Zielone tożsamości

W analizie na tożsamości GREEN trzy Identyfikatory obliczenia wektora łączące integralnym określony w objętości, a określona na krawędzi tej objętości. Te relacje zawdzięczamy George'owi Greenowi .

Pierwsza tożsamość Greena

Niech φ i ψ będą funkcjami skalarnymi zdefiniowanymi w dziedzinie V ⊂ R d , ograniczonymi domeną normalnej n , zorientowaną na zewnątrz domeny, tak że φ jest co najmniej dwukrotnie różniczkowalna i ψ jednokrotnie. Pierwszą tożsamość uzyskuje się za pomocą twierdzenia o rozbieżności strumienia zastosowanego do pola wektorowego F = ψ  ∇ φ przy użyciu tożsamości ∇ ⋅ ( φ X ) = ∇ φ ⋅ X + φ ∇⋅ X  : ∂V{\ Displaystyle \ częściowe V}

∫V(ψΔφ+∇ψ⋅∇φ)reV=∫∂Vψ∇φ⋅niereS{\ Displaystyle \ int _ {V} \ lewo (\ psi \, \ Delta \ varphi + \ nabla \ psi \ cdot \ nabla \ varphi \ prawej) \ \ mathrm {d} V = \ int _ {\ częściowe V } \ psi \, \ nabla \ varphi \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} \ mathrm {S}}

Druga tożsamość Greena

Jeśli φ i ψ są dwa razy różniczkowalne w sposób ciągły w V ⊂ R 3 i ε raz, to biorąc F = ψ ε  ∇ φ - φ ε  ∇ ψ otrzymujemy:

∫V[ψ∇⋅(ε∇φ)-φ∇⋅(ε∇ψ)]reV=∫∂Vε(ψ∂φ∂nie-φ∂ψ∂nie)reS{\ Displaystyle \ int _ {V} \ lewo [\ psi \, \ nabla \ cdot \ lewo (\ varepsilon \, \ nabla \ varphi \ prawej) - \ varphi \, \ nabla \ cdot \ lewo (\ varepsilon \, \ nabla \ psi \ right) \ right] \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ częściowe V} \ varepsilon \ left (\ psi {\ części \ varphi \ over \ części \ mathbf {n}} - \ varphi {\ części \ psi \ over \ części \ mathbf {n}} \ right) \, \ mathrm {d} S}

Jeśli weźmiemy ε = 1, to:

∫V(ψΔφ-φΔψ)reV=∫∂V(ψ∇nieφ-φ∇nieψ)reS{\ Displaystyle \ int _ {V} \ lewo (\ psi \, \ Delta \ varphi - \ varphi \, \ Delta \ psi \ prawej) \ \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ częściowe V} \ left (\ psi \ nabla _ {\ mathbf {n}} \ varphi - \ varphi \ nabla _ {\ mathbf {n}} \ psi \ right) \, \ mathrm {d} S}

W szczególności, ten pokazuje, że Laplace'a jest operatorem samosprzężone do wnętrza produktu L 2 , w przypadku funkcji anulowanie na granicy domeny.

Trzecia tożsamość Greena

Jeśli wybierzemy φ = G, gdzie funkcja Greena G jest rozwiązaniem funkcji Laplaciana, to znaczy:

Δsol(x,η)=δ(x-η){\ Displaystyle \ Delta G (\ mathbf {x}, {\ boldsymbol {\ eta}}) = \ delta (\ mathbf {x} - {\ boldsymbol {\ eta}})}

Na przykład, jeśli w R 3 rozwiązanie ma postać:

sol(x,η)=-14π‖x-η‖{\ Displaystyle G (\ mathbf {x}, {\ boldsymbol {\ eta}}) = {\ Frac {-1} {4 \ pi \ | \ mathbf {x} - {\ boldsymbol {\ eta}} \ | }}}

Trzecia tożsamość Greena mówi, że jeśli ψ jest dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły, to:

∫Vsol(y,η)Δψ(y)reVy-ψ(η)=∫∂V[sol(y,η)∂ψ∂nie(y)-ψ(y)∂sol(y,η)∂nie]reS{\ Displaystyle \ int _ {V} G (\ mathbf {r}, {\ boldsymbol {\ eta}}) \, \ Delta \ psi (\ mathbf {y}) \ \, \ mathrm {d} V _ {\ mathbf {y}} - \ psi ({\ boldsymbol {\ eta}}) = \ int _ {\ częściowe V} \ left [G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}}) {\ częściowe \ psi \ ponad \ częściowe \ mathbf {n}} (\ mathbf {y}) - \ psi (\ mathbf {y}) {\ częściowe G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}}) \ ponad \ częściowe \ mathbf {n}} \ w prawo] \, \ mathrm {d} S}

Jeśli ponadto ψ jest funkcją harmoniczną , to rozwiązanie równania Laplace'a ∇ 2 ψ = 0 mamy:

ψ(η)=∫∂V[ψ(y)∂sol(y,η)∂nie-sol(y,η)∂ψ∂nie(y)]reS{\ Displaystyle \ psi ({\ boldsymbol {\ eta}}) = \ int _ {\ częściowe V} \ lewo [\ psi (\ mathbf {y}) {\ Frac {\ częściowe G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}})} {\ części \ mathbf {n}}} - G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}}) {\ frac {\ części \ psi} {\ częściowe \ mathbf {n}}} (\ mathbf {y}) \ right] \, \ mathrm {d} S}

W przypadku, gdy warunek brzegowy Dirichleta G jest anulowany na brzegu pola i:

ψ(η)=∫∂Vψ(y)∂sol(y,η)∂niereS{\ Displaystyle \ psi ({\ boldsymbol {\ eta}}) = \ int _ {\ częściowe V} \ psi (\ mathbf {y}) {\ Frac {\ częściowe G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}})} {\ części \ mathbf {n}}} \, \ mathrm {d} S}

Jeśli ψ jest rozwiązaniem równania Helmholtza, a G odpowiadającą mu funkcją Greena, to wyrażenie to prowadzi do zasady Huygensa-Fresnela .

Odmiany zróżnicowane

Pierwsze dwie tożsamości Greena obejmują rozmaitości riemannowskie  :

∫MuΔvreV+∫M⟨∇u,∇v⟩reV=∫∂MuNIEvreV~∫M(uΔv-vΔu)reV=∫∂M(uNIEv-vNIEu)reV~{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int _ {M} u \, \ Delta v \, \ mathrm {d} V + \ int _ {M} \ langle \ nabla u, \ nabla v \ rangle \, \ mathrm {d} V & = \ int _ {\ częściowe M} uNv \, \ mathrm {d} {\ widetilde {V}} \\\ int _ {M} \ left (u \, \ Delta vv \, \ Delta u \ right) \, \ mathrm {d} V & = \ int _ {\ Partial M} (uNv-vNu) \, \ mathrm {d} {\ widetilde {V}} \ end {aligned}}}

gdzie u i v są gładkimi funkcjami o wartościach rzeczywistych na M , dV jest objętością związaną z metryką , odpowiada objętości na krawędzi M, a N jest polem wektorów normalnych. reV~{\ displaystyle d {\ widetilde {V}}}

Bibliografia

• (fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „  Green's identities  ” ( zobacz listę autorów ) .

1. (w) Walter Strauss, „Tożsamości Greena i funkcje Greena” w częściowych równań różniczkowych: wprowadzenie , Wiley ,2007( czytaj online )
2. (w) Tod Rowland, „  Tożsamości Greena  ” na MathWorld
3. (w) Eric W. Weisstein, „  L ^ 2-Inner Product  ” na MathWorld
4. (w) „  Green's Green's Functions and Identities  ” na Uniwersytecie Nauki i Technologii w Hongkongu
5. (en) Jean-François Arbor, „  Integracja przez części i formuła Greena to rozmaitości riemannowskie  ” na blogu Arbourja

Zobacz też

• Operator Laplace'a-Beltramiego
• Twierdzenie Malgrange'a-Ehrenpreisa
• Twierdzenie o wzajemności (elektrostatyczne)
• Twierdzenie całkowe Kirchhoffa

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">