Idealny pierwszy

W przemiennej Algebra , A ideałem z jednolitego pierścienia przemiennego jest idealna , tak że iloraz pierścieniu ideału jest integralny pierścień . Koncepcja ta uogólnia pojęcie liczby pierwszej na pierścienie o strukturze trudniej dostępnej niż pierścień względnych liczb całkowitych .

Odgrywają szczególnie ważną rolę w algebraicznej teorii liczb .

Motywacje

Teoria liczb algebraicznych i liczb całkowitych

W 1801 roku, w jego Disquisitiones Arithmeticae , Carl Friedrich Gauss opracował arytmetyka na pierścieniach innych niż względnych liczb całkowitych . W szczególności używa pierścienia wielomianów ze współczynnikami w polu przemiennym i zbiorem liczb całkowitych, które noszą jego imię .

Pierścienie te zawierają pierwiastki o takich samych właściwościach jak liczby pierwsze , nieredukowalne wielomiany lub liczby pierwsze Gaussa . Podejście to jest szczególnie owocne, pozwala na przykład znacznie prościej wykazać twierdzenie o dwóch kwadratach Fermata lub szczególnie trudne na czas przypuszczenie prawa kwadratowej wzajemności .

To podejście jest uogólnione na algebraiczne liczby całkowite . W 1847 roku Gabriel Lamé zastosował brutalne uogólnienie i uważał, że zademonstrował wielkie twierdzenie Fermata . Ernst Kummer ( 1810 - 1893 ) pokazuje, że unikalność, o której mowa w pierwszym twierdzeniu o rozkładzie na czynniki, nie jest już gwarantowana. Opracowuje idealne liczby zespolone, aby znaleźć wyjątkowość dzięki nowej koncepcji.

Koncepcja ta, której celem jest przezwyciężenie niedoskonałości właściwości liczb, została sformalizowana przez pojęcie ideału , naśladując prace Richarda Dedekinda . Istnieje kilka właściwości charakteryzujących różne ideały. W prostych przypadkach, w których pierścień jest główny , każdy ideał odpowiada elementowi pierścienia , a ideały pierwsze odpowiadają elementom pierścienia, które są „pierwsze” w tym sensie, że podobnie jak liczby pierwsze spełniają lemat euklidesowy : każdy element główny, który dzieli produkt, dzieli jeden z dwóch czynników. W pierścieniu silni pojęcie pierwiastka pierwszego pokrywa się z pojęciem elementu nieredukowalnego, co jest bardziej typową charakterystyką liczb pierwszych przez fakt, że w każdym rozkładzie na dwa czynniki przynajmniej jeden jest odwracalny . W bardziej skomplikowanych przypadkach, takich jak pierścienie Dedekinda , koncepcja ideału pierwszego pozostaje aktualna, podczas gdy pierwiastek pierwszy w dużej mierze traci moc operacyjną.

Geometria algebraiczna

W algebraiczne odmiany są podstawowe obiekty geometrii algebraicznej . Odpowiadają one geometrii określonej równaniami algebraicznymi . Jednym z celów geometrii algebraicznej jest klasyfikacja różnych odmian. Pojęcie ideału pierwszego jest podstawą rozkładu odmian na odmiany nieredukowalne.

Tak jak wielomian można badać pod kątem powiązanego ideału pierścienia wielomianów, tak rozmaitość algebraiczną można zdefiniować przez ideał wielomianów, które znoszą się wzajemnie w tej rozmaitości. Odmiana jest zatem doskonale sklasyfikowana przez dane pierwotne ideały wielomianów, które się na niej znoszą. Każdemu ideałowi pierwszemu odpowiada nieredukowalna pododmiana.

Skojarzenie geometrii i arytmetyki otwiera drogę do zademonstrowania wielu twierdzeń. Jest na przykład podstawą dowodu wielkiego twierdzenia Fermata autorstwa Andrew Wilesa w 1994 roku .

Definicje

Idealny pierwszy

Niech A będzie jednolitym pierścieniem przemiennym.

Mówi się, że idealne I z A jest liczbą pierwszą, jeśli iloraz A do I jest całkowy .

W szczególności głównym ideałem A jest czysty , to znaczy różnią się od A . Rzeczywiście, pierścień zerowy z definicji nie jest całkowy.

Ideał zerowy (zredukowany do elementu 0) jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień A jest całkowy.

Definicję ideału pierwszego należy porównać do definicji ideału maksymalnego .

Mówi się, że idealne I z A jest maksymalne, jeśli iloraz A do I jest polem .

Właściwości odpowiadające definicji

Niech A będzie jednolitym pierścieniem przemiennym.

Mamy następującą charakterystykę głównych ideałów:

Właściwy ideał I z A jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy

{\ displaystyle \ forall a, b \ in A \ quad [ab \ in I \ Rightarrow (a \ in I {\ mbox {lub}} b \ in I)].}

Twierdzenie to przypomina lemat Euklidesa, który brzmi następująco: „jeśli liczba całkowita większa od 1 jest liczbą pierwszą, za każdym razem, gdy dzieli iloczyn, dzieli jeden z czynników”.

Odpowiednio:

Ideał właściwy jest pierwszorzędny wtedy i tylko wtedy, gdy za każdym razem, gdy zawiera produkt dwóch ideałów, zawiera jeden lub drugi.

Właściwość tę można udoskonalić:

Ideał właściwy nie jest pierwotny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją dwa ideały, w których jest on ściśle zawarty i w których zawiera produkt.

Demonstracje

Niech będę właściwym ideałem (tj. Różnym od A ), innymi słowy A / I różni się od pierścienia zerowego .

Pierwsza charakterystyka:
I jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy A / I jest całka, tj. Wtedy i tylko wtedy, gdy $\ forall a, b \ in A \ quad [\ overline a. \ overline b = \ overline 0 \ Rightarrow (\ overline a = \ overline 0 {\ mbox {or}} \ overline b = \ overline 0)].$ Ale powiedzieć, że A . b jest zero A / I oznacza, że AB należy do I , a nawet, że zawiera lub b klasa zerowa oznacza, że należy on do I . Wyprowadzamy z tego pierwszą charakterystykę głównych ideałów.
Jeśli mi jest liczbą i nie zawiera ani idealnego J ani ideał K , to jest nie zawierają ich produktów:
W rzeczywistości istnieje w tym przypadku z (wzgl. B ) element J (odpowiednio, r. K niż elementy) I . Wtedy ab jest elementem JK, który nie może być elementem ja, ponieważ ja jest liczbą pierwszą.
Jeśli I nie jest liczbą pierwszą, to istnieją dwa ideały J i K takie, że ja zawiera iloczyn JK, ale jest ściśle zawarty w J i K (a zatem nie zawiera ani jednego, ani drugiego):
Rzeczywiście, w tym przypadku są dwa elementy w pierścień był i b nie należących do i , ale której produkt należy do i . Idee J = mi + ( ) i K = mi + ( b ), a następnie zawiera ściśle , że , podczas gdy produkt JK jest w I .

W konsekwencji każdy ideał pierwszy jest nieredukowalny : jeśli jest równy przecięciu dwóch ideałów, to jest równy jednemu lub drugiemu (ponieważ zawiera ich iloczyn i jest liczbą pierwszą).

Przykłady

Względne liczby całkowite

W pierścieniu ℤ względnych liczb całkowitych niezerowa liczba całkowita n jest pierwiastkiem pierwszym w rozumieniu poprzedniej definicji wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ℤ / n ℤ jest całkowy, tj. Jeśli n jest równe lub przeciwne do pierwszej liczby naturalnej w zwykłym sensie .

Definicja pierwiastka pierwszego ℤ zatem odpowiada zwyczajowej definicji liczby pierwszej, z wyjątkiem liczb odwracalnych (w ℤ elementy odwracalne to 1 i –1). Teraz każdy ideał ℤ jest „powiązany” z dwiema liczbami całkowitymi: liczbą naturalną i jej przeciwieństwem. Zgodnie z konwencją, jako kanoniczny generator ideału wybiera się, który z nich jest dodatni. Konwencja ta zapewnia sprzeczność między niezerowymi ideałami pierwszymi a liczbami pierwszymi i pozwala na prostsze wyrażenie podstawowego twierdzenia arytmetyki .

Pierścień wielomianów

Wielomiany ze współczynnikami w polu

W przypadku, gdy wielomiany mają współczynniki w polu, pierścień jest, jak poprzednio euklidesowy , a zatem zasadniczy : każdy ideał składa się z wielokrotności jednostkowego wielomianu, a niezerowe ideały pierwsze są w układzie bijection z pierwszymi wielomianami unitarnymi .

Jednak tradycja mówi raczej o nieredukowalnych wielomianach niż o pierwszych wielomianach: zgodnie z powyższą definicją wielomian jest nieredukowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest stały i jeśli jakikolwiek rozkład na dwa czynniki zawiera element odwracalny.

W rzeczywistości te dwa pojęcia pokrywają się w tym pierścieniu wielomianów, a także w pierścieniu liczb całkowitych. Ten stan rzeczy jest ogólny w pierścieniach zintegrowanych z GCD , w szczególności (patrz poniżej ) pierścieniach głównych.

Wielomiany o współczynnikach w ℤ

Jeśli współczynniki wielomianu są wybrane z ℤ, wówczas pierścień wielomianów nie jest już głównym. Na przykład ideał, który wygenerowałem przez X i 2, nie jest zasadniczy. Iloraz ℤ [ X ] przez I jest pierścieniem dwuelementowym, a więc całkowym. Ten ideał jest pierwotny, ale nie jest powiązany z elementem pierścienia.

Pierścień liczb całkowitych Gaussa

W Gaussa całkowite tworzą pierścień euklidesowej. Każdemu ideałowi odpowiada klasa asocjacji generująca ideał, pojęcia niezerowych ideałów pierwszych odpowiadają liczbom pierwszym Gaussa , pierwszemu - lub: nieredukowalnym - elementom pierścienia.

Nieruchomości

Pierwotne ideały i pierwsze pierwiastki w pierścieniu

W przemiennym pierścieniu A :

Mówi się, że element a z A jest liczbą pierwszą, jeśli ideał aA jest liczbą pierwszą, a nie zerem.
Mówi się, że element a z A jest nieredukowalny, jeśli nie jest ani zerem, ani odwracalnym , ani iloczynem dwóch nieodwracalnych elementów.

Kiedy I jest ideałem ( p ) wielokrotności niezerowego elementu p , definicja jest przeformułowana na: „ideał ( p ) jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy element p jest liczbą pierwszą ”.

każdy element pierwszy jest nieredukowalny , pod warunkiem, że A jest całką;
p jest nieredukowalne wtedy i tylko wtedy, gdy ( p ) jest maksymalne wśród głównych ideałów właściwych A ;
każdy maksymalny ideał jest liczbą pierwszą .

Najwyższe ideały w głównym ringu

Łącząc wszystkie te właściwości otrzymujemy:

Jeśli p jest niezerowym elementem pierścienia głównego , równoważne są następujące zdania:

( p ) jest liczbą pierwszą;
p jest liczbą pierwszą;
p jest nieredukowalne;
( p ) jest maksymalne.

Bardziej elementarny dowód

Udowodnimy pętlę implikacji 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 ⇒ 1, z których wyszczególnimy tylko dwie najdelikatniejsze.

2 ⇒ 3: niech a i b będą dwoma elementami A, takimi, że p = ab , wtedy 2 uczy nas, że p dzieli a lub b , w konsekwencji (ponieważ p jest niezerowe i A jest całkowe) p jest skojarzone z jednym a albo do b, a drugi czynnik jest odwracalny.
3 ⇒ 4: każdy ideał zawierający ( p ) jest generowany przez dzielnik p , więc jest generowany albo przez 1, albo przez p . W konsekwencji jedynymi dwoma ideałami zawierającymi ( p ) są A i ( p ), co jest definicją ideału maksymalnego.

Wzajemny obraz

Jeśli ψ jest morfizmem pierścieni (przemienne jednostkowej) A w B i P ideał B , to wiadomo, że odwrotny obraz P o P o * F jest doskonałą z A . W tych warunkach, jeśli P jest liczbą pierwszą, to również Q.

Demonstracja

/ P jest integralny: z jednej strony, A / P nie jest zerowym, to znaczy P nie jest całkowicie , ponieważ nie zawiera 1 A od * F (1 ) = 1, B n nie dla P .
A / Q jest izomorficzne z podobnym pierścieniem B / P, a więc, podobnie jak to, bez dzielnika zer.

Ta własność najczęściej ma zastosowanie w przypadku, gdy A jest pod-pierścieniem B , a morfizm ψ jest wtedy po prostu zastrzykiem kanonicznym . Następnie formułuje się w następujący sposób:

Jeśli jest podpierścień z B i P głównym ideał B następnie P ∩ to ideałem z A .

Nilradyczny, radykalny ideał

Definiujemy nilradical unitarnego pierścienia przemiennego A jako zbiór jego elementów nilpotentnych . Mamy zatem następujące stwierdzenie (którego dowód wykorzystuje twierdzenie Krulla, a zatem aksjomat wyboru ):

Nilradical jest równy przecięciu wszystkich głównych ideałów.

Mówiąc bardziej ogólnie, wnioskujemy, przechodząc do ilorazu, który:

Rodnik o odpowiedniej ideału I wynosi na przecięciu głównych idei zawierających I .

Zobacz też

Bibliografia

Serge Lang , Algebra [ szczegóły wydania ]
Saunders Mac Lane i Garrett Birkhoff , Algebra [ szczegóły wydań ]
Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ szczegóły wydań ]

Linki zewnętrzne

„ Ideały, pierścienie ilorazowe ” , na les-mathematiques.net
Pierścionek i body - Christian Squarcini
(pl) „ Najwyższy ideał ” na PlanetMath