Równania Gaussa-Codazziego

W geometrii Riemanna , że Gaussa-Codazzi-MAINARDI równania są podstawowymi równania w ramach teorii hiperpowierzchni zanurzone w przestrzeni euklidesowej , i bardziej ogólnie podrozmaitości z Riemanna kolektora . Istnieją również zastosowania w przypadku hiperpowierzchni zanurzonych w rozmaitości pseudo-riemannowskiej .

W klasycznej geometrii powierzchni równania Gaussa-Codazziego-Mainardiego składają się z pary równań. Pierwsze równanie, czasami nazywane równaniem Gaussa, wiąże wewnętrzną krzywiznę (lub krzywiznę Gaussa ) powierzchni z pochodnymi mapy Gaussa , poprzez drugą postać podstawową . To równanie jest podstawą teorii egregium Gaussa. Drugie równanie, czasami nazywane równaniem Codazziego-Mainardiego , jest warunkiem strukturalnym na drugiej pochodnej mapy Gaussa. To równanie obejmuje zewnętrzną krzywiznę (lub średnią krzywiznę ) powierzchni. Równania te pokazują, że składniki drugiej formy podstawowej i jej pochodne całkowicie klasyfikują powierzchnię do transformacji euklidesowej , co sprowadza się do jednego z twierdzeń Pierre-Ossiana Bonneta .

Oświadczenie formalne

Niech i: M ⊂ P będzie n wymiarową subvariety zanurzone w Riemanna kolektora P wymiaru n + p . Istnieje naturalna włączenie wiązki stycznej z M, w tym z P i cokernel jest normalny pakiet o M :

0 \ rightarrow T_ {x} M \ rightarrow T_ {x} P | _ {M} \ rightarrow T_ {x} ^ {\ perp} M \ rightarrow 0.

Metryka daje następujący dokładny efekt :

TP | _ {M} = TM \ oplus T ^ {\ perp} M.

Po tej sekwencji połączenie Levi-Civita ∇ ′ P rozkłada się na składnik styczny i składnik normalny. Dla każdego X ∈ T M i pola wektorowego Y na M ,

\ nabla '_ {X} Y = \ top (\ nabla' _ {X} Y) + \ bot (\ nabla '_ {X} Y).

Jest

\ nabla _ {X} Y = \ top (\ nabla '_ {X} Y), \ quad \ alpha (X, Y) = \ bot (\ nabla' _ {X} Y).

Wzór Gaussa zapewnia zatem, że ∇ X jest połączeniem Levi-Civita dla M , a α jest symetryczną wektorową postacią różniczkową z wartościami w wiązce normalnej.

Bezpośrednim następstwem jest równanie Gaussa. Dla X , Y , Z , W ∈ T M ,

\ langle R '(X, Y) Z, W \ rangle = \ langle R (X, Y) Z, W \ rangle + \ langle \ alpha (X, Z), \ alpha (Y, W) \ rangle - \ langle \ alpha (Y, Z), \ alpha (X, W) \ rangle

gdzie R jest krzywizna napinacz P i R jest M .

Równanie Weingarten jest analogiem o wzorze Gaussa dla połączenia w normalnym pakiecie. Niech X ∈ T M i ξ będzie polem wektorów normalnych. Następnie rozkładamy kowariantną pochodną ξ na X na składowe normalne i styczne:

\ nabla _ {X} \ xi = \ top (\ nabla _ {X} \ xi) + \ bot (\ nabla _ {X} \ xi) = - A _ {\ xi} (X) + D_ {X} (\ xi).

Więc

Równania Weingartena : $\ langle A _ {\ xi} X, Y \ rangle = \ langle \ alpha (X, Y), \ xi \ rangle$
D X jest połączeniem metrycznym (en) w normalnym pakiecie.

Jest zatem kilka połączeń: ∇, zdefiniowanych na wiązce stycznej M ; i D , ustawione na normalny pakiet M . Te dwa połączyć z wytworzeniem związku o dowolnym produktem tensora T, M i T ⊥ M . W szczególności w pełni definiują kowariantną pochodną α:

({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) = D_ {X} \ left (\ alpha (Y, Z) \ right) - \ alpha (\ nabla _ {X} Y , Z) - \ alpha (Y, \ nabla _ {X} Z).

Równanie Codazzi-Mainardi daje

\ bot \ left (R '(X, Y) Z \ right) = ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) - ({\ tilde {\ nabla}} _ { Y} \ alpha) (X, Z).

Zestawienie równań klasycznych

W klasycznej geometrii różniczkowej równania Codazziego-Mainardiego są generalnie wyrażane za pomocą drugiej podstawowej formy:

e_ {v} -f_ {u} = e \ Gamma _ {{12}} ^ {1} + f (\ Gamma _ {{12}} ^ {2} - \ Gamma _ {{11}} ^ {1 }) - g \ Gamma _ {{11}} ^ {2}

f_ {v} -g_ {u} = e \ Gamma _ {{{22}} ^ {1} + f (\ Gamma _ {{22}} ^ {2} - \ Gamma _ {{12}} ^ {1 }) - g \ Gamma _ {{12}} ^ {2}

Dowód równań klasycznych

Drugie pochodne sparametryzowanej powierzchni (in) można wyrazić w bazie, a także w symbolach Christoffela i drugiej formie podstawowej. $(X_ {u}, X_ {v}, N)$

X _ {{uu}} = \ Gamma _ {{11}} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {{11}} ^ {2} X_ {v} + eN

X _ {{uv}} = \ Gamma _ {{12}} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {{12}} ^ {2} X_ {v} + fN

X _ {{vv}} = \ Gamma _ {{22}} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {{22}} ^ {2} X_ {v} + gN

W Schwarz twierdzenie stwierdza, że następujące pochodne cząstkowe dojeżdżania:

\ left (X _ {{uu}} \ right) _ {v} = \ left (X _ {{uv}} \ right) _ {u}

Jeśli różniczkujemy względem v i względem u, otrzymujemy: $X _ {{uu}}$ $X _ {{uv}}$

\ left (\ Gamma _ {{11}} ^ {1} \ right) _ {v} X_ {u} + \ Gamma _ {{11}} ^ {1} X _ {{uv}} + \ left ( \ Gamma _ {{11}} ^ {2} \ right) _ {v} X_ {v} + \ Gamma _ {{11}} ^ {2} X _ {{vv}} + e_ {v} N + eN_ {v} = \ left (\ Gamma _ {{12}} ^ {1} \ right) _ {u} X_ {u} + \ Gamma _ {{12}} ^ {1} X _ {{uu} } + \ left (\ Gamma _ {{12}} ^ {2} \ right) _ {u} X_ {v} + \ Gamma _ {{12}} ^ {2} X _ {{uv}} + f_ {u} N + fN_ {u}

Jeśli następnie podstawimy powyższe wyrażenia za drugą pochodną i zrównamy współczynniki N:

f \ Gamma _ {{11}} ^ {1} + g \ Gamma _ {{11}} ^ {2} + e_ {v} = e \ Gamma _ {{12}} ^ {1} + f \ Gamma _ {{12}} ^ {2} + f_ {u}

zmieniając warunki, znajdujemy pierwsze równanie Codazzi-Mainardi.

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Równania Gaussa-Codazziego ” ( zobacz listę autorów ) .

(La) Carl Friedrich Gauss , „ Disquitiones Generales circa Superficies Curvas ” , Comm. Soc. Gott. , vol. 6,1828
na cześć Gaspare Mainardi (de) (1856) i Delfino Codazzi (1868-1869), którzy niezależnie odnaleźli ten wynik. Por. (En) Morris Kline (en) , Mathematical Thought from Ancient to Modern Times: Volume 3 , OUP ,1972, 399 pkt. ( ISBN 978-0-19-506137-6 , czytaj online ) , str. 885.
Ossian Bonnet , „ Wspomnienie o teorii powierzchni mających zastosowanie do danej powierzchni ”, JEP , t. 25,1867, s. 31-151
Terminologia (w) Michael Spivak , (Wszechstronne wprowadzenie) Geometria różniczkowa [ wydania detaliczne ], lot. 3