W matematyce , o magiczny kwadrat z rzędu n składa się z n 2 ściśle dodatnich liczb całkowitych , napisany w formie kwadratowej tablicy. Liczby te są ułożone tak, aby ich sumy w każdym rzędzie, w każdej kolumnie i na każdej większej przekątnej były równe. Wartość tych sum nazywa się wtedy magiczną stałą (a czasami gęstością ).
Normalne magiczne kwadrat jest szczególnym przypadku kwadratu magicznym, tworzą wszystkie liczby całkowite od 1 do n 2 , gdzie n jest rzędem kwadratu.
Magiczne kwadraty znane były chińskim matematykom od 650 p.n.e. AD , i arabskich matematyków, prawdopodobnie około VII th wieku, kiedy armie arabskie podbił zachód od Indii , nauka indyjskich matematyków, które zawierały pewne aspekty kombinatoryki . Pierwsze magiczne kwadraty rozkazów 5 i 6 pojawiły się w encyklopedii wydanej w Bagdadzie około 983 roku, Encyklopedii Bractwa Czystości ( Rasa'il Ikhwan al-Safa ). Prostsze magiczne kwadraty były znane kilku wcześniejszym arabskim matematykom. Niektóre z tych kwadratów były używane w połączeniu z „magicznymi literami” przez arabskich iluzjonistów i magików.
W Arabowie byłby pierwszym w X XX wieku do wykorzystania dla celów czysto matematycznych. Ahmad al-Buni około 1250 roku przypisuje im magiczne właściwości.
W Chinach były reprezentowane przez różne symbole (jak np. w przypadku kwadratu Xi'an), następnie symbolizowane przez liczby w Indiach, gdzie wynaleziono cyfry arabskie . Można je znaleźć w wielu cywilizacjach Azji i Europy z generalnie konotacją religijną.
W 1510 r. niemiecki filozof Korneliusz Agryppa (1486-1535) znów mówił o magicznych kwadratach, zawsze z konotacją religijną, napisał traktat De Occulta Philosophia, w którym przedstawił teorię łączącą astrologię i magiczne kwadraty. Opierając się na pismach Marsile Ficino i Jean Pic de la Mirandole , wyjaśnia właściwości siedmiu magicznych kwadratów rzędu 3 do 9, z których każdy jest powiązany z jedną z planet astrologicznych . Ta praca miała wyraźny wpływ w Europie aż do kontrreformacji . Jérôme Cardan ( Practica arithmetica et mensurandi singulari , 1539), a następnie Athanasius Kircher ( Oedipus Ægyptiacus , 1653) stosują tę samą analogię między arytmetyką a kosmicznym porządkiem planet. Magiczne kwadraty Agryppy są nadal używane we współczesnych magicznych ceremoniach, tak jak zalecił.
Simon de La Loubère , francuski dyplomata i matematyk, opublikowany w 1691 Z Królestwa Syjamu . Wprowadza ona po raz pierwszy w języku francuskim termin "magiczny kwadrat" i ujawnia nową metodę konstrukcji, znaną jako "metoda syjamska", pozwalająca na konstruowanie kwadratów o dowolnym nieparzystym porządku.
W XVII th century, francuski prawnik i matematyk Pierre de Fermat rozszerza zasadę magiczny kwadrat magicznych kostek . Bernard Frénicle de Bessy napisał traktat o magicznych kwadratach (napisany w latach 40. XVII wieku, ale opublikowany pośmiertnie w 1693 r.) oraz o tablicach dla wszystkich kwadratów rzędu 4.
Istnieją magiczne układy dla każdego kwadratu rzędu n ≥ 1. Kwadrat rzędu 1 jest trywialny, każda liczba wskazana w pojedynczym polu spełnia zasady. Kwadrat drugiego rzędu jest również trywialny, ponieważ jest możliwy tylko przez powtórzenie tej samej liczby we wszystkich czterech polach. Najmniejszy nietrywialny przypadek to kwadrat rzędu 3.
Każdy magiczny kwadrat rzędu 3 jest zapisany jako suma macierzy krążącej i macierzy antykrążącej . Ten rozkład nie jest wyjątkowy i nie zachodzi już w wyższych wymiarach.
Magiczna stała normalnego magicznego kwadratu zależy tylko od n i jest równa: n ( n 2 + 1) / 2. W funkcji rzędu n = 3, 4, 5, 6, 7, 8… jest to: 15, 34, 65, 111, 175, 260…. Z wyłączeniem rotacji i odbić, liczba normalnych magicznych kwadratów dla wymiarów od 1 do 5 jest podawana w następujący sposób: 1, 0, 1, 880, 275 305 224. Liczba magicznych kwadratów dla wyższych wymiarów była nieznana w 1999 roku i prawdopodobnie nadal jest w 2016 r. Dla informacji Pinn i Wieczerkowski w 2004 r. szacują, że dla magicznego kwadratu rzędu 6 liczba ta wynosi około 0,17 × 10 20 , czyli ponad 10 miliardów miliardów .
Jeśli połączymy liczby pewnych magicznych kwadratów w porządku rosnącym, otrzymamy figurę, która przedstawia centralną symetrię (patrz ilustracja obok). Ta właściwość jest fałszywa w ogólnym przypadku.
Sumy dwóch magicznych kwadratów tego samego rzędu również dają magiczne kwadraty, ale wynik nie jest normalny, tj. liczby nie tworzą ciągu 1, 2, 3 ... Również różnica dwóch magicznych kwadratów tego samego rozkaz również daje magiczny kwadrat, ale to nie jest normalne.
"Iloczyn" dwóch magicznych kwadratów tworzy magiczny kwadrat porządku wyższy niż dwie wielokrotności. Ten produkt jest również gotowy. Niech magiczne kwadraty M i N będą:
Mnożenie magicznych kwadratów umożliwia generowanie magicznych kwadratów o większych rozmiarach. Ta technika tworzy duże kwadraty szybciej niż budowanie przy użyciu dowolnej z metod bezpośrednich (na przykład tych z La Loubère lub Strachey).
W 1976 roku Benson i Jacoby opublikowali metodę, która ma zastosowanie zarówno do parzystych, jak i nieparzystych kwadratów magicznych. Jest jednak trudniejszy do zastosowania niż inne „specjalistyczne” metody. Z tego powodu nie zostanie to wyjaśnione w tym artykule.
Istnieje kilka bezpośrednich metod konstruowania kwadratów nieparzystego i parzystego rzędu. Wśród pośrednich metod budowy są co najmniej trzy. Jednym z nich jest mnożenie magicznych kwadratów (patrz rozdział Operacje ). Jeśli magiczny kwadrat jest już skonstruowany, możliwe jest wyprowadzenie innych przez permutacje jego kolumn i wierszy. Wreszcie możliwe jest stworzenie takiego, „granicząc” z już skonstruowanym magicznym kwadratem: jest to magiczny kwadrat z ogrodzeniem.
W XIX -tego wieku, Edward Lucas znalazł formuły magiczne kwadraty porządku 3. a , b i c z liczb :
c + a | taksówka | c + b |
c - a + b | vs | c + a - b |
c - b | c + a + b | że |
Te 9 liczb będzie pełnych i odrębnych tworząc magiczny kwadrat, jeśli 0 < a < b < c - a i b ≠ 2 a . Ponadto każdy kwadrat 3 × 3 odrębnych liczb całkowitych dodatnich ma tę postać. Normalny porządek magicznego kwadratu równy 3 odpowiada a = 1, b = 3, c = 5. Kuberakolam (en) (dawny indyjski kwadrat magiczny ) następuje poprzez dodanie 19 w każdym przypadku odpowiada a = 1 , b = 3, c = 24.
Metoda krenelażowej szachownicyTa metoda konstrukcji została opublikowana w 1612 roku przez Claude-Gasparda Bachet de Méziriac w Przyjemnych i pysznych zadaniach, które są wykonywane liczbami . Oparta jest na krenelażowej szachownicy.
Na przykład dla magicznego kwadratu boku 5:
metoda syjamskaMetodę syjamską wprowadził do Francji Simon de La Loubère w 1688 roku, kiedy wracał ze swojej ambasady w Syjamie .
Metodę ujawnioną przez La Loubère można uogólnić. Załóżmy, że poruszamy się w płaszczyźnie kartezjańskiej . Na powyższym rysunku przejście po przekątnej w prawo i w górę jest równoznaczne z wykonaniem translacji (1, 1). Gdy dochodzi do kolizji, czyli zajęty jest następny kwadrat, następuje translacja (0, –1). Philippe de La Hire ustalił warunki, dla których kwadrat porządku N jest magiczny. Współrzędne wektora „przemieszczenia” (C, L) i wektora „kolizji” (C + c, L + l) muszą spełniać następujące warunki:
Co więcej, tak skonstruowany kwadrat jest diaboliczny, jeśli:
Na przykład metoda konstrukcji zaproponowana przez bizantyjczyka Manuela Moschopoulosa , zwana „kursem skoczka szachowego ” , jest reprezentowana przez wektor przemieszczenia (1, 2) oraz wektor zderzenia (1 + 1, 2 - 2) = (2, 0) .
Metoda rombowaLiczby nieparzyste są wpisane tak, aby w „środku” kwadratu ułożyć diament , stąd nazwa metody opublikowanej przez Johna Hortona Conwaya .
Metoda obliczeniowaNiech macierz będzie
Niech się transponuje!
To znaczy
To znaczy
Więc magiczny kwadrat
Albo dla każdego elementu macierzy :
Niech indeksy i wahają się od do , więc
Tworzenie magicznych kwadratów parzystej kolejności jest trudniejsze. Niektóre metody pozwalają zbudować:
Według Gérardina metoda Stracheya jest najbardziej ogólna. Z drugiej strony opiera się na już skonstruowanych magicznych kwadratach i nie może być wykorzystana do budowy magicznych kwadratów rzędu 4. Ponadto metoda Benjamina Franklina tworzy magiczne kwadraty o wielu właściwościach. Z tych powodów w tej sekcji zostanie przedstawionych kilka metod. Razem umożliwiają zbudowanie dowolnego kwadratu o równym porządku.
Metoda permutacji wokół przekątnychTa metoda służy do konstruowania kwadratów o podwójnej parzystej kolejności (4, 8, 12 ...). Opiera się na spostrzeżeniu, że te kwadraty „można łatwo przeciąć i ponownie przeciąć o połowę” , mają zatem „geometryczne właściwości symetrii” :
Metoda ta, pierwotnie opublikowana przez Ralpha Stracheya, a następnie przedstawiona w "eleganckiej formie" przez Williama H. Bensona i Oswalda Jacoby'ego, pozwala na skonstruowanie magicznych kwadratów parzystego porządku, ale nie pozwala na skonstruowanie wszystkich kwadratów porządku. Jednak liczba tak skonstruowanych magicznych kwadratów jest bardzo duża. Na przykład liczba magicznych kwadratów rzędu 5 wynosi 275 305 224, a metoda Stracheya pozwala stworzyć co najmniej jeden magiczny kwadrat rzędu 10 z każdego z tych magicznych kwadratów.
Ponieważ końcowa szachownica jest równej kolejności, zawsze jest podzielna na cztery podrzędne szachownice, które nazywamy A, B, A 'i B'. Niech N będzie porządkiem magicznego kwadratu.
Jeśli N jest pojedynczą parąZgodnie z konwencją, obracanie lub odbijanie magicznego kwadratu nie tworzy nowego kwadratu. Z drugiej strony, „zamieniając dwie kolumny i dwa rzędy (symetrycznie względem środka) kwadratu magicznego, otrzymujemy nowy kwadrat magiczny, kuzyna na sposób kwadratu początkowego” . Ta metoda permutacji kolumn i wierszy jest poprawna zarówno dla kwadratów parzystych, jak i nieparzystych.
Otaczając nienormalny magiczny kwadrat ogrodzeniem, to znaczy rzędem kwadratów, można stworzyć normalny magiczny kwadrat . Ta metoda jest zasługą Frénicle'a . Dla wyjaśnienia będziemy pracować z dwoma magicznymi kwadratami o określonej wielkości, ale metoda jest stosunkowo łatwa do uogólnienia:
Aby skonstruować magiczny kwadrat rzędu n>2, proponowana metoda jest odpowiednia dla kwadratów rzędu parzystych, jak i nieparzystych. Polega na zbudowaniu trzech liniowo niezależnych magicznych kwadratów A , B i C , tego samego rzędu. Konstrukcja kwadratu zależy od tego, czy rząd jest nieparzysty, parzysty wielokrotność 4 lub nawet nie wielokrotność 4. Kwadrat B jest nadal obrotem -90° kwadrat A . Kwadrat C to trywialny kwadrat, który zawiera liczbę całkowitą 1 we wszystkich swoich polach.
Wynikowy magiczny kwadrat ma wtedy postać t A + r B + a C gdzie t , r i a są liczbami rzeczywistymi. Taki kwadrat jest arytmetyczny i dla nieparzystej lub parzystej wielokrotności 4 jest łączny.
16 | 3 | 2 | 13 |
5 | 10 | 11 | 8 |
9 | 6 | 7 | 12 |
4 | 15 | 14 | 1 |
Ten magiczny kwadrat był znany niemieckiemu malarzowi Albrechtowi Dürerowi , który umieścił go w swojej rycinie Melencolia . Jest ona łączona w taki sposób, że wzięta poziomo, pionowo lub ukośnie suma branych pod uwagę liczb wynosi 34, podobnie jak suma czterech liczb znajdujących się w czterech środkowych polach lub w czterech narożnych polach. Istnieje bardzo wiele możliwości znalezienia w kwadracie Dürera liczby 34. Więc weź cztery rogi, spróbuj ponownie, biorąc każde pudełko bezpośrednio za rogiem w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Znalezienie ich wszystkich zajmuje trochę czasu. Dürerowi udało się również umieścić w dwóch centralnych polach dolnego rzędu datę (1514) swojej pracy.
Fasada pasyjna bazyliki Sagrada Familia w Barcelonie przedstawia magiczny kwadrat porządku 4 wyrzeźbiony przez Josepa Marię Subirachsa . Magiczna stała to 33, wiek Chrystusa w chwili jego śmierci. Kwadrat jest podobny do kwadratu Dürera, z wyjątkiem czterech komórek, w których liczba jest zmniejszona o 1.
1 | 14 | 14 | 4 |
11 | 7 | 6 | 9 |
8 | 10 | 10 | 5 |
13 | 2 | 3 | 15 |
Jednak nie jest to zgodne ze zwykłymi regułami magicznego kwadratu, z dwoma liczbami (10 i 14) użytymi dwukrotnie i dwoma innymi liczbami (12 i 16), których brakuje.
17 | 24 | 1 | 8 | 15 |
23 | 5 | 7 | 14 | 16 |
4 | 6 | 13 | 20 | 22 |
10 | 12 | 19 | 21 | 3 |
11 | 18 | 25 | 2 | 9 |
Ten magiczny kwadrat jest „półdiaboliczny”, ponieważ suma 65 znajduje się na wszystkich złamanych przekątnych od lewej do prawej. Przykład: 15 + 23 + 6 + 19 + 2 = 65. Jeśli złamane przekątne biegnące od prawej do lewej mają taką samą sumę magiczną, kwadrat zostanie uznany za „diabelski”. Jest też wiele.
6 | 32 | 3 | 34 | 35 | 1 |
7 | 11 | 27 | 28 | 8 | 30 |
19 | 14 | 16 | 15 | 23 | 24 |
18 | 20 | 22 | 21 | 17 | 13 |
25 | 29 | 10 | 9 | 26 | 12 |
36 | 5 | 33 | 4 | 2 | 31 |
Zamówienie 6 jest najmniejszym, dziwnie równym zamówieniem, dla którego istnieją magiczne kwadraty. Przedstawiony powyżej kwadrat „Słońca” jest takim magicznym kwadratem: pojawił się w szczególności (z błędem) na medalu ofiarowanym Ludwikowi XIV przez księcia Aumont . W tym kwadracie, każda z dwóch przekątnych postępuje arytmetycznie, z kroków 5 dla jednej (sekwencja od 6 do 31) i 7 dla drugiej (sekwencja od 1 do 36). W 2020 roku Roland Coquard zaproponował metodę pozwalającą na skonstruowanie normalnych magicznych kwadratów dla dowolnego nieparzystego rzędu (innego niż 2), która zwraca kwadrat Słońca dla rzędu 6. Zauważ, że w kwadracie Słońca, jak dla wszystkich normalnych magiczne kwadraty rzędu 6, suma wszystkich liczb wynosi 1 + 2 +… + 36 = 666 .
52 | 61 | 4 | 13 | 20 | 29 | 36 | 45 |
14 | 3 | 62 | 51 | 46 | 35 | 30 | 19 |
53 | 60 | 5 | 12 | 21 | 28 | 37 | 44 |
11 | 6 | 59 | 54 | 43 | 38 | 27 | 22 |
55 | 58 | 7 | 10 | 23 | 26 | 39 | 42 |
9 | 8 | 57 | 56 | 41 | 40 | 25 | 24 |
50 | 63 | 2 | 15 | 18 | 31 | 34 | 47 |
16 | 1 | 64 | 49 | 48 | 33 | 32 | 17 |
Ten magiczny kwadrat rzędu 8 opublikowany przez Benjamina Franklina ma kilka właściwości. Suma kwadratów tego samego rzędu wynosi 260, a suma pierwszych czterech pól 130. Linia pod kątem 45° zaczynająca się od lewej kolumny i przecinająca pierwsze cztery kolumny, aby następnie zejść do kolumny po prawej stronie, znajdź osiem liczb, w sumie 260, ilość, którą można znaleźć przez dodanie liczb skrajnych pól i czterech środkowych pól. Suma liczb kwadracików 16 kwadracików zestawionych w całość figury wynosi 130; liczba ta jest znajdowana przez dodanie cyfr dowolnych czterech kwadratów równoodległych od środka. Możliwe jest również wykonanie magicznego kwadratu rzędu 8, przechodząc od kwadratu do kwadratu zgodnie z zasadami ruchu szachowego jeźdźca.
1 | 8 | 53 | 52 | 45 | 44 | 25 | 32 |
64 | 57 | 12 | 13 | 20 | 21 | 40 | 33 |
2 | 7 | 54 | 51 | 46 | 43 | 26 | 31 |
63 | 58 | 11 | 14 | 19 | 22 | 39 | 34 |
3 | 6 | 55 | 50 | 47 | 42 | 27 | 30 |
62 | 59 | 10 | 15 | 18 | 23 | 38 | 35 |
4 | 5 | 56 | 49 | 48 | 41 | 28 | 29 |
61 | 60 | 9 | 16 | 17 | 24 | 37 | 36 |
Ten magiczny kwadrat rzędu 8 opublikowany przez generała Cazalas jest kwadratem diabolicznym, ponieważ połamane przekątne dają charakterystyczną sumę: 260. Ponadto każdy podkwadrat dwóch z dwóch ma w sumie 130, co czyni go kwadratem „Hyper -magia".
60 | 6 | 11 | 53 | 44 | 22 | 27 | 37 |
13 | 51 | 62 | 4 | 29 | 35 | 46 | 20 |
54 | 12 | 5 | 59 | 38 | 28 | 21 | 43 |
3 | 61 | 52 | 14 | 19 | 45 | 36 | 30 |
58 | 8 | 9 | 55 | 42 | 24 | 25 | 39 |
15 | 49 | 64 | 2 | 31 | 33 | 48 | 18 |
56 | 10 | 7 | 57 | 40 | 26 | 23 | 41 |
1 | 63 | 50 | 16 | 17 | 47 | 34 | 32 |
Ten kwadrat panmagiczny ósmego rzędu, opublikowany przez Willema Barinka, przedstawia (prawie) wszystkie możliwe właściwości panmagiczne. Również 4 ćwiartki kwadratu to kwadraty panmagiczne. Przekątne częściowe i przekątne frankline (malejące po średnicach) mają łącznie 260: 18 + 25 + 45 + 38 + 59 + 52 + 8 + 15. Dodatkowo są tylko dwie sumy dla par kolejnych liczb. 66, 64) i pionowe linie (73, 57).
138 | 8 | 17 | 127 | 114 | 32 | 41 | 103 | 90 | 56 | 65 | 79 |
19 | 125 | 140 | 6 | 43 | 101 | 116 | 30 | 67 | 77 | 92 | 54 |
128 | 18 | 7 | 137 | 104 | 42 | 31 | 113 | 80 | 66 | 55 | 89 |
5 | 139 | 126 | 20 | 29 | 115 | 102 | 44 | 53 | 91 | 78 | 68 |
136 | 10 | 15 | 129 | 112 | 34 | 39 | 105 | 88 | 58 | 63 | 81 |
21 | 123 | 142 | 4 | 45 | 99 | 118 | 28 | 69 | 75 | 94 | 52 |
130 | 16 | 9 | 135 | 106 | 40 | 33 | 111 | 82 | 64 | 57 | 87 |
3 | 141 | 124 | 22 | 27 | 117 | 100 | 46 | 51 | 93 | 76 | 70 |
134 | 12 | 13 | 131 | 110 | 36 | 37 | 107 | 86 | 60 | 61 | 83 |
23 | 121 | 144 | 2 | 47 | 97 | 120 | 26 | 71 | 73 | 96 | 50 |
132 | 14 | 11 | 133 | 108 | 38 | 35 | 109 | 84 | 62 | 59 | 85 |
1 | 143 | 122 | 24 | 25 | 119 | 98 | 48 | 49 | 95 | 74 | 72 |
Ten kwadrat panmagiczny dwunastego rzędu opublikowany przez Willema Barinka (stała 870) zawiera prawie wszystkie możliwe właściwości panmagiczne, z wyjątkiem przekątnych frankline . Kwadrat składa się z 9 4 × 4 kwadratów panmagicznych. Zaczynając od nieparzystej komórki z rzędu, suma 4 kolejnych liczb wynosi 290 (= 1/3 całkowitej sumy rzędu). W zależności od ułożenia cyfr 1, 2, 3, 4 ... 144, symetryczna figura ma identyczny kształt jak kwadrat panmagiczny 8 × 8 powyżej. Zgodnie z tą symetrią możemy zbudować wszystkie kwadraty rzędu 4k.
2087 | 2633 | 2 803 | 2 753 | 3 389 |
2843 | 2729 | 3 347 | 2099 | 2647 |
3 359 | 2113 | 2687 | 2819 | 2687 |
2663 | 2,777 | 2699 | 3 373 | 2 153 |
2713 | 3 413 | 2 129 | 2621 | 2789 |
Magiczne kwadraty mogą również składać się w całości z liczb pierwszych jak w powyższym przykładzie, co również jest kwadratem diabolicznym ze względu na to, że występuje tam wiele symetrii (m.in. pełne i luźne krzyżyki, ukośne i pionowe, a także poziome). i tłumaczenia pionowe wszystkich z nich). Magiczna stała to 13 665.
1 480 028 159 | 1 480 028 153 | 1 480 028 201 |
1 480 028 213 | 1 480 028 171 | 1 480 028 129 |
1 480 028 141 | 1 480 028 189 | 1 480 028 183 |
Przed 1988 rokiem często pytano, czy istnieje idealny kwadrat liczby pierwszej rzędu 3. To właśnie Harry L. Nelson znalazł pierwszy idealny kwadrat liczby pierwszej rzędu 3 w 1988 roku za pomocą komputera Cray (w 1988 znalazł w sumie 22). Nelson mógł nie postępować w sposób wyczerpujący w przeciwieństwie do polskiego Arkadiusza Wesołowskiego, który znalazł 27 w kwietniu 2015 r., w tym 22. Nelsona. Wesołowski znalazł więc 5 nowych.
Używając programu w MAPLE zbudowanego przez Claude'a St-Hilaire'a, Claude Bégin wyczerpująco znalazł 8 pierwszych idealnych kwadratów pierwszych rzędu 3. W ten sposób pokazał, że nie ma żadnego przed najmniejszym , co również pokazał Wesołowski.
Aby znaleźć nowe idealne kwadraty pierwsze, musisz spojrzeć poza 27. kwadrat na liście 27 doskonałych kwadratów pierwszych Wesołowskiego.
Od 20 kwietnia 2020 r. do 26 lipca 2020 r. Claude Bégin znalazł 23 nowe idealne kwadraty pierwsze rzędu 3. Zastosowana metoda nie jest wyczerpująca i polega na znalezieniu, za pomocą trzech generatorów p, wielu kwadratów pierwszych (co najmniej 541) 48 to perfekcyjne nowości, w tym 23 nowości od Bégin. Można je następnie odnotować (28) do (50), aby dodać je po 27 Wesołowskiego, od (1) do (27). W ten sposób mamy 50 doskonałych pierwszych kwadratów rzędu 3 znanych na dzień 27 lipca 2020 r.
Generator p jest prawie normalnym kwadratem pierwszym, tak że dodając tę samą liczbę całkowitą we wszystkich jego polach, otrzymujemy nowy kwadrat pierwszy. Oto idealne kwadraty pierwsze (28) i (41):
103 987 093 601 | 103 987 093 607 | 103 987 093 559 |
103 987 093 547 | 103 987 093 589 | 103 987 093 631 |
103 987 093 619 | 103 987 093 571 | 103 987 093 577 |
Uzyskanie kwadratu zajęło Bégin około 245 godzin na komputerze z systemem Windows 10 i aplikacji MATHEMATICA (41).
316 653 447 389 | 316 653 447 413 | 316 653 447 311 |
316 653 447 293 | 316 653 447 371 | 316 653 447 449 |
316 653 447 431 | 316 653 447 329 | 316 653 447 353 |
W mentalizmie niektórzy artyści budują podczas swojego show magiczne kwadraty. Widz myśli lub mówi liczbę, artysta w kilka sekund tworzy magiczny kwadrat.
Magiczne kwadraty znajdują zastosowanie w projektowaniu eksperymentów . Wiąże się to np. z przeprowadzeniem doświadczeń biologicznych na pięciu odmianach roślin poddanych aplikacji pięciu różnych nawozów. Na wzrost roślin wpływa również gleba o różnych właściwościach, w której rosną. Aby zminimalizować wpływ gruntu, przypadek musi interweniować tak bardzo, jak to możliwe. Magiczny kwadrat rzędu 5 znacznie ułatwia to wymaganie. Każda roślina otrzymuje numeryczny identyfikator od 0 do 4 ( p ), taki sam dla każdego nawozu ( e ). Każda para ( P , E ) jest przypisana do działki uprzednio podzielone na 5 x 5 = 25 poletek, według wzoru: 5 x p + e + 1 (na przykład do rośliny n o, 3 i nawozy n O 2 , mamy 5 × 3 + 2 + 1 = 18). Technikę tę można zastosować np. do opracowania rodziny nowych szczepionek .
W tej sekcji wymieniono różne definicje, które pozwalają lepiej zrozumieć objaśnienia artykułu:
1 | 24 | 3 | 25 | 12 |
16 | 7 | 21 | 6 | 15 |
23 | 14 | 18 | 8 | 2 |
5 | 9 | 10 | 22 | 19 |
20 | 11 | 13 | 4 | 17 |