W numerze teorii The Elliott-Halberstam hipoteza dotyczy rozkładu liczb pierwszych w ciąg arytmetyczny . Ma wiele zastosowań w teorii ekranu . Został nazwany na cześć Petera Elliotta DTA (w) i Heiniego Halberstama .
Stwierdzenie przypuszczenia wymaga pewnych notacji. Zwykle oznaczają przez Õ ( x ) w szereg liczb pierwszych mniej niż lub równa x . Jeśli q jest ściśle dodatnia i jest zagruntować q oznaczają o gatunku ( X , Q , ) liczba liczb pierwszych mniejszą lub równą x , które są przystające do a modulo q . Zgodnie z arytmetycznym twierdzeniem o postępie , gdy a jest liczbą pierwszą z q , mamy:
Następnie definiujemy funkcję błędu
gdzie całkowite przejmuje wszystkie a bodźce z q .
Hipoteza Elliotta-Halberstama to twierdzenie, że dla wszystkich 0 <θ <1 i wszystkich A > 0 istnieje stała C , taka że dla wszystkich x ≥ 2:
Hipoteza Elliotta Haltberstama dotycząca wartości θ jest oznaczona jako EH [θ].
Dla przypadku granicznego θ = 1 wiemy, że to twierdzenie EH [1] jest fałszywe.
Dla θ < 1 ⁄ 2 hipoteza EH [θ] została zademonstrowana w latach 60. XX wieku przez Enrico Bombieriego i Askolda Iwanowicza Winogradowa : jest to twierdzenie Bombieriego-Vinogradowa ; wynik ten jest już całkiem przydatny, będąc uśrednioną formą uogólnionej hipotezy Riemanna .
Hipoteza Elliotta-Halberstama miałaby, gdyby została udowodniona dla θ <1, kilka uderzających konsekwencji. Jednym z nich jest wynik Daniela Goldstona , Jánosa Pintza i Cema Yıldırıma , z którego wynika, że istniałaby wówczas nieskończona liczba par liczb pierwszych różniących się maksymalnie o 16. Maynard pokazał wGrudzień 2013że przy tym samym założeniu istniałaby wtedy nieskończona liczba par liczb pierwszych różniących się co najwyżej 12. W 2014 roku projekt Polymath wykazał, że zakładając uogólnioną wersję EH [θ], dla 0 <θ <1, różnica mogłaby zostać zredukowana do 6.