + vt  ;
    obserwacje lub eksperymenty umożliwiają potwierdzenie lub unieważnienie tego prawa;
  • teoria podaje złożone prawo, które jednak, podobnie jak w matematyce, można uznać za pierwsze przybliżenie jako afiniczne;
    na przykład prawo Hooke'a jest prawem liniowym dla małych odkształceń; przy dużych odkształceniach staje się asymetryczny;
  • teoria podaje tak zwane  prawo  „ potęgowe ” typu y = a⋅x α  ; wykreślony na diagramie log-log , otrzymujemy liniowe prawo, ln ( y ) = ln ( a ) + α⋅ln ( x );
    patrz na przykład pH w chemii lub pojęcie decybeli dla filtrów w elektronice;
    globalnie transformacja jednej ze zmiennych może pozwolić na zredukowanie do badania liniowego;
  • nie mamy teorii podającej prawo; Prawo afiniczne jest pierwszym prawem, które jest sprawdzane.

Dużą różnicą między prawami matematyki a prawami nauk eksperymentalnych jest błąd pomiaru . Eksperymentalne wyznaczenie współczynników odbywa się metodą regresji liniowej  ; weryfikacja istotności prawa (czy zasadne jest użycie prawa afinicznego) odbywa się poprzez obliczenie współczynnika korelacji liniowej .

Prawa afiniczne mają również ogromne znaczenie dla interpolacji lub ekstrapolacji . W istocie, gdy nie znamy prawa, które łączy dwa rozmiary i które ma niewiele punktów, „najbardziej rozsądnym” jest przypuszczenie, że prawo jest lokalnie dopracowane. Popełniany błąd jest wtedy umiarkowany, o ile rzeczywiste prawo jest monotoniczne w rozważanej strefie, a tym bardziej, że krzywizna prawa jest słaba - to znaczy w pierwszym przybliżeniu, że | ƒ | jest słaby.

Zauważ, że pojęcie liniowości prawa zależy od punktu widzenia. Na przykład w elektryczności prawo odnoszące natężenie prądu do napięcia na zaciskach pasywnego dipola

I = U / R

jest liniowy względem U, a współczynnik proporcjonalności wynosi 1 / R; ale jest to odwrotne prawo w R.

Przykłady prawa afinicznego

Prawa liniowe w geometrii

Obliczenie granicznej p wystąpienia równobocznego wieloboku  :

• trójkąt równoboczny o boku a  : p = 3 a  ;
• kwadrat boku a  : p = 4 a  ;
• wielokąt regularny (i bardziej ogólnie równoboczny) o n bokach długości a  : p = na .

Obliczenie rozwiniętej długości L łuku koła o promieniu r i kącie θ (w radianach ):

• L = θ r  ;
• obwód koła: P = L (2π) = 2π r .

Prawa afiniczne w mechanice

Amplituda ruchu w układzie odniesienia Galileusza  :

• jednostajny ruch prostoliniowy (zerowe przyspieszenie) wzdłuż osi odciętych: zależność między położeniem x a chwilą t '( stała chwilowa prędkość v )
  x = x 0 + vt  ;
• równomierny ruch obrotowy (zerowe przyspieszenie kątowe) wokół stałej osi: zależność między orientacją θ a chwilą t ( stała prędkość kątowa ω)
  θ = θ 0 + ω t  ;
• łożysko antypoślizgowe: zależność między chwilową prędkością v pojazdu a chwilową prędkością kątową ω koła szprychowego r
  v = r ω.

Odkształcenie elastyczne  :

• idealne prawo sprężyn na rozciąganie lub ściskanie, odnoszące się do siły wywieranej na wydłużenie Δ x , dla sprężyny o sztywności k
  F = k Δ x
• prawo sprężyn naciągowych dla małych odkształceń
  F = F 0 + k Δ x
• Prawo Hooke'a odnoszące wydłużenie względne ε do naprężenia (siła na jednostkę powierzchni) σ materiału o module Younga E (sztywność)
  σ = Eε

Prawa liniowe w elektryczności

• Prawo Ohma

Prawa liniowe w termodynamice

• zależność między ciepłem dQ pobranym przez układ o masie m a pojemnością cieplną przy stałym ciśnieniu C p , w funkcji zmiany temperatury dT
  dQ = m C p dT
• prawo Karola
• Prawo Gay-Lussaca

Prawa afiniczne w chemii

Które prawo afiniczne jest najbardziej odpowiednie?

Oprócz tego, że dobrze „reprezentuje” zachowanie pewnych systemów, prawo afiniczne jest prawem, które jest łatwe w obsłudze. W szczególności łatwo jest to odwrócić . Podczas wykonywania złożonych obliczeń może być interesujące zastąpienie funkcji funkcją afiniczną, aby szybciej i pewniej uzyskać wynik. Wynik ten można następnie przyjąć w takiej postaci, w jakiej jest, lub wykorzystać jako podstawę do dokładniejszych obliczeń.

Kiedy „rzeczywiste” ƒ prawo wyraźnie nie precyzuje, nasuwa się pytanie: jakie prawo uściślają ƒ zostało użyte zamiast rzeczywistego prawa?

Odpowiedź na to pytanie zależy od kontekstu obliczeń i oczekiwanego wyniku.

Jeśli pracujemy na całym zakresie [ x 1  ; x 2 ], to zaadaptowana funkcja afiniczna będzie prawdopodobnie liniową regresją rzeczywistego prawa w tym przedziale. W ten sposób minimalizujemy kwadratowe odchylenie między rzeczywistym punktem y = ƒ ( x ) a przybliżonym punktem y a = ƒ a ( x ) (albo x a = ƒ a -1 ( y )).

Jeśli mamy „punkt operacyjny” ( x 0 , ƒ ( x 0 )), korzystna będzie praca ze styczną do krzywej w tym miejscu: pozwala to zminimalizować bezwzględną różnicę między rzeczywistym punktem a zbliżył się do punktu. Dlatego ƒ a będzie ograniczoną ekspansją pierwszego rzędu ƒ w x 0 .

Jeśli z drugiej strony obliczenia polegają na dojściu do punktu pracy zaczynając od danego punktu startowego x d (zwykle x d = 0), lepiej będzie wziąć przewód łączący ( x d , ƒ ( x d ) ) do ( x 0 , ƒ ( x 0 )). Dzięki temu mamy pewność, że obliczenia dotyczące punktów odlotu i przylotu są zbliżone do rzeczywistości.