Lokalna funkcja zeta

W matematyce i teorii liczb , wykorzystując lokalne zeta-funkcja jest funkcją tworzącą na liczbę rozwiązań układu równań określonych przez skończonego pola F w rozszerzenie ciała z F . Z(t){\ Displaystyle Z (t)} fak{\ displaystyle F_ {k}}

Analogia z funkcją zeta Riemanna ζ pochodzi z rozważenia pochodnej logarytmicznej . ζ′/ζ{\ Displaystyle \ zeta '/ \ zeta}

Biorąc pod uwagę F , istnieje, poza izomorfizmem , jedno pole takie, że dla k = 1,2,… Biorąc pod uwagę zestaw równań wielomianowych - lub odmianę algebraiczną V - zdefiniowaną na F , możemy policzyć rozwiązania liczbowe w i utworzyć funkcję generatora fak{\ displaystyle F_ {k}}[fak:fa]=k{\ displaystyle [F_ {k}: F] = k} NIEk{\ displaystyle N_ {k}}fak{\ displaystyle F_ {k}}

sol(t)=NIE1t+NIE2t22+⋯{\ Displaystyle G (t) = N_ {1} t + N_ {2} {\ Frac {t ^ {2}} {2}} + \ dotsb}.

Prawidłową definicją dla Z ( t ) jest uczynienie log Z równym G, a zatem przyjęcie . Z=exp⁡(sol){\ displaystyle Z = \ exp (G)}

Musimy Z (0) = 1, ponieważ G (0) = 0, a Z ( t ) jest a priori formalne serii .

Przykłady

Załóżmy, że wszystkie są równe 1; dzieje się tak na przykład, jeśli zaczniemy od równania takiego jak X = 0, czyli geometrycznie przyjmiemy punkt dla V. Więc NIEk{\ Displaystyle N_ {k} \,}

sol(t)=-log⁡(1-t) {\ Displaystyle G (t) = - \ log (1-t) ~}

jest rozwinięciem logarytmu (dla | t | <1). W tym przypadku mamy

Z(t)=11-t{\ Displaystyle Z (t) = {\ Frac {1} {1-t}}}.

Aby uczynić coś bardziej interesujące lub V rzutowe linia na F . Jeśli F ma q elementów, to ma q + 1 punktów, w tym, jak trzeba, punkt w nieskończoności . Dlatego będziemy mieć

NIEk=qk+1{\ Displaystyle N_ {k} = q_ {k} +1 \,}

i

sol(t)=-log⁡(1-t)-log⁡(1-qt){\ Displaystyle G (t) = - \ log (1-t) - \ log (1-qt) \,},

dla | t | wystarczająco mały.

W tym przypadku mamy

Z(t)=1(1-t)(1-qt){\ Displaystyle Z (t) = {\ Frac {1} {(1-t) (1-qt)}} \,}.

Związek między definicjami G i Z można wyjaśnić na wiele sposobów. W praktyce, to sprawia Z funkcja wymierna z t , coś, co jest ciekawe, nawet jeśli V jest eliptyczna krzywa nad polem skończonych.

Są to funkcje Z, które są zaprojektowane do mnożenia się, aby uzyskać globalne funkcje zeta . Obejmują one różne pola skończone (na przykład cała rodzina pól Z / p . Z, gdy p przechodzi przez zbiór liczb pierwszych . W tej relacji zmienna t jest zastępowana przez , gdzie jest zmienną zespoloną tradycyjnie używaną w szeregu Dirichleta . p-s{\ displaystyle p ^ {- s}}s{\ displaystyle s}

To wyjaśnia również, dlaczego używamy pochodnej logarytmicznej w odniesieniu do . s{\ displaystyle s}

Przy takim układzie produkty Z w obu przypadkach wychodzą jako i . ζ(s){\ Displaystyle \ zeta (s)}ζ(s)ζ(s-1){\ Displaystyle \ zeta (s) \ zeta (s-1)}

Hipoteza Riemanna dla krzywych po ciałach skończonych

W przypadku krzywych rzutowych C nad F, które nie są jednostkowe , możemy to pokazać

Z(t)=P.(t)(1-t)(1-qt){\ Displaystyle Z (t) = {\ Frac {P (t)} {(1-t) (1-qt)}} \,},

z P ( t ) jest wielomianem stopnia 2 g , gdzie g jest rodzaju z C . Riemann hipoteza dla krzywych nad polami stanów skończonych, że korzenie P posiadają moduł q -1/2 , gdzie q = | F |.

Na przykład w przypadku krzywych eliptycznych istnieją dwa pierwiastki i łatwo jest wykazać, że ich iloczyn to q −1 . W Hasse twierdzenie ustali, że mają ten sam moduł, a to ma bezpośrednie konsekwencje dla liczby punktów.

Weil zademonstrował to w ogólnym przypadku około 1940 r. ( CRAS , kwiecień 1940 r.): Spędził dużo czasu w następnych latach, przygotowując odpowiednią geometrię algebraiczną . To doprowadziło go do ogólnych przypuszczeń Weila , ostatecznie zademonstrowanych pokolenie później.

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „  Lokalna funkcja zeta  ” ( zobacz listę autorów ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">