Granica (topologia)

W topologii The granicy z zestawu (czasami nazywany „krawędź set”) składa się z punktów, które intuicyjnie są „znajdujący się na skraju” z tego zestawu, to znaczy, która może być „zbliżył” zarówno od wewnątrz jak i na zewnątrz tego zestawu.

Definicja

Niech S będzie podzbiór o topologii przestrzeni ( E , T ).

Możliwe jest zdefiniowanie granicy S (często oznaczanej ∂ S lub Fr S ) na kilka równoważnych sposobów:

• przyczepność z S pozbawiony z wnętrza na S  :∂S=SŻ∖S∘ ;{\ displaystyle \ częściowy S = {\ overline {S}} \ setminus {\ stackrel {\ circ} {S}} ~;}
• wszystkie punkty przylegające zarówno do S, jak i do jego komplementarności  :∂S=SŻ∩mi∖SŻ ;{\ displaystyle \ częściowy S = {\ overline {S}} \ cap {\ overline {E \ setminus S}} ~;}
• Zbiór wszystkich „punktów granicznych” o S , to jest pomiędzy punktami s z e z których każdy sąsiedztwa z p - lub po prostu wszystkie te z podstawy sąsiedztwie - zawiera co najmniej jeden punkt S i poza punkt S .

Nieruchomości

• Granica zbioru jest domknięta (według drugiej definicji jako przecięcie dwóch zamkniętych).
• Granica zbioru jest również granicą jego komplementarności (jeszcze według drugiej definicji, wykorzystującej inwolucję przejścia do komplementarności).
• Adhezja zbioru to spotkanie tego złożenia i jego granicy: S = S ∪ ∂ S . W szczególności zbiór jest zamknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swoją granicę.
• Wnętrze zestawu to ten zestaw pozbawiony swojej granicy. W szczególności zbiór jest zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy jest oddzielony od swojej granicy.
• Otwarte-zamknięte są w związku z tym te części, których krawędzie są puste .
• Granicą otwartego (lub zamkniętego) jest puste wnętrze. Rzeczywiście, jeśli S jest otwarte, ∂ S = S ∩ ( E \ S ) zatem int (∂ S ) ⊂ S ∩ int ( E \ S ) = ∅.
• Granica skończonego związku jest na ogół ściśle zawarta w zespole granic, ale jeśli A i B są rozłącznymi zrostami - lub ogólniej, jeśli A ∩ B = B ∩ A = ∅ - wtedy ∂ ( A ∪ B ) = ∂ ( A ) ∪ ( B ).

Przykłady

W zbiorze liczb rzeczywistych ze zwykłą topologią  :

• ∂]0,5[=∂[0,5[=∂]0,5]=∂[0,5]={0,5}{\ displaystyle \ częściowy \ lewy] 0.5 \ prawy [= \ częściowy \ lewy [0.5 \ prawy [= \ częściowy \ lewy] 0.5 \ prawy] = \ częściowy [0.5] = \ {0 , 5 \}} ;
• ∂∅=∅{\ displaystyle \ częściowy \ varnothing = \ varnothing} ;
• ∂Q=R{\ styl wyświetlania \ częściowy \ mathbb {Q} = \ mathbb {R}} ;
• ∂(Q∩[0,1])=[0,1]{\ displaystyle \ częściowy (\ mathbb {Q} \ cap [0,1]) = [0,1]}.

Ostatnie dwa przykłady pokazują, że granicą pustej części wewnętrznej jest jej przyczepność.

Granica granicy

Dla dowolnego zbioru S, ∂∂S jest zawarte w ∂S, równość jest weryfikowana wtedy i tylko wtedy, gdy ∂S jest pustym wnętrzem.

Granica zbioru jest domknięta, ∂∂∂S = ∂∂S dla dowolnego zbioru S. Operator graniczny spełnia zatem słabą formę idempotencji .

Uwaga

1. W szczególnym przypadku przestrzeni metrycznej , że kule z centrum P i ściśle dodatni promień tworzą podstawę dzielnicach p .