Tożsamości wektorowe

W tym artykule, oznacza dla iloczynu i ° dla produktu skalarnego . ×{\ displaystyle \ times}

Następujące tożsamości mogą być przydatne w analizie wektorów .

• w⋅(b×vs)=b⋅(vs×w)=vs⋅(w×b){\ Displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) = \ mathbf { c} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b})}
• w×(b×vs)=(vs×b)×w=b(w⋅vs)-vs(w⋅b){\ Displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {b}) \ times \ mathbf {a} = \ mathbf { b} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})}
• (w×b)⋅(vs×re)=(w⋅vs)(b⋅re)-(w⋅re)(b⋅vs){\ Displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {d}) = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {d}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {d}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c})}( Tożsamość Bineta-Cauchy'ego )
• ∇×(∇ψ)=0{\ Displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ psi) = \ mathbf {0}}
• ∇⋅(∇×V)=0{\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {V}) = 0}
• ∇×(∇×V)=∇(∇⋅V)-∇2V{\ Displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {V}) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {V}) - \ nabla ^ {2} \ mathbf {V}}
• ∇(ψϕ)=(∇ψ)ϕ+(∇ϕ)ψ{\ Displaystyle \ nabla (\ psi \ phi) = (\ nabla \ psi) \ phi + (\ nabla \ phi) \ psi}
• ∇⋅(ψV)=(∇ψ)⋅V+(∇⋅V)ψ{\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ psi \ mathbf {V}) = (\ nabla \ psi) \ cdot \ mathbf {V} + (\ nabla \ cdot \ mathbf {V}) \ psi}
• ∇×(ψV)=(∇ψ)×V+(∇×V)ψ{\ Displaystyle \ nabla \ times (\ psi \ mathbf {V}) = (\ nabla \ psi) \ times \ mathbf {V} + (\ nabla \ times \ mathbf {V}) \ psi}
• ∇(W⋅b)=(W⋅∇)b+(b⋅∇)W+W×(∇×b)+b×(∇×W){\ Displaystyle \ nabla (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B}) = (\ mathbf {A} \ cdot \ nabla) \ mathbf {B} + (\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} + \ mathbf {A} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {B}) + \ mathbf {B} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A})}
• ∇⋅(W×b)=(∇×W)⋅b-W⋅(∇×b){\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) = (\ nabla \ times \ mathbf {A}) \ cdot \ mathbf {B} - \ mathbf {A} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {B})}
• ∇×(W×b)=(∇⋅b)W-(∇⋅W)b+(b⋅∇)W-(W⋅∇)b{\ Displaystyle \ nabla \ times (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) = (\ nabla \ cdot \ mathbf {B}) \ mathbf {A} - (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) \ mathbf {B} + (\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} - (\ mathbf {A} \ cdot \ nabla) \ mathbf {B}}
• (W⋅∇)b-(W×∇)×b=(∇⋅b)W-W×(∇×b){\ Displaystyle (\ mathbf {A} \ cdot \ nabla) \ mathbf {B} - (\ mathbf {A} \ razy \ nabla) \ razy \ mathbf {B} = (\ nabla \ cdot \ mathbf {B}) \ mathbf {A} - \ mathbf {A} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {B})}
• ∇(V2/2)=(V⋅∇)V+V×(∇×V){\ Displaystyle \ nabla (\ mathbf {V} ^ {2} / 2) = (\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla}) \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {V})}
• ∇(V2/2)=(∇⋅V)V+(V×∇)×V{\ Displaystyle \ nabla (\ mathbf {V} ^ {2} / 2) = (\ nabla \ cdot \ mathbf {V}) \ mathbf {V} + (\ mathbf {V} \ times \ nabla) \ times \ mathbf {V}}

Ogólne tożsamości wektorowe

W tej sekcji a , b , c i d reprezentują dowolne wektory . Rnie{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

Konwencje pisania

W tym artykule zastosowano następujące konwencje; Zauważ, że pozycja indeksów (podniesiona lub obniżona) nie ma tutaj większego znaczenia, biorąc pod uwagę, że pracujemy w kontekście euklidesowym. Tym niemniej umożliwia to bardziej bezpośrednie znalezienie sprzężeń (wyższy indeks wiąże się z niższym indeksem).

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny dwóch wektorów a i b jest oznaczona

w⋅b{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}}

W konwencji sumowania Einsteina jest napisane:

w⋅b=wjabja=wjabja{\ Displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = a_ {i} b ^ {i} = a ^ {i} b_ {i}}Produkt wektorowy

Iloczyn dwóch wektorów A i B oznacza się

w×b{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}}

W konwencji sumowania Einsteina jest napisane:

(w×b)ja=ϵjajotkwjotbk{\ Displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) _ {i} = {\ epsilon _ {i}} ^ {jk} a_ {j} b_ {k}}Symbol Levi-Civity

Tożsamość, która często pojawia się w dowodach wykorzystujących konwencję sumowania Einsteina, to:

ϵjajotkϵklm=δjalδjotm-δjamδjotl{\ Displaystyle {\ epsilon _ {ij}} ^ {k} {\ epsilon _ {k}} ^ {lm} = \ delta _ {i} ^ {l} \ delta _ {j} ^ {m} - \ delta _ {i} ^ {m} \ delta _ {j} ^ {l}}

Z tym symbolem Kroneckera . δ{\ displaystyle \ delta}

Potrójne produkty

Mamy następujący wynik na mieszanym produkcie  :

• w⋅(b×vs)=b⋅(vs×w)=vs⋅(w×b){\ Displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) = \ mathbf { c} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b})}

Demonstracja

W konwencji sumowania Einsteina mamy:

w⋅(b×vs)=wjaϵjajotkbjotvsk{\ Displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = a_ {i} {\ epsilon ^ {i}} _ {jk} b ^ {j} c ^ {k }}

Poprzez dwukrotne permutowanie indeksów symbolu Levi-Civita i przestawienie terminów otrzymujemy kolejno następujące równoważne wyrażenia:

Pierwszy :

bjotϵjotkjavskwja=b⋅(vs×w){\ Displaystyle b ^ {j} {\ epsilon _ {jk}} ^ {i} c ^ {k} a_ {i} = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a} )}

Druga:

vskϵkjajotwjabjot=vs⋅(w×b){\ displaystyle c ^ {k} {{\ epsilon _ {k}} ^ {i}} _ {j} a_ {i} b ^ {j} = \ mathbf {c} \ cdot (\ mathbf {a} \ razy \ mathbf {b})}

W ten sposób ukazuje się tożsamość.

• Tożsamość podwójnego iloczynu krzyżowego  :

w×(b×vs)=(vs×b)×w=b(w⋅vs)-vs(w⋅b){\ Displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {b}) \ times \ mathbf {a} = \ mathbf { b} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})}

Pierwsza równość następujące właściwości produktu karne  : . Drugi jest przedstawiony poniżej. (w×b)=-(b×w){\ Displaystyle (\ mathbf {a} \ razy \ mathbf {b}) = - (\ mathbf {b} \ razy \ mathbf {a})}

Demonstracja

W konwencji sumowania Einsteina mamy:

(w×(b×vs))ja=ϵjajotkwjotϵklmblvsm{\ Displaystyle (\ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c})) _ {i} = {\ epsilon _ {i}} ^ {jk} a_ {j} {\ epsilon _ {k}} ^ {lm} b_ {l} c_ {m}}

Korzystając z właściwości symbolu Levi-Civita i symbolu Kroneckera , prawą stronę można przepisać w następujący sposób:

δjalδjotmwjotblvsm-δjamδjotlwjotblvsm=bjawjotvsjot-vsjawjotbjot{\ displaystyle \ delta _ {i} ^ {l} \ delta ^ {jm} a_ {j} b_ {l} c_ {m} - \ delta _ {i} ^ {m} \ delta ^ {jl} a_ { j} b_ {l} c_ {m} = b_ {i} a_ {j} c ^ {j} -c_ {i} a_ {j} b ^ {j}}

Wyjaśniając prawą stronę, znajdujemy tożsamość:

(w×(b×vs))ja=bja(w⋅vs)-vsja(w⋅b){\ Displaystyle (\ mathbf {a} \ razy (\ mathbf {b} \ razy \ mathbf {c})) _ {i} = b_ {i} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - c_ {i} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})}

Inne produkty

Tożsamość Bineta-Cauchy'ego  :

(w×b)⋅(vs×re)=(w⋅vs)(b⋅re)-(w⋅re)(b⋅vs){\ Displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {d}) = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {d}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {d}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c})}

zauważ, że znajdujemy tożsamość Lagrange'a, jeśli a = c i jeśli b = d .

Demonstracja

W konwencji sumowania Einsteina mamy:

(w×b)⋅(vs×re)=ϵjajotkwjotbkϵjalmvslrem{\ Displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {d}) = {\ epsilon _ {i}} ^ {jk} a_ {j} b_ {k} {\ epsilon ^ {i}} _ {lm} c ^ {l} d ^ {m}}

Korzystając z właściwości symbolu Levi-Civita i symbolu Kroneckera , prawą stronę można przepisać w następujący sposób:

δljotδmkwjotbkvslrem-δmjotδlkwjotbkvslrem=wlvslbkrek-wjotrejotbkvsk{\ Displaystyle \ delta _ {l} ^ {j} \ delta _ {m} ^ {k} a_ {j} b_ {k} c ^ {l} d ^ {m} - \ delta _ {m} ^ { j} \ delta _ {l} ^ {k} a_ {j} b_ {k} c ^ {l} d ^ {m} = a_ {l} c ^ {l} b_ {k} d ^ {k} - a_ {j} d ^ {j} b_ {k} c ^ {k}}

Drugi element uzyskuje się poprzez uproszczenie i zmianę układu terminów. Po prawej stronie znajdujemy wyrażenie iloczynów skalarnych i w końcu mamy:

(w×b)⋅(vs×re)=(w⋅vs)(b⋅re)-(w⋅re)(b⋅vs){\ Displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {d}) = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {d}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {d}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c})}

Operatorzy

Ta sekcja zawiera wyraźną listę znaczeń symboli użytych w celu zapewnienia przejrzystości.

Rozbieżność

Dywergencja pola wektorowego

Dla pola wektorowego zwykle zapisujemy dywergencję w następujący sposób: V{\ displaystyle \ mathbf {V}}

rejav⁡(V)=∇⋅V{\ displaystyle \ operatorname {\ mathbf {div}} (\ mathbf {V}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {V}}

Jest to pole skalarne .

W konwencji sumowania Einsteina dywergencja pola wektorowego jest zapisana:

∇⋅V=∂jaVja{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {V} = \ częściowe _ {i} V ^ {i}} Dywergencja tensora

W przypadku tensora zwykle zapisujemy dywergencję w następujący sposób: T{\ displaystyle {\ stackrel {\ mathbf {\ mathfrak {T}}} {}}}

rejav⁡(T)=∇⋅T{\ displaystyle \ operatorname {\ mathbf {div}} (\ mathbf {\ mathfrak {T}}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {\ mathfrak {T}}}

Ponieważ dywergencja zmniejsza się o 1 rząd tensora, gdyby była rzędu 2, mielibyśmy wektor, który jest tensorem rzędu 1. T{\ displaystyle {\ stackrel {\ mathbf {\ mathfrak {T}}} {}}}

Rotacyjny

Dla pola wektorowego generalnie zapisujemy rotację w następujący sposób: V{\ displaystyle \ mathbf {V}}

rot⁡(V)=∇×V{\ displaystyle \ operatorname {\ mathbf {rot}} (\ mathbf {V}) = \ nabla \ times \ mathbf {V}}

Jest to pole wektorowe .

W konwencji sumowania Einsteina rotacja pola wektorowego jest zapisana:

(∇×V)ja=ϵjajotk∂jotVk{\ displaystyle (\ nabla \ times \ mathbf {V}) _ {i} = {\ epsilon _ {i}} ^ {jk} \ częściowy _ {j} V_ {k}}

Gradient

Gradient pola wektorowego

W przypadku pola wektorowego generalnie zapisujemy gradient w następujący sposób: V{\ displaystyle \ mathbf {V}}

solrwre⁡(V)=∇V{\ displaystyle \ operatorname {\ mathbf {grad}} (\ mathbf {V}) = \ nabla \ mathbf {V}}

To jest tensor .

Gradient pola skalarnego

W przypadku pola skalarnego zazwyczaj zapisujemy gradient w następujący sposób: ψ{\ displaystyle \ psi}

solrwre⁡(ψ)=∇ψ{\ displaystyle \ operatorname {\ mathbf {grad}} (\ psi) = \ nabla \ psi}

To jest wektor .

W konwencji sumowania Einsteina gradient pola skalarnego jest zapisywany:

(∇ψ)ja=∂jaψ{\ Displaystyle (\ nabla \ psi) _ {i} = \ częściowe _ {i} \ psi}

Kombinacje operatorów

Gradient rotacyjny

Curl z gradientem z dowolnego pola skalarnego jest zawsze zero: ψ{\ displaystyle \ psi}

∇×(∇ψ)=0{\ Displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ psi) = \ mathbf {0}} Demonstracja

W konwencji sumowania Einsteina mamy:

(∇×(∇ψ))ja=ϵjajotk∂jot∂kψ{\ Displaystyle \ lewo (\ nabla \ razy (\ nabla \ psi) \ prawej) _ {i} = {\ epsilon _ {i}} ^ {jk} \ częściowe _ {j} \ częściowe _ {k} \ psi }

Poprzez permutację indeksów j i k (nieparzysta permutacja) otrzymujemy równoważne wyrażenie:

-ϵjakjot∂k∂jotψ=-(∇×(∇ψ))ja{\ Displaystyle {- \ epsilon _ {i}} ^ {kj} \ częściowe _ {k} \ częściowe _ {j} \ psi = - \ lewo (\ nabla \ razy (\ nabla \ psi) \ prawej) _ { ja}}

Zmiana znaku wynika z nieparzystej permutacji indeksów. Więc w końcu mamy:

(∇×(∇ψ))ja=-(∇×(∇ψ))ja⇔(∇×(∇ψ))ja=0{\ Displaystyle \ lewo (\ nabla \ razy (\ nabla \ psi) \ prawej) _ {i} = - \ lewo (\ nabla \ razy (\ nabla \ psi) \ prawo) _ {i} \ Leftrightarrow \ lewo ( \ nabla \ times (\ nabla \ psi) \ right) _ {i} = 0}

W ten sposób ukazuje się tożsamość.

Dywergencja rotacji

Rozbieżność z obrotową z dowolnego pola wektorowego jest zawsze zero: V{\ displaystyle \ mathbf {V}}

∇⋅(∇×V)=0{\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {V}) = 0} Demonstracja

W konwencji sumowania Einsteina mamy:

(∇⋅(∇×V))ja=∂jaϵjajotk∂jotVk{\ Displaystyle \ lewo (\ nabla \ cdot (\ nabla \ razy \ mathbf {V}) \ prawej) _ {i} = \ częściowe _ {i} {\ epsilon ^ {i}} _ {jk} \ częściowe ^ {j} V ^ {k}}

Poprzez permutację indeksów i i j (permutacja nieparzysta) otrzymujemy równoważne wyrażenie:

-∂jotϵjotjak∂jaVk=-(∇⋅(∇×V))ja{\ Displaystyle - \ częściowe ^ {j} {{\ epsilon _ {j}} ^ {i}} _ {k} \ częściowe _ {i} V ^ {k} = - \ lewo (\ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {V}) \ right) _ {i}}

Zmiana znaku wynika z nieparzystej permutacji indeksów. Więc w końcu mamy:

(∇⋅(∇×V))ja=-(∇⋅(∇×V))ja⇔(∇⋅(∇×V))ja=0{\ Displaystyle \ lewo (\ nabla \ cdot (\ nabla \ razy \ mathbf {V}) \ prawej) _ {i} = - \ lewo (\ nabla \ cdot (\ nabla \ razy \ mathbf {V}) \ prawo ) _ {i} \ Leftrightarrow \ left (\ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {V}) \ right) _ {i} = 0}

W ten sposób ukazuje się tożsamość.

Laplacian

Laplasian pola skalarnego

Laplace'a z pola skalarnej jest zdefiniowana jako rozbieżności w gradiencie  : ψ{\ displaystyle \ psi}

∇⋅(∇ψ)=∇2ψ{\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ psi) = \ nabla ^ {2} \ psi}

Jest to pole skalarne.

W konwencji sumowania Einsteina The Laplace'a z pola skalarnego zauważyć, co następuje:

∇2ψ=∂ja∂jaψ{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = \ częściowe _ {i} \ częściowe ^ {i} \ psi} Laplasian pola wektorowego

Wektor Laplace'a z pola wektorowego jest wektorem, którego składniki są Laplace'a składników.

W konwencji podsumowania Einsteina zauważono:

(∇2V)ja=∇2(Vja)=∂jot∂jot(Vja){\ Displaystyle (\ nabla ^ {2} \ mathbf {V}) _ {i} = \ nabla ^ {2} (V_ {i}) = \ częściowe _ {j} \ częściowe ^ {j} (V_ {i })}

Rotacyjny od rotacyjnego

Rotację rotacji pola wektorowego wyraża się wzorem: V{\ displaystyle \ mathbf {V}}

∇×(∇×V)=∇(∇⋅V)-∇2V{\ Displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {V}) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {V}) - \ nabla ^ {2} \ mathbf {V}} Demonstracja

W konwencji sumowania Einsteina mamy:

(∇×(∇×V))ja=ϵjajotk∂jotϵklm∂lVm{\ Displaystyle \ lewo (\ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {V}) \ prawej) _ {i} = {\ epsilon _ {i}} ^ {jk} \ częściowy _ {j} {\ epsilon _ {k}} ^ {lm} \ częściowe _ {l} V_ {m}}

Korzystając z właściwości symbolu Levi-Civita i symbolu Kroneckera , otrzymujemy:

δjalδjotm∂jot∂lVm-δjamδjotl∂jot∂lVm=∂ja∂mVm-∂jot∂jotVja{\ Displaystyle \ delta _ {i} ^ {l} \ delta ^ {jm} \ częściowe _ {j} \ częściowe _ {l} V_ {m} - \ delta _ {i} ^ {m} \ delta ^ { jl} \ częściowe _ {j} \ częściowe _ {l} V_ {m} = \ częściowe _ {i} \ częściowe ^ {m} V_ {m} - \ częściowe _ {j} \ częściowe ^ {j} V_ { ja}}

Po prawej stronie tego ostatniego wyrażenia znajdujemy gradient dywergencji i laplacian . Więc w końcu mamy:

(∇×(∇×V))ja=(∇(∇⋅V))ja-∇2(Vja){\ Displaystyle \ lewo (\ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {V}) \ prawej) _ {i} = \ lewo (\ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {V}) \ prawej) _ { i} - \ nabla ^ {2} (V_ {i})}

W ten sposób ukazuje się tożsamość.

Iloczyn pola przez jego rotację

Iloczyn pola przez jego rotację jest dany przez: V{\ displaystyle \ mathbf {V}}

V×(∇×V)=∇(V22)-(V⋅∇)V{\ Displaystyle \ mathbf {V} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {V}) = \ nabla \ lewo ({\ Frac {\ mathbf {V} ^ {2}} {2}} \ prawej) - ( \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla}) \ mathbf {V}} Demonstracja

W konwencji sumowania Einsteina mamy:

(V×(∇×V))ja=ϵjajotkVjotϵklm∂lVm{\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {V} \ razy (\ nabla \ times \ mathbf {V}) \ prawej) _ {i} = {\ epsilon _ {i}} ^ {jk} V_ {j} {\ epsilon _ {k}} ^ {lm} \ częściowy _ {l} V_ {m.}}

Korzystając z właściwości symbolu Levi-Civita i symbolu Kroneckera , otrzymujemy:

(δjalδjotm-δjamδjotl)Vjot∂lVm=Vjot∂jaVjot-Vjot∂jotVja{\ Displaystyle (\ delta _ {i} ^ {l} \ delta _ {j} ^ {m} - \ delta _ {i} ^ {m} \ delta _ {j} ^ {l}) V_ {j} \ częściowe _ {l} V_ {m} = V_ {j} \ częściowe _ {i} V ^ {j} -V_ {j} \ częściowe ^ {j} V_ {i}}

W ten sposób ukazuje się tożsamość.

Inne tożsamości obejmujące operatorów

W tej sekcji, i stanowią pole skalarne, a reprezentują pól wektorowych. ψ{\ displaystyle \ psi}ϕ{\ displaystyle \ phi}V,W{\ displaystyle \ mathbf {V}, \ mathbf {A}}b{\ displaystyle \ mathbf {B}}

• ∇(ψϕ)=(∇ψ)ϕ+(∇ϕ)ψ{\ Displaystyle \ nabla (\ psi \ phi) = (\ nabla \ psi) \ phi + (\ nabla \ phi) \ psi}

Zależność ta wynika bezpośrednio z reguły iloczynu .

• ∇⋅(ψV)=(∇ψ)⋅V+(∇⋅V)ψ{\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ psi \ mathbf {V}) = (\ nabla \ psi) \ cdot \ mathbf {V} + (\ nabla \ cdot \ mathbf {V}) \ psi}

Demonstracja

W konwencji sumowania Einsteina mamy:

∇⋅(ψV)=∂ja(ψV)ja{\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ psi \ mathbf {V}) = \ częściowe _ {i} (\ psi \ mathbf {V}) ^ {i}}

Zgodnie z regułą dotyczącą produktu , ten ostatni termin jest równoważny z:

(∂jaψ)Vja+ψ(∂jaVja)=(∇ψ)⋅V+(∇⋅V)ψ{\ Displaystyle (\ częściowe _ {i} \ psi) V ^ {i} + \ psi (\ częściowe _ {i} V ^ {i}) = (\ nabla \ psi) \ cdot \ mathbf {V} + ( \ nabla \ cdot \ mathbf {V}) \ psi}

W ten sposób ukazuje się tożsamość.

• ∇×(ψV)=(∇ψ)×V+(∇×V)ψ{\ Displaystyle \ nabla \ times (\ psi \ mathbf {V}) = (\ nabla \ psi) \ times \ mathbf {V} + (\ nabla \ times \ mathbf {V}) \ psi}

Demonstracja

W konwencji sumowania Einsteina mamy:

(∇×(ψV))ja=ϵjajotk∂jot(ψV)k{\ Displaystyle (\ nabla \ times (\ psi \ mathbf {V})) _ {i} = {\ epsilon _ {i}} ^ {jk} \ częściowy _ {j} (\ psi \ mathbf {V}) _ {k}}

Zgodnie z regułą dotyczącą produktu , ten ostatni termin jest równoważny z:

ϵjajotk(∂jotψ)Vk+ϵjajotk(∂jotVk)ψ=((∇ψ)×V)ja+(∇×V)jaψ{\ Displaystyle {\ epsilon _ {i}} ^ {jk} (\ częściowe _ {j} \ psi) V_ {k} + {\ epsilon _ {i}} ^ {jk} (\ częściowe _ {j} V_ {k}) \ psi = ((\ nabla \ psi) \ times \ mathbf {V}) _ {i} + (\ nabla \ times \ mathbf {V}) _ {i} \ psi}

W ten sposób ukazuje się tożsamość.

Gradient iloczynu skalarnego

• ∇(W⋅b)=(W⋅∇)b+(b⋅∇)W+W×(∇×b)+b×(∇×W){\ Displaystyle \ nabla (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B}) = (\ mathbf {A} \ cdot \ nabla) \ mathbf {B} + (\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} + \ mathbf {A} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {B}) + \ mathbf {B} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A})}

Demonstracja

W konwencji sumowania Einsteina mamy:

(∇(W⋅b))ja=∂ja(Wjotbjot)=∂ja(Wjotbjot)+[Wjot∂jotbja-Wjot∂jotbja+bjot∂jotWja-bjot∂jotWja]{\ Displaystyle (\ nabla (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B})) _ {i} = \ częściowe _ {i} (A ^ {j} B_ {j}) = \ częściowe _ {i} (A ^ {j} B_ {j}) + [A ^ {j} \ częściowe _ {j} B_ {i} -A ^ {j} \ częściowe _ {j} B_ {i} + B_ {j} \ częściowe ^ {j} A_ {i} -B_ {j} \ częściowe ^ {j} A_ {i}]}

W ten sposób zostało ujawnione w nawiasach terminy i . Pozostaje teraz pokazać, że trzy pozostałe terminy łączą się, aby przybrać pożądaną formę. Zgodnie z zasadą iloczynu mamy Wjot∂jotbja=(W⋅∇)bja{\ Displaystyle A ^ {j} \ częściowe _ {j} B_ {i} = (\ mathbf {A} \ cdot \ nabla) B_ {i}}bjot∂jotWja=(b⋅∇)Wja{\ Displaystyle B_ {j} \ częściowe ^ {j} A_ {i} = (\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) A_ {i}}

∂ja(Wjotbjot)-Wjot∂jotbja-bjot∂jotWja=∂jaWjotbjot+Wjot∂jabjot-Wjot∂jotbja-bjot∂jotWja{\ Displaystyle \ częściowe _ {i} (A ^ {j} B_ {j}) - A ^ {j} \ częściowe _ {j} B_ {i} -B_ {j} \ częściowe ^ {j} A_ {i } = \ częściowe _ {i} A ^ {j} B_ {j} + A ^ {j} \ częściowe _ {i} B_ {j} -A ^ {j} \ częściowe _ {j} B_ {i} - B_ {j} \ częściowe ^ {j} A_ {i}}

Gromadząc pierwszy i ostatni człon (oraz w ten sam sposób drugi i trzeci człon) otrzymujemy:

bjot∂jaWjot-bjot∂jotWja=δjalδjotmbjot∂lWm-δjotlδjambjot∂lWm{\ Displaystyle B_ {j} \ częściowe _ {i} A ^ {j} -B_ {j} \ częściowe ^ {j} A_ {i} = \ delta _ {i} ^ {l} \ delta ^ {jm} B_ {j} \ częściowe _ {l} A_ {m} - \ delta ^ {jl} \ delta _ {i} ^ {m} B_ {j} \ częściowe _ {l} A_ {m}}

gdzie wprowadziliśmy , aby termin się pojawił . Podkreślając ten termin, mamy: δ{\ displaystyle \ delta}bjot∂lWm{\ displaystyle B_ {j} \ częściowy _ {l} A_ {m.}}

(δjalδjotm-δjotlδjam)bjot∂lWm=ϵjajotkϵklmbjot∂lWm{\ Displaystyle (\ delta _ {i} ^ {l} \ delta ^ {jm} - \ delta ^ {jl} \ delta _ {i} ^ {m}) B_ {j} \ częściowy _ {l} A_ { m} = \ epsilon _ {i} ^ {jk} \ epsilon _ {k} ^ {lm} B_ {j} \ częściowy _ {l} A_ {m}}

lub wreszcie . Drugie i trzecie wyrazy wymienione powyżej dają dokładnie ten sam wynik, gdy A i B są zamienione . Zbierając poprzednie wyniki, w końcu mamy: (b×(∇×W))ja{\ Displaystyle (\ mathbf {B} \ razy (\ nabla \ times \ mathbf {A})) _ {i}}(W×(∇×b))ja{\ Displaystyle (\ mathbf {A} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {B})) _ {i}}

(∇(W⋅b))ja=(W⋅∇)bja+(b⋅∇)Wja+(W×(∇×b))ja+(b×(∇×W))ja{\ Displaystyle (\ nabla (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B})) _ {i} = (\ mathbf {A} \ cdot \ nabla) B_ {i} + (\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) A_ {i} + (\ mathbf {A} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {B})) _ {i} + (\ mathbf {B} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A })) _ {ja}}

W ten sposób ukazuje się tożsamość.

Dywergencja iloczynu krzyżowego

• ∇⋅(W×b)=(∇×W)⋅b-W⋅(∇×b){\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) = (\ nabla \ times \ mathbf {A}) \ cdot \ mathbf {B} - \ mathbf {A} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {B})}

Demonstracja

W konwencji sumowania Einsteina mamy:

(∇⋅(W×b))=∂ja(ϵjajotkWjotbk){\ Displaystyle (\ nabla \ cdot (\ mathbf {A} \ razy \ mathbf {B})) = \ częściowe _ {i} ({\ epsilon ^ {i}} _ {jk} A ^ {j} B ^ {k})}

Zgodnie z regułą dotyczącą iloczynu ten ostatni warunek jest równy:

ϵjajotk(∂jaWjot)bk+ϵjajotkWjot(∂jabk){\ Displaystyle {\ epsilon ^ {i}} _ {jk} (\ częściowe _ {i} A ^ {j}) B ^ {k} + {\ epsilon ^ {i}} _ {jk} A ^ {j } (\ częściowe _ {i} B ^ {k})}

Przeprowadzając parzystą permutację indeksu na pierwszym członie i nieparzystą na drugim, otrzymujemy:

(ϵkjajot∂jaWjot)bk-Wjot(ϵjotjak∂jabk)=(∇×W)⋅b-W⋅(∇×b){\ Displaystyle ({{\ epsilon _ {k}} ^ {i}} _ {j} \ częściowy _ {i} A ^ {j}) B ^ {k} -A ^ {j} ({{\ epsilon _ {j}} ^ {i}} _ {k} \ częściowy _ {i} B ^ {k}) = (\ nabla \ times \ mathbf {A}) \ cdot \ mathbf {B} - \ mathbf {A } \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {B})}

Zmiana znaku pochodzi z nieparzystej permutacji symbolu Levi-Civita .

W ten sposób ukazuje się tożsamość.

Rotacja iloczynu poprzecznego

• ∇×(W×b)=(∇⋅b)W-(∇⋅W)b+(b⋅∇)W-(W⋅∇)b{\ Displaystyle \ nabla \ times (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) = (\ nabla \ cdot \ mathbf {B}) \ mathbf {A} - (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) \ mathbf {B} + (\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} - (\ mathbf {A} \ cdot \ nabla) \ mathbf {B}}

Demonstracja

W konwencji sumowania Einsteina mamy:

(∇×(W×b))ja=ϵjajotk∂jot(ϵklmWlbm)=ϵjajotkϵklm(∂jotWlbm+Wl∂jotbm){\ Displaystyle (\ nabla \ times (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B})) _ {i} = {\ epsilon _ {i}} ^ {jk} \ częściowy _ {j} ({\ epsilon _ {k}} ^ {lm} A_ {l} B_ {m}) = \ epsilon _ {i} ^ {jk} \ epsilon _ {k} ^ {lm} (\ częściowe _ {j} A_ {l} B_ {m} + A_ {l} \ częściowe _ {j} B_ {m})}

gdzie zastosowaliśmy regułę iloczynu . Dzięki właściwościom symbolu Levi-Civita ten ostatni termin zostaje przepisany

(δjalδjotm-δjamδjotl)(∂jotWlbm+Wl∂jotbm)=∂jotWjabjot+Wja∂jotbjot-∂jotWjotbja-Wjot∂jotbja{\ Displaystyle (\ delta ^ {il} \ delta ^ {jm} - \ delta ^ {im} \ delta ^ {jl}) (\ częściowe _ {j} A_ {l} B_ {m} + A_ {l} \ częściowe _ {j} B_ {m}) = \ częściowe _ {j} A_ {i} B ^ {j} + A_ {i} \ częściowe _ {j} B ^ {j} - \ częściowe _ {j} A ^ {j} B_ {i} -A ^ {j} \ częściowe _ {j} B_ {i}}

Po prawej stronie można wówczas zapisać w następujący sposób:

(b⋅∇)Wja+Wja(∇⋅b)-(∇⋅W)bja-(W⋅∇)bja{\ Displaystyle (\ mathbf {B} \ cdot \ nabla) A_ {i} + A_ {i} (\ nabla \ cdot \ mathbf {B}) - (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) B_ {i} - (\ mathbf {A} \ cdot \ nabla) B_ {i}}

W ten sposób ukazuje się tożsamość.