Podstawowe równania mechaniki kontinuum

Do podstawowych równań mechaniki ciągłym średni pogrupowanie najczęściej stosowane Wyciągi matematyczne w ramach ciągłego mechaniki średnich , głównie stosowanych do odkształcenia części stałych i mechaniki płynów .

Pewne integralne wielkości fizyczne systemu

Ogólnie rzecz biorąc, badamy odkształcenia i dynamikę Ziemi w ramach modelu kontinuum charakteryzującego się jeszcze nieokreślonym rozkładem masy wewnętrznej, innymi słowy, gęstością masy w objętości ograniczonej powierzchnią . W zajętym przez nas problemie granica ta nie jest określona a priori , ale musi być określona przez założenie, że odpowiada ona formie równowagi ciała odkształcalnego. Dodatkowo przyjmiemy na chwilę, że istnieje pole prędkości względem wybranego, ale jeszcze nieokreślonego układu odniesienia, a także wewnętrzna gęstość pędu , siła objętości , pole naprężeń (lub naprężenia ) , moment siły objętościowej i momentu siły powierzchniowej . Wszystkie te wielkości mogą być jawnymi lub niejawnymi funkcjami czasu . O ile nie wskazano inaczej, użyjemy kartezjańskiego układu odniesienia, którego początek (0, 0, 0) znajduje się w punkcie O. Oznaczymy współrzędne przestrzenne przez i kolejne pochodne przestrzenne , ... by , ... (z ). Generalnie przyjmuje się zapis wskazujący na wektorze i tensora oraz reguły sum z Einsteinem na niemych wielokrotnych indeksów. $\ rho$ $b$ $\ częściowe B$ $\ częściowe B$ $v_ {i}$ $\ ell _ {i}$ $f_ {i}$ $T _ {{ij}}$ $Środek}$ $M _ {{ij}}$ $t$ $x_ {i}$ ${\ tfrac {\ części} {\ częściowy x_ {i}}}$ ${\ tfrac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe x_ {i} \ częściowe x_ {j}}}$ $\ częściowe_i$ $\ częściowe _ {i} \ częściowe _ {j}$ $i, j = 1, 2, 3$

Całkowita masa modelu to

M = \ int _ {B} \ rho \, {\ mathrm d} \ tau

gdzie jest element objętości . ${\ mathrm d} \ tau = {\ mathrm d} x_ {1} {\ mathrm d} x_ {2} {\ mathrm d} x_ {3}$

Całkowity impuls jest

P_ {i} = \ int _ {B} \ rho \, v_ {i} \, {\ mathrm d} \ tau

a całkowity moment pędu wynosi

L_ {i} = \ int _ {B} \ left (\ varepsilon _ {{ijk}} \, x_ {j} \, \ rho v_ {k} + \ ell _ {i} \ right) \, {\ mathrm d} \ tau

gdzie jest symbol Levi-Civita . $\ varepsilon _ {{ijk}}$

Wypadkowa sił przyłożonych do objętości ciała jest $b$

F_ {i} = \ int _ {B} f_ {i} \, {\ mathrm d} \ tau + \ int _ {{\ częściowe B}} n_ {j} \, T _ {{ij}} \, {\ mathrm d} \ sigma

gdzie jest elementem powierzchni i oznacza wektor jednostkowy normalny do powierzchni i wskazujący na objętość . Podobnie, wynikowy moment siły przyłożonej do ciała jest ${\ mathrm d} \ sigma$ $\ częściowe B$ $(n_ {1}, n_ {2}, n_ {3})$ $\ częściowe B$ $b$ $b$

M_ {i} = \ int _ {B} \ left (\ varepsilon _ {{ijk}} \, x_ {j} \, f_ {k} + m_ {i} \ right) \, {\ mathrm d} \ tau + \ int _ {{\ części B}} \ left (\ varepsilon _ {{ijk}} \, x_ {j} \, n_ {q} \, T _ {{kq}} + n_ {q} \ , M _ {{iq}} \ right) \, {\ mathrm d} \ sigma

Te wzory obowiązują w każdych okolicznościach. Jeśli będziemy dalej przyznać, że granica powierzchni od jest regularny i że pola napięć powierzchniowych i momenty sił są różniczkowalne w , możemy zastosować twierdzenie strumienia dywergencji i zapisu: $\ częściowe B$ $b$ $b$

F_ {i} = \ int _ {B} \ left (f_ {i} + \ Partial _ {j} T _ {{ij}} \ right) \, {\ mathrm d} \ tau

M_ {i} = \ int _ {B} \ left (\ varepsilon _ {{ijk}} \, x_ {j} \, f_ {k} + m_ {i} + \ części _ {q} \ left (\ varepsilon _ {{ijk}} \, x_ {j} \, T _ {{kq}} + M _ {{iq}} \ right) \ right) \, {\ mathrm d} \ tau

Prawa ochronne

Równania rządzące ośrodkiem ciągłym można wydedukować, albo stosując „zasadę korespondencji”, aby dostosować prawa Newtona mechaniki punktów dyskretnych do punktów materialnych mechaniki ośrodka ciągłego , albo bezpośrednio wyrażając fakt, że pewne cechy fizyczne, takie jak masa, pęd, moment pędu, energia kinetyczna, energia wewnętrzna, energia całkowita itp., zawarte w dowolnej objętości odkształcającej się w czasie , nie mogą zmieniać się arbitralnie, ale ich dokładne zmiany rządzą się prawami zachowania . To ostatnie można uzyskać, wyrażając szybkość zmian w czasie w dowolnej objętości materii za pomocą twierdzenia Reynoldsa o transporcie . $b (t)$ $t$

Pozwól, aby jakakolwiek część objętości materiału z czasem uległa deformacji . Przypuszcza się, że jego granica jest regularna, a normę jednostkową kieruje się w nieokreślonym punkcie na zewnątrz. Mamy więc do czynienia z dowolną wielkością fizyczną związaną z punktem materialnym należącym do objętości lub do jej granicy $b (t)$ $B (t)$ $\ częściowe b (t)$ $n (t)$ $\ częściowe b (t)$ $q$ $b (t)$ $\ częściowe b (t)$

{\ mathrm D} _ {t} Q = \ int _ {{b (t)}} \ częściowe _ {t} q \, {\ mathrm d} \ tau + \ int _ {{\ częściowe b (t) }} n_ {j} qv_ {j} \, {\ mathrm d} \ sigma

Użyte tutaj zapisy są następujące: jest dowolną wielkością fizyczną i gęstością objętościową odpowiedniego pola; operatory i są odpowiednio całkowitymi (istotnymi) i częściowymi (lokalnymi) pochodnymi czasowymi; jest zamkniętą regularną powierzchnią, która ogranicza objętość , normalnej zewnętrznej jednostki . Używając ponownie twierdzenia o rozbieżności przepływu, otrzymujemy $Q = \ textstyle \ int _ {b} q \, {\ mathrm d} \ tau$ $q$ ${\ mathrm D} _ {t}$ $\ częściowe _ {t}$ ${\ tfrac {{\ mathrm d}} {{\ mathrm d} t}}$ ${\ tfrac {\ Partial} {\ Partial t}}$ $\ częściowe b$ $b$ $n_ {i} (i = 1, 2, 3)$

{\ mathrm D} _ {t} Q = \ int _ {{b (t)}} \ left (\ częściowe _ {t} q + \ częściowe _ {j} (qv_ {j}) \ right) \, {\ mathrm d} \ tau

Jeśli jest lokalnym tempem produkcji lub destrukcji ilości , to znaczy , wtedy staje się poprzednia formuła $\ kappa$ $Q$ ${\ mathrm D} _ {t} Q = \ textstyle \ int _ {b} \ kappa \, {\ mathrm d} \ tau$

\ int _ {{b (t)}} \ left (\ części _ {t} q + \ części _ {j} \ left (qv_ {j} \ right) - \ kappa \ right) \, {\ mathrm d } \ tau = 0

lub, ponieważ objętość jest dowolna i dlatego można ją przyjąć dowolnie małą: $b (t)$

\ częściowe _ {t} q + \ częściowe _ {j} \ left (qv_ {j} \ right) = \ kappa

Jest to ogólna eulerowska forma prawa zachowania w fizyce ośrodków ciągłych. Równoważne formy Lagrange'a , ważne dla każdego punktu materiału jest . ${\ mathrm D} _ {t} q = q \ częściowe _ {j} v_ {j} = \ kappa$

Tę formę Lagrangianu można łatwo wydedukować z formy eulera za pomocą tożsamości (patrz artykuł Podstawowe pojęcia w teorii mediów ciągłych ) . ${\ mathrm D} _ {t} q = \ częściowy _ {t} q + v_ {j} \ częściowy _ {j} q$

Zachowanie masy, czyli równanie ciągłości

W formie integralnej zachowanie masy jest wyrażone przez

{\ mathrm D} _ {t} M = {\ mathrm D} _ {t} \ int _ {{b (t)}} \ sigma (x, t) \, {\ mathrm d} \ tau = \ int _ {{b (t)}} \ left ({\ mathrm D} _ {t} \ sigma + \ rho \ części _ {k} v_ {k} \ right) \, {\ mathrm d} \ tau = 0

Ta formuła zapewnia równanie ciągłości , wyrażające zachowanie masy w postaci różniczkowej, poprzez dopuszczenie dowolnej objętości do punktu . $b (t)$ ${\ mathrm D} _ {t} \ rho + \ rho \ Partial _ {k} v_ {k} = 0$

Eulerowska forma tego ostatniego równania to . $\ częściowe _ {t} \ rho + \ częściowe _ {k} (\ rho v_ {k}) = 0$

Zauważ, że jest to rzeczywiście szczególna forma ogólnego prawa ochrony , gdzie i . Fakt, który wskazuje, że nie ma ani produkcji, ani masowej destrukcji, dlatego zostaje zachowany. $\ częściowe _ {t} q + \ częściowe _ {j} (qv_ {j}) = \ kappa$ $q = \ rho$ $\ kappa = 0$ $\ kappa = 0$

Zachowanie pędu lub równanie ruchu

W podobny sposób, nieco bardziej skomplikowany, można ustalić równanie zachowania pędu rządzącego ruchem punktu materialnego, stawiając i jednoznacznie przyznając, że zachowana jest również masa. Otrzymujemy $q = \ rho v_ {i}$

\ rho {\ mathrm D} _ {t} v_ {i} = f_ {i} + \ częściowy _ {k} T _ {{ik}} (\ xi, t)

Rzeczywiście, podstawowe równanie dynamiki wyraża fakt, że szybkość zmiany impulsu jest równoważona wypadkową sił działających na objętość. Więc mamy ${\ mathrm D} _ {t} P_ {i}$ $F_i$

{\ mathrm D} _ {t} \ int _ {b} \ rho v_ {i} \, {\ mathrm d} \ tau = \ int _ {b} \ left (f_ {i} + \ części _ {k } T _ {{ik}} \ right) \, {\ mathrm d} \ tau

Jeśli przekształcimy lewą stronę za pomocą twierdzenia Reynoldsa , otrzymamy

{\ mathrm D} _ {t} \ int _ {{b (t)}} \ left [\ Partial _ {t} \ left (\ rho v_ {i} \ right) + \ części _ {k} \ left (\ rho v_ {i} v_ {k} \ right) \ right] \, {\ mathrm d} \ tau = \ int _ {{b (t)}} \ left (f_ {i} + \ Partial _ { k} T _ {{ik}} \ right) \, {\ mathrm d} \ tau

Dlatego, sprawiając, że dowolna objętość dąży do zera, otrzymujemy ogólną postać Eulera równania ruchu, a mianowicie . $b$ $\ częściowe _ {t} (\ rho v_ {i}) + \ częściowe _ {k} (\ rho v_ {i} v_ {k}) = f_ {i} + \ częściowe _ {k} T _ {{ik }}$

Należy zauważyć, że w tym równaniu nie zakłada się w żaden sposób zachowania masy, a jedynie, że tensor naprężenia jest różniczkowalny. Rozwijając lewą kończynę, otrzymujemy $T _ {{ik}}$

\ rho \ left [\ częściowe _ {t} v_ {i} + v_ {k} \ częściowe _ {k} v_ {i} \ prawo] + v_ {i} \ left [\ częściowe _ {t} \ rho + \ częściowe _ {k} \ left (\ rho v_ {k} \ right) \ right] = f_ {i} + \ Partial _ {k} T _ {{ik}}

Termin w nawiasach kwadratowych po lewej stronie oznacza przyspieszenie . Termin w nawiasach klamrowych po tej samej lewej stronie reprezentuje po prostu równanie zachowania masy w formie Eulera. Jeśli więc przyjmiemy, że masa pozostaje zachowana - co prawie zawsze ma miejsce w geofizyce wewnętrznej - zostanie zapisane równanie zachowania pędu . ${\ mathrm D} _ {t} v_ {i}$ $\ rho {\ mathrm D} _ {t} v_ {i} = f_ {i} + \ częściowe _ {k} T _ {{ik}}$

Zachowanie momentu pędu, czyli równanie obrotowe

Równanie wyrażające zachowanie momentu pędu, które jest niezbędne w badaniach dotyczących obrotu ciała odkształcalnego, jakim jest Ziemia, można otrzymać w podobny sposób, jak to wyraża zachowanie pędu. Zakładając, że zachodzi zachowanie masy i pędu, otrzymujemy

{\ mathrm D} _ {t} \ ell _ {i} = m_ {i} + \ części _ {k} M _ {{ik}} + \ varepsilon _ {{ijk}} T _ {{jk}}

Dzieje się tak, ponieważ szybkość zmiany momentu pędu w dowolnej objętości jest równoważona przez wypadkowy moment siły działającej na tę objętość. Więc mamy ${\ mathrm D} _ {t} L_ {i}$ $b$ $Środek}$

{\ mathrm D} _ {t} \ int _ {b} \ left (\ varepsilon _ {{ijk}} x_ {j} \ rho v_ {k} + \ ell _ {i} \ right) \, {\ mathrm d} \ tau = \ int _ {b} \ left [\ varepsilon _ {{ijk}} x_ {j} f_ {k} + m_ {i} + \ części _ {q} \ left (\ varepsilon _ { {ijk}} x_ {j} T _ {{kq}} + M _ {{iq}} \ right) \ right] {\ mathrm d} \ tau

Tak jak poprzednio, przekształcamy lewą stronę, stosując twierdzenie Reynoldsa, aby uzyskać

\ int _ {b} \ left [\ partial _ {t} \ left (\ varepsilon _ {{ijk}} x_ {j} \ rho v_ {k} + \ ell _ {i} \ right) + \ części _ {q} \ left (\ rho \ varepsilon _ {{ijk}} x_ {j} v_ {k} v_ {q} + \ ell _ {i} v_ {q} \ right) \ right] \, {\ mathrm d} \ tau = \ int _ {b} \ left [\ varepsilon _ {{ijk}} x_ {j} f_ {k} + m_ {i} + \ części _ {q} \ left (\ varepsilon _ {{ ijk}} x_ {j} T _ {{kq}} + M _ {{iq}} \ right) \ right] \, {\ mathrm d} \ tau

Dążąc dowolną objętość do zera, otrzymujemy równanie wyrażające lokalnie zachowanie momentu pędu, a mianowicie $b$

\ częściowe _ {t} \ left (\ rho \ varepsilon _ {{ijk}} x_ {j} v_ {k} + \ ell _ {i} \ right) + \ części _ {q} \ left (\ rho \ varepsilon _ {{ijk}} x_ {j} v_ {k} v_ {q} + \ ell _ {i} v_ {q} \ right) = \ varepsilon _ {{ijk}} x_ {j} f_ {k} + m_ {i} + \ częściowy _ {q} \ left (\ varepsilon _ {{ijk}} x_ {j} T _ {{kq}} + M _ {{iq}} \ right)

To równanie można uporządkować w następujący sposób:

\ langle \ częściowe _ {t} \ ell _ {i} + v_ {q} \ częściowe _ {q} \ ell _ {i} \ rangle + \ varepsilon _ {{ijk}} x_ {j} v_ {k} \ left [\ częściowe _ {t} \ rho + \ częściowe _ {q} \ left (\ rho v_ {k} \ right) \ right] + \ varepsilon _ {{ijk}} x_ {j} \ {\ rho \ częściowe _ {t} v_ {k} + \ rho v_ {q} \ częściowe _ {q} v_ {k} -f_ {k} - \ częściowe _ {q} T _ {{kq}} \} = m_ {i} + \ częściowe _ {q} M _ {{iq}} + \ varepsilon _ {{ijk}} \ left (T _ {{kj}} - \ rho v_ {j} v_ {k} \ right)

Po lewej stronie wyrazy w nawiasach oznaczają ilość , wyrazy w nawiasach kwadratowych znoszą się, jeśli zachowana jest masa, a wyrazy w nawiasach klamrowych znoszą się, jeśli zachowana jest zarówno masa, jak i pęd. W elemencie po prawej stronie znaku = termin jest identycznie zerowy, ponieważ jest symetrycznym tensorem. Zakładając, że masa i impuls są zachowane, otrzymujemy . ${\ mathrm D} _ {t} \ ell _ {i}$ $\ rho \ varepsilon _ {{ijk}} v_ {j} v_ {k}$ $v_ {j} v_ {k}$ ${\ mathrm D} _ {t} \ ell _ {i} = m_ {i} + \ części _ {k} M _ {{ik}} + \ varepsilon _ {{ijk}} T _ {{jk}}$

Symetria tensora naprężeń

Jeśli dodatkowo założymy, że moment pędu wewnętrzna do dowolnego punktu materialnego nie zmienia się podczas zakłócenia ruchu, to znaczy jeśli , to tensor naprężeń jest symetryczna: . $\ ell _ {i}$ ${\ mathrm D} _ {t} \ ell _ {i} = m_ {i} + \ częściowe _ {k} M _ {{ik}}$ $T _ {{jk}}$ $\ varepsilon _ {{ijk}} T _ {{jk}} = 0 \ equiv T _ {{jk}} = T _ {{kj}}$

Oszczędzanie energii

Równanie wyrażające zachowanie energii można otrzymać tą samą metodą, którą zastosowano do obliczenia masy, pędu i wielkości obrotu. Znaleźliśmy :

\ częściowe _ {t} \ left (\ rho v ^ {2} + U \ right) + \ części _ {j} \ left [\ left ({\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2 } + U \ right) v_ {j} -v_ {k} T _ {{kj}} + H_ {j} \ right] = v_ {k} f_ {k} + \ Gamma

Symbol tutaj oznacza energię wewnętrzną na jednostkę objętości, jest wektorem gęstości strumienia ciepła i jest szybkością wewnętrznej produkcji lub niszczenia energii na jednostkę objętości w wyniku reakcji chemicznych, radioaktywności lub dowolnego innego procesu wewnętrznego. Symbol oczywiście przedstawia kwadrat prędkości, czyli dwukrotność energii kinetycznej na jednostkę masy. $U$ $Cześć$ $\Gamma$ $v ^ {2}$ $v_ {k} v_ {k}$

Tabela zbiorcza głównych praw konserwatorskich

Poniższa tabela zawiera podsumowanie głównych ogólnych praw zachowania, w postaci eulera, przydatnych do rozwiązywania problemów związanych z mechaniką ośrodków ciągłych, w szczególności jeśli chodzi o badanie globalnych odkształceń Ziemi w wyniku trzęsienia ziemi, zmiana długości dnia w wyniku przyłożenia potencjału pływowego lub w wyniku przyłożenia rozkładu masy na powierzchni zewnętrznej. Notacje użyte w tabeli są takie same jak w tym tekście. Przypomnijmy, że całka jest zachowaną wielkością fizyczną; reprezentuje, w zależności od przypadku, całkowitą masę ciała , jego całkowity pęd, jego całkowity pęd kątowy lub całkowitą energię . Ogólną eulerowską formą prawa zachowania jest . $\ textstyle Q = \ int _ {B} \ phi \, {\ mathrm d} \ tau$ $b$ $Liczba Pi$ $L_ {i}$ $mi$ $\ częściowe _ {t} \ phi + \ częściowe _ {j} k_ {j} = q$

Podstawowe prawa zachowania mechaniki ośrodków ciągłych

$Q$	$\ phi$	$K J}$	$q$
$M$	$\ rho$	$\ rho v_ {j}$	0
$Liczba Pi$	$\ rho v_ {i}$	$\ rho v_ {i} v_ {j} -T _ {{ij}}$	$f_ {i}$
$L_ {i}$	$\ ell _ {i}$	$\ ell _ {i} v_ {j} -M _ {{ij}}$	$m_ {i} + \ varepsilon _ {{ijk}} T _ {{kj}}$
$mi$	${\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} + U$	$\ left ({\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} + U \ right) v_ {j} -v_ {k} T _ {{kj}} + H_ {j}$	$v_ {k} f_ {k} + \ Gamma$

Założenia i prawa opisujące odkształcenia Ziemi

W zagadnieniach geodynamiki teoretycznej ogólnie uważa się, że wypadkowa sił zewnętrznych na jednostkę objętości składa się z objętościowej siły grawitacyjnej spowodowanej autograwitacją i przyciąganiem grawitacyjnym ciał zewnętrznych, objętościowej siły elektromagnetycznej , bezwładnościowych sił objętościowych (Coriolis i aksifuge) , siły pływowe i siły objętościowe wywołane obciążeniami zewnętrznymi . Z drugiej strony, siły powierzchniowe w zależności od orientacji, które generalnie przyczyniają się do tensora naprężeń poprzez relacje Cauchy'ego, to siły sprężyste, które generują tensor naprężeń sprężystych , elektromagnetyczne siły powierzchniowe, które generują tensor Maxwella , siły lepkości które generują tensor Reynoldsa, tensor naprężeń sprężystych , nielepkich sił tarcia kontaktowego, które generują tensor sił tarcia, tensor naprężeń sprężystych , oraz każdą inną siłę powierzchniową generującą tensor naprężeń, tensor naprężeń sprężystych . $f_ {i}$ $f_ {i} ^ {{\ text {g}}}$ $f_ {i} ^ {{\ text {em}}}$ $f_ {i} ^ {{\ text {in}}}$ $f_ {i} ^ {{\ text {m}}}$ $f_ {i} ^ {{\ text {ch}}}$ $T_ {i} (x, t, n)$ $nie$ $T _ {{ij}} (x, t)$ $T_ {i} (x, t, n) = T _ {{ij}} (x, t) n_ {j} (x, t, n)$ $T _ {{ij}} ^ {{\ text {el}}}$ $T _ {{ij}} ^ {{\ text {em}}}$ $T _ {{ij}} ^ {{\ text {v}}}$ $T _ {{ij}} ^ {{\ text {f}}}$ $T _ {{ij}} ^ {{\ text {s}}}$

Siła grawitacji na jednostkę masy , prościej nazywana przyspieszeniem grawitacyjnym lub grawitacją , pochodzi z potencjału grawitacyjnego , który asymilujemy tutaj z grawitacyjną energią potencjalną: $sol$ $\ phi ^ {g}$

f ^ {g} = \ rho g = - \ rho \ nabla \ phi ^ {g}

Potencjał jest określony równaniem Poissona $\ phi ^ {g}$

\ nabla ^ {2} \ phi ^ {g} = 4 \ pi G \ rho

gdzie jest stała grawitacji . Należy zauważyć, że właściwości potencjału grawitacji implikują i są funkcjami ciągłymi wszędzie w przestrzeni, w szczególności na granicach między dwoma różnymi ośrodkami ciągłymi. $sol$ $\ phi ^ {g}$ $sol$

W odniesieniu do pola sił wytwarzanego przez oddziaływania elektromagnetyczne przyjmuje się zwykle, że punkty materialne nie przenoszą ładunku elektrycznego, to znaczy są elektrycznie obojętne . W ten sposób zakłada się, że żadna siła Lorentza nie jest przykładana bezpośrednio do punktu masy poruszającego się w polu magnetycznym Ziemi. Jednak materiał ziemi przewodzi prąd elektryczny w różnym stopniu, innymi słowy ma skończoną niezerową przewodność elektryczną . Dlatego też, gdy ten materiał porusza się z niezerową prędkością , oddziałuje z wewnętrznym polem geomagnetycznym i generuje indukowaną gęstość prądu elektrycznego, która modyfikuje początkowe pole magnetyczne, powodując powstanie zmiennego pola indukcji magnetycznej, podczas gdy strumień Ten zmienny prąd wytwarza pole indukcyjne . Wynikiem wszystkich tych oddziaływań ruchomego materiału ziemi z pola magnetycznego Ziemi narodziny wzbudzonego pola sił elektromagnetycznych , z , które z kolei modyfikuje ruchu. Zastosowano tu jednostki elektrostatyczne Gaussa, określające prędkość światła w próżni. Należy zauważyć, że w idealnym dielektryku siła elektromagnetyczna wynosiłaby zero . Na interfejsie elektromagnetycznym normalnej zewnętrznej wielkości i są ciągłe. Badając odkształcenia sprężyste Ziemi, zwłaszcza propagację fal sejsmicznych, drgania swobodne, odkształcenia pływów itp., Najczęściej zaniedbujemy rozważanie takich zjawisk magnetohydrodynamicznych lub magnetoelastycznych, po prostu przyznając, że siły Wzmacniacz sprężysty są znacznie większe niż siły elektromagnetyczne . Należy jednak pamiętać, że siły te istnieją i są istotne, gdy rozważa się wytwarzanie wewnętrznego pola geomagnetycznego w zewnętrznym jądrze Ziemi pod wpływem samowzbudnego dynama. Mogą ostatecznie stać się ważne podczas badania odkształceń i oscylacji rdzenia, ale w praktyce są pomijalne, gdy rozważa się globalne odkształcenia Ziemi o małej amplitudzie. $\ xi$ $\ sigma _ {e}$ $v$ $jot$ $B (\ xi, t)$ $Wyjście)$ $b$ $f ^ {{\ text {em}}} = c ^ {{- 1}} JB$ $J = \ sigma _ {e} (E + c ^ {{- 1}} CZ. B)$ $vs$ $(\ sigma _ {e} = 0)$ $(f ^ {{\ text {em}}} = 0)$ $nie$ $nE, nH$ $nB$

Siły bezwładności można sformułować następująco:

f ^ {{\ text {in}}} = \ rho \ nabla \ left ({\ frac {1} {2}} | \ Omega .r | \ right) ^ {2} -2 \ rho \ Omega .v

gdzie jest chwilowym wektorem obrotu, wektorem położenia \ mathrm punktu materialnego i chwilową prędkością tego punktu. Pierwszy człon reprezentuje siłę osiową, a drugi człon reprezentuje siłę Coriolisa na jednostkę objętości. $\Omega$ $r$ $\ xi$ $v$

Odkształcenia pływowe są wytwarzane przez siły również pochodzące z potencjału, potencjału pływowego . W przypadku pływów lądowych, biorąc pod uwagę czułość urządzeń wykrywających znajdujących się obecnie na rynku, przy ogólnym opracowywaniu wielobiegunowego potencjału pływowego należy wziąć pod uwagę kwadrupolowe i ośmiobiegunowe określenia Księżyca i Słońca: $f ^ {{\ text {m}}} = - \ rho \ nabla W ^ {{\ text {m.}}}$ $W ^ {{\ text {m}}}$ $(n = 2)$ $(n = 3)$

W ^ {{\ text {m}}} = \ Sigma _ {A} GM_ {A} d_ {A} ^ {{- 1}} \ sum _ {{n = 2}} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {r} {{\ mathrm d} _ {A}}} \ right) ^ {n} P_ {n} \ left (\ cos z_ {A} \ right)

Tutaj, oznacza stałą grawitacji , jest masą pływowej gwiazdy generatora, jest odległością od środka masy Ziemi do środka masy , jest odległością zenitową i jest odległością od środka masy Ziemia w punkcie, w którym mierzy się przypływ. Symbol oznacza, jak zwykle, wielomian stopnia Legendre'a . Pierwsze podsumowanie powyższego wyrażenia teoretycznie rozciąga się na wszystkie gwiazdy zdolne do wywołania efektu pływowego na Ziemi; w praktyce ogranicza się do Księżyca, Słońca oraz, w bardzo dokładnych obliczeniach, do Wenus i Jowisza. $sol$ $(G = 6 {,} 673 \ times 10 ^ {{- 11}} {\ rm {\; m ^ {3} \ cdot s ^ {{- 2}} \ cdot kg ^ {{- 1}}) }}$ $MÓJ}$ $d_ {A}$ $W$ $z_ {A}$ $W$ $r$ $P_ {n}$ $nie$ $W$

Prawo Hooke'a

W wielu zastosowaniach geofizycznych, szczególnie w sejsmologii , Ziemia jest traktowana jako materiał liniowo sprężysty i izotropowy, co oznacza, że tensor Lagrange'a naprężeń sprężystych wyraża prawo Hooke'a. Mamy zatem w układzie odniesienia kartezjańskim

T _ {{ik}} (\ xi, t) = \ left (\ kappa - {\ frac {2} {3}} \ mu \ right) \ częściowe _ {j} u_ {j} \ delta _ {{ ik}} + \ mu (\ częściowe _ {i} u_ {k} + \ częściowe _ {k} u_ {i}),

gdzie jest pole przemieszczeń, a gdzie stałe materiałowe i są odpowiednio modułami ściskania i ścinania. Problemy obejmujące czas w zakresie w przybliżeniu od ułamka sekundy do kilku godzin, to znaczy okres czasu typowych okresów fal sejsmicznych, wolnych oscylacji i zwykle pływów, moduł kompresji być uważany jest adiabatyczne moduł kompresji , oceniano dla warunków izentropowych. Jeśli chodzi o moduł ścinania, Léon Brillouin wykazał w 1940 r., Że nie ma potrzeby rozróżniania między ścinaniem wykonywanym w warunkach izentropowych a warunkami izotermicznymi. Z drugiej strony można rozważyć niską nieelastyczność przez uwarunkowania współczynników i częstotliwości; takie podejście przyjęli w szczególności Kanamori i Anderson oraz Dziewoński i Anderson. ${\ mathbf u}$ $\ kappa$ $\ mu$ $\ kappa$ $\ mu$

Warunki graniczne

Aby teoretycznie móc badać globalne odkształcenia Ziemi (lub planety ziemskiej ), konieczne jest dodanie do równań różniczkowych opisujących ruch deformacji warunków, które dotyczą środka i zewnętrznej powierzchni Ziemi. Ziemia, a także odpowiednie warunki, które mają zastosowanie do różnych wewnętrznych granic między różnymi mediami ciągłymi. Dlatego oprócz ciągłości potencjału grawitacyjnego i siły grawitacji należy wziąć pod uwagę dwa ogólne typy warunków, które należy zastosować przy napotkaniu prostego interfejsu: warunki kinematyczne i warunki dynamiczne.

Warunki kinematyczne

Warunki kinematyczne można łatwo uzyskać wyrażając matematycznie fakt, że punkty materialne należące do powierzchni granicznej w danym momencie muszą nadal należeć do tej samej powierzchni w innym momencie, to znaczy lub w postaci eulera: $F [x (\ xi, t), t] = {\ text {cste}}$ $\ sigma F ^ {{\ text {środkowa 1}}} = \ sigma F ^ {{\ text {środkowa 2}}}$

\ częściowe F ^ {{\ text {środkowa 1}}} + u ^ {{\ text {środkowa 1}}}. \ nabla F ^ {{\ text {środkowa 1}}} = \ częściowa F ^ {{\ text {środkowy 2}}} + u ^ {{\ text {środkowy 2}}}. \ nabla F ^ {{\ text {środkowy 2}}}

Ponieważ ograniczamy się do powierzchni regularnych, funkcja dopuszcza ciągłe pochodne cząstkowe względem czasu i współrzędnych przestrzennych. Wynika z tego, że normalna składowa pola przemieszczenia odnosząca się do interfejsu musi być, innymi słowy, ciągła $fa$

nu ^ {{\ text {środkowy 1}}} = nu ^ {{\ text {środkowy 2}}}

Warunki te nie wykluczają możliwości poślizgu z jednego ośrodka względem drugiego, a granica, na której taki poślizg jest możliwy, będzie nazywana „ granicą poślizgu” . Przez minusy, jeśli wykluczymy możliwość poślizgu, musimy narzucić ciągłości przez granicę obu normalnych i stycznych składowych przemieszczenia: . $u ^ {{\ text {środkowy 1}}} = u ^ {{\ text {środkowy 2}}}$

Granica tego typu nazywana jest „spoiną spawaną” lub „ granicą bez poślizgu” .

Warunki dynamiczne

Aby ustalić dynamiczne warunki, rozważamy wysokość małego prawego równoległościanu („pudełka zapałek”) . Zakładamy, że to „pudełko” podzielone jest powierzchnią graniczną na dwie objętości i wypełnione odpowiednio materiałem z ośrodka ciągłego 1 i materiałem z ośrodka ciągłego 2. „Pudełko” jest ograniczone od góry przez normalną powierzchnię jednostki zewnętrznej , poniżej przez normalną powierzchnię jednostki zewnętrznej , a po bokach przez normalną powierzchnię jednostki zewnętrznej . Do tej objętości materiału ograniczonej zamkniętą powierzchnią stosujemy równanie zachowania pędu w postaci integralnej, to znaczy $godz$ $V_ {1}$ $V_ {2}$ $S_1$ $n_1$ $S_2$ $n_2$ $S_ {3}$ $n_ {3}$ $V = V_ {1} + V_ {2}$ $S = S_ {1} + S_ {2} + S_ {3}$

{\ mathrm D} _ {t} \ int \! \! \! \! \! \! \! \ subset \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {{V (t)}} \ rho v_ {i} \; {\ mathrm d} \ tau = \ int \! \! \! \! \! \! \! \ subset \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {{V (t)}} f_ {i} \; {\ mathrm d} \ tau + \ int \! \! \! \! \! \! \! \ Subset \! \! \ Supset \! \ ! \! \! \! \! \! \ int _ {{S (t)}} T _ {{ik}} n_ {k} \; {\ mathrm d} \ sigma

Zakładając, że siły objętości są ciągłe w poprzek granicy, pozostawiając czułość na zero, otrzymujemy warunki dynamicznego interfejsu , biorąc pod uwagę fakt, że mamy , i . W związku z tym normalne składowe tensora naprężeń jako całości muszą pozostać ciągłe w całym interfejsie. $godz$ $T _ {{ik}} ^ {{\ text {środkowy 1}}} n_ {k} = T _ {{ik}} ^ {{\ text {środkowy 2}}} n_ {k}$ $h = 0$ $V = 0$ $S_ {3} = 0$ $n_ {1} = - n_ {2}$

Uwagi

W geodezji i geofizyce termin gęstość zawsze oznacza gęstość absolutną, to znaczy gęstość, a nie gęstość względną, to znaczy stosunek gęstości ośrodka do gęstości wody.
Jednak w mechanice siły wewnętrzne działające na każdy punkt materialny odgrywają istotną rolę i są generalnie wyrażane przez rozbieżność tensora naprężenia. Z drugiej strony w mechanice punktów Newtona siły wewnętrzne działające w dowolnym punkcie są redukowane do pary przeciwnych sił o tej samej intensywności i dlatego są eliminowane z równań.
Wskazujemy, jeśli to konieczne, że nieokreślona zmienna ilościowa w przestrzeni i czasie odnosi się do punktu przestrzennego (opis Eulera) poprzez wyraźne podanie argumentu . Jeśli odnosi się do punktu materialnego (opis lagranżowski), argument ten stawia się wprost . $q$ $x$ $q$ $\ xi$
Jest to konwencja najczęściej stosowana w fizyce. W geodezji i mechanice niebieskiej generalnie asymilujemy potencjalną funkcję (lub potencjał) do pracy, która ma być wykonana wbrew siłom grawitacji, tak więc mamy . W geodezji potencjalne wymiary pola grawitacyjnego zmniejszają się wraz z odległością od środka, w fizyce rosną. $V$ $V = - \ phi$
L. Brillouin, Wpływ temperatury na elastyczność ciała stałego , Memoriał Nauk Matematycznych, zeszyt 99, s. 20–23 , Gauthier-Villars, Paryż, 1940.
H. Kanamori i DL Anderson znaczenie fizycznej dyspersji w fale powierzchniowe i wolnych oscylacji , przegląd Geophysics and Space Physics, n ö 15, str. 105–112 , 1977.
AM Dziewońskiego i DL Anderson wstępna Reference Model Ziemi , Physics of the Earth i planetarne Wnętrza n o 25 s. 297–356 , 1981.
Ograniczamy się tutaj do zwykłych założeń poczynionych w sejsmologii i geodynamice teoretycznej, a mianowicie, że rozważamy tylko proste, odkształcalne interfejsy . Taki prosty interfejs jest regularną powierzchnią, to znaczy powierzchnią, która w każdym punkcie ma jedną i niepowtarzalną normalną. Punkty materiału, które początkowo tworzą część takiej powierzchni, pozostaną na niej w sposób ciągły, gdy się ona porusza i odkształca. Tak więc, na prostym interfejsie, tworzenie wnęk lub wzajemne przenikanie (powodujące powstanie mieszaniny cząstek) dwóch mediów w skończonej części objętości jest wykluczone z opisu.

Zobacz też

Bibliografia

R. Aris (1962). Wektory, tensory i podstawowe równania mechaniki płynów , Prentice-Hall, Englewood Cliffs (poprawiony przedruk, Dover Publications, 1962). ( ISBN 0-486-66110-5 ) .
L. Brillouin (1960). Tensory w mechanice i sprężystości , Masson, Paryż.
C. Denis (1993). Globalne deformacje i ewolucja Ziemi , Acta Geodaetica, Geophysica i Montanistica Hungarica, vol. 28 , 15–131. Akadémiai Kiadó, Budapeszt.
(en) Harold Jeffreys , Cartesian tensors , Cambridge, The University Press, wyd. „Cambridge Science Classics”,1984( 1 st ed. 1931), 92 , str. ( ISBN 978-0-521-05423-2 i 978-0-521-09191-6 , OCLC 859383386 ).
L. Sedov (1971). Wykład z mechaniki kontinuum, tom 1. Podstawowe równania i techniki analityczne , Wydawnictwo Wolters-Noordhoff, Groningen. ( ISBN 9-001-79680-X ) .

Linki wewnętrzne

Linki zewnętrzne