Zbiór algebraiczny

W geometrii algebraicznej zbiór algebraiczny to zbiór rozwiązań układu równań wielomianowych z kilkoma zmiennymi. Są to punkty rozmaitości algebraicznej afinicznej lub rzutowej . Służą jako intuicyjne wsparcie dla geometrii algebraicznej.

Zbiory algebraiczne afiniczne

W tej sekcji będzie oznaczać algebraicznie zamknięte pole (na przykład ℂ), liczbę całkowitą większą lub równą jeden. Rozważamy afiniczną przestrzeń wymiaru na , czyli zbiorze (bez struktury algebraicznej). $k$ $nie$ $nie$ $k$ $k ^ n$

Definicja. Niech będzie częścią pierścienia wielomianów , nazywamy zbiorem algebraicznym związanym z S i oznaczamy następujący podzbiór : $S$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $Z (S)$ $k ^ n$

Z (S) = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in k ^ {n} \ mid \ forall f \ in S, \ f (x_ {1}, \ ldots, x_ { n}) = 0 \}

to znaczy miejsce unieważnienia wspólne dla wszystkich elementów . $S$

Przykłady :

W płaszczyźnie afinicznej miejscem anulowania wielomianu z dwoma niezerowymi zmiennymi jest afiniczny zbiór algebraiczny zwany krzywą płaską, a stopień wielomianu nazywany jest stopniem krzywej. Proste są algebraicznymi zbiorami stopnia 1, stożkami stopnia 2, sześciennymi stopniami 3 i tak dalej. $k ^ 2$
W przestrzeni afinicznej miejscem anulowania niezerowego wielomianu trzech zmiennych jest afiniczny zbiór algebraiczny, który jest powierzchnią algebraiczną . Podobnie jak w przypadku krzywych określamy stopień powierzchni, płaszczyzny mają stopień 1, kwadryki stopnia 2 itd. $k ^ {3}$
W przestrzeni afinicznej każdy skończony zbiór punktów jest zbiorem algebraicznym afinicznym.

Uwagi

Jeśli jest idealny z generowane przez S, a następnie . W szczególności, jak to Noetherian , są generowane przez pewną część . Wynika z tego . Innymi słowy, zbiór algebraiczny jest zawsze miejscem anulowania wspólnym dla elementów ideału, a także miejscem anulowania wspólnym dla skończonej liczby wielomianów. $ja$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $Z (I) = Z (S)$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $ja$ $S '$ $Z (S) = Z (S ')$
Biorąc pod uwagę zestaw algebraicznych , możemy powrócić do ideałów prosząc I (E) równa zbiór wielomianów znikających na E . Idealne I (E) jest wtedy radialne . Na przykład, dla k = ℂ, algebraiczną wszystkich zer X ² jest zredukowana do punktu 0, a idealnie I (X² = 0) jest równa jego rodników, to znaczy idealnej generowanego przez X . Niemniej jednak idealne generowane przez wielomian x ² rodników nie jest, ponieważ nie zawierają X . $E = Z (I) \ podzbiór k ^ {n}$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$
Elementy pierścienia ilorazowego są następnie identyfikowane z ograniczeniami do E map wielomianów od do k . Są one nazywane regularne funkcje o algebraicznych zadanej E . Zgodnie z lematem normalizacji Noether , funkcje regularne są również funkcjami algebraicznymi . $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / I (E)$ $k ^ n$
Ponieważ k jest algebraicznie zamknięte, Hilberta zerowy twierdzenie twierdzi, że funkcja I to bijection między zbiorami algebraicznymi i ideałów korzeniowych z . Dokładniej, jest to rodnik o J . Punkty algebraicznych zestaw E odpowiadają do ideałów maksymalnych o . $k ^ n$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $I (Z (J))$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / I (E)$
Mówi się, że zbiór algebraiczny E jest nieredukowalny, jeśli I (E) jest pierwszym ideałem.

Właściwości :

$Z (\ {0 \}) = k ^ {n}$ ,
$Z (\ {1 \})$ jest pusty;
$Z (I) \ miseczka Z (J) = Z (I \ czapka J)$ ;
Przecięcie rodziny algebraicznych zestawów jest równy , w którym jest wytwarzany przez idealny , to znaczy w sumie o . $Z (I _ {{\ lambda}})$ $Z (I)$ $ja$ $\ cup _ {{\ lambda}} I _ {{\ lambda}}$ $I _ {{\ lambda}}$

Rzutowe zbiory algebraiczne

Rzutowa geometria algebraiczna jest bardziej wygodną strukturą niż geometria afiniczna. Rzutowalność jest właściwością analogiczną do zwartości topologicznej. Twierdzenie Bézout jest prawdziwe tylko dla odmian rzutowych.

Rama. W tej części oznaczamy przestrzeń rzutową wymiaru n nad k , czyli zbiór , w którym jest relacja równoważności (relacja współliniowości) identyfikująca dwa punkty x i y wtedy i tylko wtedy, gdy x i y znajdują się na tej samej linii wektora. Przestrzeń rzutowa wymiaru n jest więc utożsamiana ze zbiorem linii wektorowych k- przestrzeni wektorowej o wymiarze n + 1. Klasa w punktu zauważyć . Są to jednorodne współrzędne punktu . ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $k ^ {{n + 1}} \ setminus \ {0 \} / R$ $R$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $(x_ {0}, \ ldots, x_ {n})$ $(x_ {0}: \ ldots: x_ {n})$ $x_ {i}$ $(x_ {0}: \ ldots: x_ {n})$

Definicja. Niech S będzie zbiorem jednorodnych wielomianów pierścienia . Nazywamy zbiorem algebraicznym (rzutowym) związanym z S i oznaczamy przez następujący podzbiór : $k [X_ {0}, \ dots, X_ {n}]$ $Z _ {+} (S)$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$

Z _ {+} (S) = \ {(x_ {0}: \ ldots: x_ {n}) \ in {\ mathbb P} ^ {n} (k) \ mid \ forall f \ in S, \ f (x_ {0}, \ dots, x_ {n}) = 0 \}.

Zauważ, że anulowanie wielomianu f w punkcie zależy tylko od klasy tego jednego modulo relacji, ponieważ f jest jednorodne. Całość jest więc dobrze zdefiniowana . Indeks + służy do odróżnienia zer homogenicznych od zer afinicznych. $(x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) \ neq 0$ $(x_ {0}: \ ldots: x_ {n})$ $R$ $Z _ {+} (S)$

Jeżeli ja jest jednorodny idealny z , jest wszystko związane z zestawem jednorodnych wielomianów I . $k [X_ {0}, \ dots, X_ {n}]$ $Z _ {+} (I)$ $Z _ {+}$

Przykład Niech będzie niezerowym, jednorodnym wielomianem z dwiema zmiennymi stopnia d . Rzutowy zestaw algebraiczny płaszczyzny rzutowej nazywany jest krzywą rzutową na płaszczyznę stopnia d . Wielomian (gdzie jest naturalną liczbą całkowitą) definiuje płaską krzywą rzutową, której punkty są jednorodnymi rozwiązaniami równania Fermata. $F (X_ {0}, X_ {1}, X_ {2})$ $Z _ {+} (F)$ $P ^ {2} (k)$ $X_ {0} ^ {n} + X_ {1} ^ {n} -X_ {2} ^ {n}$ $nie$

Uwaga.

Jeśli I jest (homogeniczny) idealnie od generowane przez S , a następnie . Ponieważ I jest generowane przez skończoną liczbę jednorodnych wielomianów, rzutowy zbiór algebraiczny zawsze można zdefiniować przez skończoną liczbę jednorodnych wielomianów. $k [X_ {0}, \ dots, X_ {n}]$ $Z _ {+} (I) = Z _ {+} (S)$
Podobnie jak w przypadku afinicznych zbiorów algebraicznych, istnieje rzutowe twierdzenie Hilberta zera, które ustanawia związek jeden do jednego między rzutowymi zbiorami algebraicznymi i homogenicznymi ideałami promieniowymi różniącymi się od ideału generowanego przez . Punkt w przestrzeni rzutowej odpowiada jednorodnemu ideałowi pierwszemu, maksymalnemu spośród ściśle w nim zawartych . Z punktem o jednorodnych współrzędnych łączymy ideał wygenerowany przez , dla i oraz j, mieszczący się w zakresie od 0 do n . ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $(X_ {0}, \ kropki, X_ {n})$ $X_ {0}, \ ldots, X_ {n}$ $(X_ {0}, \ kropki, X_ {n})$ $(x_ {0}: \ kropki: x_ {n})$ $x_ {i} X_ {j} -x_ {j} X_ {i}$

Właściwości :

$Z _ {+} (\ {0 \}) = {\ mathbb P} ^ {n} (k)$ ,
$Z _ {+} (\ {1 \})$ jest pusty;
$Z _ {+} (I) \ cup Z _ {+} (J) = Z _ {+} (I \ cap J)$ ;
Przecięcie rodziny rzutowych zbiorów algebraicznych jest równe , gdzie jest sumą ideałów (nadal jest jednorodne). $Z _ {+} (I _ {{\ lambda}})$ $Z _ {+} (I)$ $ja$ $I _ {{\ lambda}}$

Topologia Żariski

Przestrzeń afiniczna k n (odp. Rzutowa ) jest wyposażona w tzw. Topologię Zariskiego. Częściami zamkniętymi dla tej topologii są zbiory algebraiczne w k n (odp. Algebraiczne zbiory rzutowe w ). ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$

Przykład : topologia Zariskiego linii afinicznej k jest topologią ko-skończoną .

Topologia Zariskiego na zbiorze algebraicznym (czyli na zestawie algebraicznym rzutowym) jest z definicji topologią indukowaną przez topologię afiniczną (względnie projekcyjną), która ją zawiera. Topologia Żarskiego w przypadku afinicznym jest analogiczna do topologii Zariskiego w pierwszym widmie pierścienia .

Niezwykłe otwarte części przestrzeni afinicznej (odpowiednio rzutowej) są głównymi częściami otwartymi (odpowiednio ), to znaczy dopełnieniem (odpowiednio ). Ograniczenie zasady otwartej do zbioru algebraicznego nazywane jest głównym otwarciem zbioru algebraicznego. Główne otwory stanowią podstawę topologii . $D (f)$ $D _ {+} (f)$ $Z (\ {f \})$ $Z _ {+} (\ {f \})$

Otwarte podzestawu o afiniczne (odp. Rzutowe) algebraiczna zestaw nazywa quasi afiniczne (odp. Quasi rzutowa ).

Przestrzeń afiniczna jest quasi-rzutową ponieważ utożsamia się z otwartej z przez aplikację . Sprawdzamy, czy ta mapa wywołuje na swoim obrazie homeomorfizm przestrzeni afinicznej. Wynika z tego, że każdy quasi-afiniczny zbiór algebraiczny jest quasi-rzutowy. $k ^ n$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k) \ setminus Z _ {+} (X_ {0})$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ do (1: x_ {1}: \ ldots: x_ {n})$

Topologia Żariskiego jest pozornie dość uboga (niewiele otworów, dwa punkty na ogół nie są oddzielone rozłącznymi, otwartymi dzielnicami), ale wystarcza do wielu celów.

Relacje między afinicznymi zbiorami algebraicznymi a rzutowymi zbiorami algebraicznymi : Rzutowy zbiór algebraiczny Z jest skończonym połączeniem otworów (dla jego topologii Zariski), które są afinicznymi zbiorami algebraicznymi. Rzeczywiście, Z jest definiowane przez anulowanie jednorodnych wielomianów z n + 1 zmiennymi. Oznaczmy zbiór takich, które nie są zerem. Więc jest otwarty ; pokrywy ; okaże się, że jest to zbiór algebraiczny afiniczny. W przypadku , a jeśli jest to zbiór wielomianów gdy jednorodne wielomiany są wykonywane w , to możemy łatwo zobaczyć, że jest to zbiór algebraiczny w . $Z_ {i}$ $(x_ {0}: ...: x_ {n}) \ in Z$ $x_ {i}$ $Z_ {i} = Z \ setminus (Z \ cap Z _ {+} (x_ {i}))$ $Z$ $Z_ {i}$ $Z$ $Z_ {i}$ $Z = Z _ {+} (S)$ $Tak}$ $F (x_ {0}, ..., x _ {{i-1}}, 1, x _ {{i + 1}}, ..., x_ {n})$ $fa$ $S$ $Z_ {i}$ $Z (S_ {i})$ $k ^ n$

Obudowa dowolnego podstawowego korpusu

Jeśli pole podstawowe k nie jest algebraicznie zamknięte, zbiór algebraiczny nad k jest zbiorem algebraicznym z domknięciem algebraicznym k od k , określonym przez wielomiany o współczynnikach w k . Na przykład zbiór par (a, b) ∊ ℚ 2 taki, że a 2 + b 3 –1 = 0 jest zbiorem algebraicznym nad ℚ. Z drugiej strony relacja a 2 + b 3 - √ 2 = 0 nie definiuje, jak jest, zbioru algebraicznego na ℚ.

Uwagi i odniesienia

(in) „Affine algebraic set” w Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , czytaj online )

(en) Robin Hartshorne , Algebraic Geometry [ szczegóły wydań ], rozdz. ja
Daniel Perrin , Geometria algebraiczna. Wprowadzenie [ szczegóły wydań ]

Powiązany artykuł

Płaszczyzna rzeczywista krzywa algebraiczna