W teorii pomiaru , w mierzonej powierzchni , A nieznaczny zestaw jest zestaw zero środka lub część takiego zestawu. Definicja może zależeć od wybranej miary : dwa miary w tej samej mierzalnej przestrzeni, które mają takie same zbiory zerowej miary, są nazywane równoważnymi .
Na poziomie elementarnym można podejść do pojęcia nieistotnego zbioru dla określonej liczby przestrzeni (w tym prostej rzeczywistej) bez konieczności wprowadzania miary. Historycznie rzecz biorąc, pojęcie zbioru pomijalnego poprzedza pojęcie pomiaru.
Definicja - Pozwolić zmierzyć przestrzeń . Część z mówi się nieistotna , kiedy to pojemnik i zero środka.
Zestaw nieistotnych części mierzonej przestrzeni ma następujące właściwości:
A priori , pojęcie nieistotnej części wydaje się bardziej ogólne niż pojęcie zbioru zerowej miary, ponieważ dopuszcza zbiory niemierzalne. Jednak możliwe jest, aby zakończyć plemienia do plemienia w tym non-mierzalnych niewielkich zbiorów oraz o przedłużeniu środka do jednego środka na . Nazywa się to pełną miarą; dla pełnego pomiaru każdy nieistotny zbiór jest mierzalny, a więc zerowy.
W przestrzeniach miarą powszechnie używaną jest miara Lebesgue'a , jedyna miara, której proporcjonalność jest prawie niezmienna przez izometrie.
Policzalne zestawyW przypadku tej miary każdy singleton ma miarę zerową. Więc korzystając z trzecią właściwość wyżej podane, to łatwo zauważyć, że każdy skończony lub przeliczalny podzbiór z jest znikoma.
Tak więc, jeśli oznaczymy miarę Lebesgue'a na to .
Inne pomijalne zestawyIstnieje w części Borel - a nawet kompaktowy - pomiar zerowy Lebesgue'a, którzy mają moc kontinuum , to znaczy, że są równie silne , aby . Najbardziej klasycznym przykładem jest zespół Cantor . Inne to zestawy Besicovitch .
Zbiór pomijalny niekoniecznie jest borelijski (patrz artykuł „ Ukończenie miary ”), w tym : wystarczy wybrać nie-boreliańską część zbioru Cantora: są takie, na podstawie argumentów o liczności .
Granica z cubable części dnia jest znikoma.
Pojęcie znikomej całości pozwala w szczególności zdefiniować pojęcie „prawie wszędzie”. Rzeczywiście, jeśli jest to środek na mierzalnym przestrzeni , zdania w zależności od zmiennej jest powiedziane, aby mogło być prawdziwe - prawie wszędzie, jeśli istnieje zbiór mierzalny należącej do takich, że:
Mówi się, że właściwość jest prawdziwa prawie wszędzie, jeśli zbiór punktów, w których jest fałszywa, jest pomijalny. Tak więc funkcja będzie równa funkcji - prawie wszędzie, jeśli zestaw . W analizie funkcjonalnej , gdy ramy są dobrze zdefiniowane, będziemy implikować miarę i po prostu powiemy prawie wszędzie, co ponownie będzie zapisane jako skrócona pp. Na przykład Lebesgue wykazał, że rzeczywiste funkcje rzeczywistych zmiennych ograniczone do nietrywialnego rzeczywistego segmentu które są integrowalne Riemanna w tym segmencie to te, które są -pp ciągłe w tym segmencie.
W przypadku włączonej miary Lebesgue'a policzalny zbiór ma miarę zerową. To właśnie ten wynik pozwala stwierdzić, że wskaźnikowa funkcja wymiernych, które wiążą z nią 1 z rzeczywistością, jeśli rzeczywistość jest racjonalna, a 0, jeśli jest irracjonalna, prawie wszędzie wynosi zero.
Triadic zbiór Cantora jest przykładem podzbioru niezliczoną ale Lebesgue'a działania zerowego. Prawie wszystkie liczby rzeczywiste od 0 do 1 są poza zestawem Cantora.
Przykład:Jeśli jest funkcją mierzonej przestrzeni o wartościach dodatnich , takich, które są całkowalne w sensie Lebesgue'a , to:
wtedy i tylko wtedy, gdy - prawie wszędzie.W prawdopodobieństwem , na ogół wolą mówić o własności prawie na pewno prawdą , zamiast przy użyciu wyrażenia „true prawie wszędzie”. Właściwość jest prawie na pewno prawdziwa, gdy jest spełniona w zbiorze, którego prawdopodobieństwo jest równe 1. Prawdopodobieństwo jest miarą, a mierzalna przestrzeń ma prawdopodobieństwo 1, jest to rzeczywiście szczególny przypadek poprzedniej sytuacji. Podobnie mówi się, że właściwość jest prawie na pewno fałszywa, gdy jest spełniona w zbiorze, którego prawdopodobieństwo jest równe 0.
W przestrzeni probabilizowanej ( zbiorze , wyposażonym w plemię (lub σ-algebrę) i miarę tego plemienia, na przykład ), własność jest prawie na pewno prawdziwa, jeśli istnieje mierzalny zbiór należący do takiego, że:
Co jest równoznaczne z powiedzeniem tego przez własność prawdopodobieństw.
Podobnie, o zdarzeniu weryfikującym (zestawie mierzalnym) mówi się, że jest prawie pewne , prawie pewne , a nawet prawie pewne . Odwrotne zdarzenie takiego zdarzenia, mające zerowe prawdopodobieństwo, jest kwalifikowane jako prawie niemożliwe lub prawie niemożliwe .
W wyniku subaddytywności pomiarów,
Własność - każde skończone lub policzalne przecięcie prawie bezpiecznych zbiorów jest samo w sobie prawie bezpieczne .
Prawie pewna zbieżność , która jest rodzajem zbieżność według rozkładu , stanowi przykład nieruchomości prawie na pewno prawdziwe:
prawie na pewno zbiega się wtedy i tylko wtedy, gdy
Prawie pewna zbieżność implikuje inne właściwości zbieżności typowe dla teorii prawdopodobieństwa (zbieżność prawdopodobieństwa i zbieżność w prawie) i pojawia się w szczególności w stwierdzeniu silnego prawa wielkich liczb .
Zwrot „ prawie wszystko” występuje powszechnie w różnych dziedzinach matematyki . Może mieć znaczenie probabilistyczne , topologiczne lub określone ; generalnie kontekst określa to znaczenie.
Jeśli podzbiór punktów zbioru nieskończonego nie spełnia predykatu , to mówimy, że pafois jest spełniony dla prawie każdego elementu, jeśli kardynał z jest ściśle mniejszy niż kardynał z . Na przykład:
Kiedy jest niezliczona, jej istotnych części jak zdefiniowano powyżej są częściami -négligeables do pomiaru ad hoc ` na wszystkich częściach .
Jeśli jest to policzalne, powyższa definicja „prawie wszystkich” wykracza poza zakres określony we wstępie.
Istnieje również inny pogląd: część z mówi się asymptotycznie gęsty , jeżeli:
.Na przykład prawie wszystkie liczby naturalne nie są liczbami pierwszymi . Rzeczywiście, gęstość liczb pierwszych mniejszych od liczby całkowitej jest równoważna kiedy dąży do nieskończoności ( twierdzenie o liczbach pierwszych ).
W przestrzeni Baire'a prawie wszystkie punkty spełniają właściwość, gdy zbiór punktów ją spełniających zawiera policzalne przecięcie gęstych otworów . Z definicji takiej przestrzeni wynika, że przecięcie to jest gęste.
Pojęcie to nie ma żadnego związku z pojęciem „prawie wszystkich” w rozumieniu teorii pomiaru.
Przykłady właściwości sprawdzanych przez prawie wszystkie elementy: