Hipoteza Elliotta-Halberstama

W numerze teorii The Elliott-Halberstam hipoteza dotyczy rozkładu liczb pierwszych w ciąg arytmetyczny . Ma wiele zastosowań w teorii ekranu . Został nazwany na cześć Petera Elliotta DTA  (w) i Heiniego Halberstama .

Notacje

Stwierdzenie przypuszczenia wymaga pewnych notacji. Zwykle oznaczają przez Õ ( x ) w szereg liczb pierwszych mniej niż lub równa x . Jeśli q jest ściśle dodatnia i jest zagruntować q oznaczają o gatunku ( X , Q , ) liczba liczb pierwszych mniejszą lub równą x , które są przystające do a modulo q . Zgodnie z arytmetycznym twierdzeniem o postępie , gdy a jest liczbą pierwszą z q , mamy:

Następnie definiujemy funkcję błędu

gdzie całkowite przejmuje wszystkie a bodźce z q .

Stany

Hipoteza Elliotta-Halberstama to twierdzenie, że dla wszystkich 0 <θ <1 i wszystkich A > 0 istnieje stała C , taka że dla wszystkich x  ≥ 2:

Hipoteza Elliotta Haltberstama dotycząca wartości θ jest oznaczona jako EH [θ].

Zaliczki

Dla przypadku granicznego θ = 1 wiemy, że to twierdzenie EH [1] jest fałszywe.

Dla θ < 1 ⁄ 2 hipoteza EH [θ] została zademonstrowana w latach 60. XX wieku przez Enrico Bombieriego i Askolda Iwanowicza Winogradowa  : jest to twierdzenie Bombieriego-Vinogradowa  ; wynik ten jest już całkiem przydatny, będąc uśrednioną formą uogólnionej hipotezy Riemanna .

Konsekwencje przypuszczenia

Hipoteza Elliotta-Halberstama miałaby, gdyby została udowodniona dla θ <1, kilka uderzających konsekwencji. Jednym z nich jest wynik Daniela Goldstona , Jánosa Pintza i Cema Yıldırıma , z którego wynika, że ​​istniałaby wówczas nieskończona liczba par liczb pierwszych różniących się maksymalnie o 16. Maynard pokazał wGrudzień 2013że przy tym samym założeniu istniałaby wtedy nieskończona liczba par liczb pierwszych różniących się co najwyżej 12. W 2014 roku projekt Polymath wykazał, że zakładając uogólnioną wersję EH [θ], dla 0 <θ <1, różnica mogłaby zostać zredukowana do 6.

Uwagi i odniesienia

Uwagi

  1. Warianty sita Selberga i ograniczone przedziały zawierające wiele liczb pierwszych , streszczenie.
  2. (w) Enrico Bombieri , „  Na szerokim sicie  ” , Mathematika , vol.  12,1965, s.  201–225 ( DOI  10.1112 / s0025579300005313 , Recenzje matematyczne  0197425 )
  3. (w) DA Goldston, J. Pintz i CY Yıldırım Premiums in Tuples I , sierpień 2005. "  math.NT / 0508185  " , tekst dostępny bezpłatnie na arXiv .
  4. (w) DA Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz i CY Yıldırım Istnieją małe luki entre składki , Proceedings of the Japan Academy Series A 82 (2006), 61-65. Wersja z maja 2005 dostępna na arXiv : math.NT / 0505300 (en)
  5. (w) DA Goldston, SW Graham J. Pintz i CY Yıldırım Małe luki w składkach na złoto Prawie premie , czerwiec 2005. „  math.NT / 0506067  ” , tekst dostępny bezpłatnie na arXiv .

Bibliografia

Zobacz też