W matematyce , Euklidesa lemat jest wynikiem elementarnej arytmetyki na podzielności , która odpowiada Proposition 32 Księga VII z elementów Euklidesa . Brzmi następująco:
Lemat euklidesowy - Niech b i c będą dwoma liczbami całkowitymi . Jeśli liczba pierwsza p dzieli iloczyn bc , to p dzieli b lub c .
Uogólnienie to:
Lemat Gaussa - Niech a , b i c będą trzema liczbami całkowitymi. Jeśli a dzieli iloczyn bc i jeśli a jest liczbą pierwszą przez b , to a dzieli c .
Formalnie: jeśli | bc i GCD ( a , b ) = 1, a następnie a | c .
W traktacie Gaussa, Disquisitiones arithmeticae , stwierdzenie lematu Euklidesa stanowi Twierdzenie 14 (sekcja 2), którego używa do udowodnienia wyjątkowości rozkładu na iloczyn czynników pierwszych liczby całkowitej (twierdzenie 16), uznając istnienie jako " oczywiste ” . Z tej egzystencji i wyjątkowości wyprowadza następnie „swój” lemat (art. 19).
Nazwy tych dwóch zdań są czasami mylone . Należy również zauważyć, że lemat „Gauss” już pojawia się w nowych elementów matematycznych z Jean Prestet XVII th century.
Lemat Gaussa uogólnia się na każdy pierścień (przemienny, unitarny) integrujący się z GCD , w szczególności na dowolny pierścień główny, taki jak wielomiany nad ciałem .
Dowód ten jest w istocie dowodem Gaussa, który rozumuje przez absurd , zakładając istnienie liczby pierwszej p i naturalnych liczb całkowitych a i b niepodzielnych przez p, tak że p dzieli ab . Najpierw wybiera, dla p i a , spośród wszystkich możliwości b najmniejszą; wtedy 0 < b < p , ponieważ w przeciwnym razie moglibyśmy zastąpić b jego resztą modulo p , a ponadto b ≠ 1, ponieważ a nie jest podzielne przez p . Następnie Oznaczmy przez R reszta euklidesowej Division of p przez B , który nie wynosi zero, ponieważ p jest liczbą pierwszą i b ≠ 1. W ten sposób, p = MB + r , w związku z ar = AP - mab jest wielokrotnością p , ponieważ ab jest wielokrotnością p według hipotezy. Ale ponieważ 0 < r < b < p , ar nie może być wielokrotnością p ze względu na minimalność b , co prowadzi do sprzeczności i pozwala wnioskować, że hipoteza a i b niepodzielne przez p jest fałszywa.
Niech a , b i c będą trzema liczbami całkowitymi, przy czym GCD ( a , b ) = 1 i a | bc . Ponieważ a dzieli zarówno ac, jak i bc , dzieli ich GCD lub GCD ( ac , bc ) = GCD ( a , b ) × c = 1 × c = c .
Demonstracja dla każdego pierścienia zintegrowanego z GCD jest identyczna. Klasyczny dowód pierścienia liczb całkowitych wykorzystuje twierdzenie Bézouta i dlatego rozciąga się tylko na pierścienie Bézouta .
Liczby pierwsze i ich przeciwieństwa stanowią nieredukowalne elementy pierścienia ℤ liczb całkowitych. Stwierdzenie lematu Euklidesa w każdym pierścieniu jest zatem następujące: każda nieredukowalna jest liczbą pierwszą (to znaczy dzieli jeden z dwóch czynników, gdy tylko dzieli produkt). Jest weryfikowany, gdy tylko lemat Gaussa zostanie zweryfikowany.
W dowolnym pierścieniu (przemiennym, unitarnym i całkowym) spełniającym lemat Gaussa:
Element jest liczbą pierwszą z iloczynem wtedy (i tylko wtedy) jest liczbą pierwszą z każdym czynnikiem.
W każdym pierścieniu A zgodnej Gaussa lematu The najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch głównych elementów jest ich produktów. Bardziej ogólnie :
Dla dowolnej skończonej rodziny elementów A liczba pierwsza między nimi dwa na dwa, ich PPCM jest ich iloczynem.
I odwrotnie, jeśli A spełnia to stwierdzenie, to spełnia lemat Gaussa:
DemonstracjaNiech a , b i c będą niezerowe w taki sposób, że PPCM ( a , b ) = ab i a dzieli bc . Czyli ab dzieli bc, więc a dzieli c .
Dowolną liczbę wymierną można zapisać jako ułamek nieredukowalny . Lemat Gaussa pokazuje, że takie pismo jest wyjątkowe:
Dla każdego wymiernego r zapis r w postaci r = p / q , z pierwszymi p i q między nimi i q ściśle dodatnimi, jest wyjątkowy.
DemonstracjaNiech r będzie wymierną ip 1 , p 2 , q 1 , q 2 liczbami całkowitymi, gdzie q 1 , q 2 > 0, tak że r = p 1 / q 1 = p 2 / q 2 i GCD ( p 1 , q 1 ) = GCD ( p 2 , q 2 ) = 1.
Mamy zatem q 2 | p 1 q 2 = p 2 q 1 . Jednak q 2 jest liczbą pierwszą z p 2 . Lemat Gaussa pokazuje, że q 2 | q 1 .
Podobnie (odwracając indeksy) q 1 | q 2 .
Stąd q 1 = q 2 , ponieważ q 1 i q 2 są dodatnie.
Wtedy p 1 = rq 1 = rq 2 = p 2 .
Nieredukowalna forma racjonalności jest zatem wyjątkowa.
W ten sam sposób dla każdego elementu pola ułamków całki pierścieniowej z GCD zapewnione jest istnienie formy nieredukowalnej, a jej wyjątkowość (z wyjątkiem iloczynu przez odwracalność) jest wydedukowana z lematu Gaussa.
Z powyższej konsekwencji dotyczącej pierwszości z produktem (i istnienia nieredukowalnej formy dla pierścienia GCD) wnioskujemy:
Każdy pierścień zintegrowany z PGCD jest całkowicie zamknięty.
Niech a będzie niezerowe i b , dwa elementy integralnego pierścienia. Jeżeli, z dowolnego elementu C , dzieli BC oznacza, że dzieli C , a następnie i b są względnie pierwsze.
Rzeczywiście, niech d będzie miał dzielnik wspólny dla a i b : możemy zapisać a = cd i b = ed . Zgodnie z hipotezą, ponieważ a dzieli bc , mamy, że a dzieli c, więc d jest odwracalne.