Funkcja zeta Hassego-Weila

W matematyce The funkcja zeta Hasse-Weil dołączony do algebraicznej odmiany V zdefiniowane przez zakresie liczb K jest jednym z dwóch najważniejszych rodzajów funkcji L . Takie funkcje L nazywane są „globalnymi”, definiuje się je jako produkty Eulera w odniesieniu do lokalnych funkcji zeta . Tworzą jedną z dwóch głównych klas globalnych funkcji L, drugą są funkcje L związane z reprezentacjami automorficznymi . Zgodnie z hipotezą, istnieje po prostu jeden zasadniczy typ globalnej funkcji L, z dwoma opisami (pochodzącymi z rozmaitości algebraicznej, pochodzących z reprezentacji automorficznej); byłoby to szerokie uogólnienie hipotezy Shimury-Taniyamy-Weila , która sama w sobie jest niedawnym i bardzo głębokim (w 2004 roku ) wynikiem teorii liczb .

Opis funkcji zeta Hassego-Weila jako iloczynu Eulera jest stosunkowo prosty, przynajmniej ze skończoną liczbą czynników. Wynika to z początkowych sugestii Helmuta Hasse i André Weila , motywowanych przypadkiem, w którym V jest punktem odosobnionym, oraz wynikami funkcji zeta Riemanna .

Biorąc pod uwagę przypadek, gdy K jest ℚ ciała liczb wymiernych i V rzutowe odmiana nie pojedynczej , możemy dla prawie wszystkich liczb pierwszych p rozważyć zmniejszenie V modulo p , algebraicznym odmiana V p na polu skończonej F p do p elementów, po prostu przez zmniejszenie równania V . Ponownie, dla prawie wszystkich p nie będzie to liczba pojedyncza. Definiujemy

{\ Displaystyle Z_ {V, Q} (s) \}

jako obszar serii Dirichlet z zmienny złożony e , która jest nieskończona produktów miejscowych funkcji zeta

{\ Displaystyle \ zeta _ {V, p} \ lewo (p ^ {- s} \ prawo) \,}

Wtedy , zgodnie z naszą definicją, jest dobrze zdefiniowany tylko do pomnożenia przez funkcje wymierne w skończonej liczbie . ${\ Displaystyle Z (s)}$ ${\ displaystyle p ^ {- s}}$

Ponieważ nieokreśloność jest stosunkowo nieszkodliwa i wszędzie ma swoje analityczne rozszerzenie , można zrozumieć fakt, że właściwości nie zależą od niej zasadniczo. W szczególności, przy dokładnej postaci równania funkcjonalnej dla , co znajduje odzwierciedlenie w linii pionowej w płaszczyźnie zespolonej, w zależności od czynników „brakujących”, samo istnienie takiego wzoru, nie zależy od tego. ${\ Displaystyle Z (s)}$ ${\ Displaystyle Z (s)}$

Bardziej wyrafinowana definicja stała się możliwa wraz z rozwojem kohomologii etalowej ; to dokładnie wyjaśnia, co zrobić z brakującymi czynnikami „złej redukcji”. Zgodnie z zasadami ogólnej teorii rozgałęzienia , liczby pierwsze „złe” nieść dobre informacje (teoria sterownik (w) ). W teorii étale przejawiają się one w kryterium Ogga-Nero-Shafarevicha dla dobrej redukcji ; to znaczy, istnieje dobra redukcja, w pewnym sensie, wszystkich liczb pierwszych p, dla których reprezentacja Galois ρ w étale grup kohomologicznych V jest nierozgałęziona. Dla tych, definicja lokalnej funkcji zeta może być wyrażona w charakterystycznym wielomianu o

{\ Displaystyle \ rho (Frob (p)) \,}

${\ displaystyle Frob (p)}$ będąc elementem Frobeniusa do s . To, co dzieje się z rozgałęzionym p, polega na tym, że ρ jest nietrywialne w grupie bezwładności dla p . W tych liczbach pierwszych definicję należy „skorygować”, biorąc największy iloraz reprezentacji ρ, na której działa grupa bezwładności, z trywialnej reprezentacji . Dzięki tej dystynkcji, definicja może być wzmocniona przez „prawie wszystkich” p do wszystkich p uczestniczących w produkcie Eulera. Konsekwencje dla równania funkcjonalnego ustalili Jean-Pierre Serre i Pierre Deligne pod koniec lat sześćdziesiątych; samo równanie funkcjonalne nie zostało ogólnie udowodnione. ${\ Displaystyle I (p)}$ ${\ Displaystyle Z (s)}$

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Hasse - Weil zeta function ” ( zobacz listę autorów ) .
J.-P. Serre , Lokalne czynniki funkcji zeta odmian algebraicznych (definicje i przypuszczenia) , 1969/1970, Sém. Delange-Pisot-Poitou, wystawa 19