Średnia krzywizna

W matematyce The średnia krzywizna o powierzchni jest nazywana średnią z minimalną i maksymalną krzywizny . Jest odnotowany (lub nawet K m , a czasem H ). Jest to liczba rzeczywista , której znak zależy od dokonanego wyboru orientacji powierzchni. $\gamma$

Chociaż stosunkowo łatwo jest zdefiniować promień krzywizny krzywej płaskiej, w przypadku powierzchni sprawy się komplikują. Następnie definiujemy analog w następujący sposób: w punkcie definiujemy oś, wektor normalny do powierzchni. Następnie wyobrażamy sobie płaszczyznę obracającą się wokół tej osi. Płaszczyzna ta przecina powierzchnię rozpatrywaną na krzywej. Dlatego umożliwia zdefiniowanie nieskończonej liczby promieni krzywizny.

Promienie te określają maksymalne i minimalne krzywizny (odwrotność promienia) (biorąc pod uwagę znak, czyli orientację względem wektora normalnego). Nazywa się je krzywiznami głównymi , a płaszczyzny zawierające te krzywizny są pokazane po przeciwnej stronie. Dlatego główne krzywizny są krzywiznami, w rozważanym punkcie, dwóch czerwonych krzywych przecinających te płaszczyzny i powierzchnię. Na podstawie tych dwóch krzywizn można zdefiniować kilka pojęć całkowitej krzywizny; najważniejsze z nich to krzywizna Gaussa i średnia krzywizna.

Średnia krzywizna jest definiowana jako średnia z dwóch głównych krzywizn, tj.

{\ displaystyle \ gamma = {\ Frac {\ gamma _ {max} + \ gamma _ {min}} {2}}}

Pojęcie średniej krzywizny zostało zdefiniowane przez Sophie Germain podczas jej badania wibracji membrany.

Obliczanie średniej krzywizny

Korzystanie z ustawienia

Załóżmy, że pole jest określone równaniem , w którym f jest funkcją klasową . Oznaczmy przez indeks zmienne, względem których obliczane są pochodne . Wtedy średnia krzywizna w punkcie parametru wynosi: ${\ displaystyle z = f (x, y)}$ ${\ mathcal {C}} ^ {2}$ $(x, y)$

{\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {(1 + f_ {y} '^ {2}) f_ {xx}' '+ (1 + f_ {x}' ^ {2}) f_ {yy} '' - 2f_ {x} 'f_ {y}' f_ {xy} ''} {2 (1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}) ^ {3/2}}} }

Demonstracja

To znaczy parametryzacja powierzchni, która ma być regularna. Bazowej od płaszczyzny stycznej jest przez dwa wektory i . Wektor normalny do powierzchni jest określony współliniowo przez wektor jednostkowy , a mianowicie: ${\ Displaystyle (x, y) \ do P (x, y, z) = {\ początek {pmatrix} x \\ y \\ f (x, y) \ koniec {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe x}} = {\ początek {pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_ {x} '\ koniec {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe y}} = {\ początek {pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_ {y} '\ koniec {pmatrix}}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe P} {\ częściowe x}} \ klin {\ Frac {\ częściowe P} {\ częściowe y}}}$

{\ Displaystyle {\ vec {n}} = {\ Frac {1} {\ sqrt {1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}}}} {\ zacząć {pmatrix } -f_ {x} '\\ - f_ {y}' \\ 1 \ end {pmatrix}}}

Aby obliczyć krzywiznę wykorzystujemy fakt, że jest ona równa połowie utworu z endomorfizm Weingarten , a to endomorfizm jest ten, który wysyła na i na . Następnie sprawdzimy, czy: ${\ displaystyle {\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe x}}}$ ${\ Displaystyle - {\ Frac {\ częściowe {\ vec {n}}} {\ częściowe x}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe y}}}$ ${\ Displaystyle - {\ Frac {\ częściowe {\ vec {n}}} {\ częściowe y}}}$

{\ Displaystyle - {\ Frac {\ częściowe {\ vec {n}}} {\ częściowe x}} = {\ Frac {1} {(1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}) ^ {3/2}}} \ left ((f_ {xx} '' + f_ {y} '^ {2} f_ {xx}' '- f_ {x}' f_ {y} ' f_ {xy} '') {\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe x}} + (f_ {xy} '' + f_ {x} '^ {2} f_ {xy}' '- f_ {x} 'f_ {y}' f_ {xx} '') {\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe y}} \ right)}

Porównywalny wynik uzyskamy dla permutacji indeksów x i y . ${\ Displaystyle - {\ Frac {\ częściowe {\ vec {n}}} {\ częściowe y}}}$

Dlatego endomorfizm Weingartena ma dla macierzy w podstawie : ${\ Displaystyle \ lewo (- {\ Frac {\ częściowe P} {\ częściowe x}}, - {\ Frac {\ częściowe P} {\ częściowe y}} \ prawej)}$

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {(1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}) ^ {3/2}}} {\ rozpocząć {pmatrix} f_ {xx } '' + f_ {y} '^ {2} f_ {xx}' '- f_ {x}' f_ {y} 'f_ {xy}' '& f_ {xy}' '+ f_ {y}' ^ {2} f_ {xy} '' - f_ {y} 'f_ {x}' f_ {yy} '' \\ f_ {xy} '' + f_ {x} '^ {2} f_ {xy}' ' - f_ {x} 'f_ {y}' f_ {xx} '' & f_ {yy} '' + f_ {x} '^ {2} f_ {yy}' '- f_ {x}' f_ {y} 'f_ {xy}' '\ end {pmatrix}}}

Pół śladu tej macierzy daje zapowiedzianą formułę.

Po liczniku rozpoznajemy wyrażenie użyte w równaniu różniczkowym cząstkowym charakteryzującym minimalne powierzchnie, przy czym ta ostatnia ma zerową średnią krzywiznę.

Wykorzystanie podstawowych kształtów

Każda powierzchnia programowane za pomocą dwóch parametrów ù i V , a każda z pierwszej podstawowej formy , w drugiej formie podstawowej . Wtedy średnia krzywizna wynosi: ${\ Displaystyle \ mathrm {I} = E \ mathrm {d} u ^ {2} + 2F \ mathrm {d} u \ mathrm {d} v + G \ mathrm {d} v ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {II} = L \ mathrm {d} u ^ {2} + 2M \ mathrm {d} u \ mathrm {d} v + N \ mathrm {d} v ^ {2}}$

{\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {LG + EN-2FM} {2 (EG-F ^ {2})}}}

Demonstracja

To znaczy parametryzacja powierzchni, która ma być regularna. Podstawa płaszczyzny stycznej jest określona przez i . Niech i będą dwoma wektorami płaszczyzny stycznej w punkcie powierzchni i niech X i Y będą składowymi tych dwóch wektorów w poprzedniej bazie. Pierwsza podstawowa forma daje wyrażenie w tej podstawie iloczynu skalarnego dwóch wektorów: ${\ Displaystyle (u, v) \ do P (u, v)}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ częściowe P} {du}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ częściowe P} {dv}}}$ $\ vec {x}$ ${\ vec {y}}$

{\ displaystyle \ langle {\ vec {x}}, {\ vec {y}} \ rangle = {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} Y}

Drugą formą podstawową jest forma kwadratowa związana z symetrycznym endomorfizmem Weingartena W, którego dwie wartości własne są głównymi krzywiznami powierzchni w rozważanym punkcie.

{\ displaystyle \ langle {\ vec {x}}, W ({\ vec {y}}) \ rangle = {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} Y }

W konsekwencji, jeśli jest wektorem własnym endomorfizmu Weingartena, z wartością własną , mamy dla wszystkiego : ${\ vec {y}}$ $\ lambda$ $\ vec {x}$

{\ displaystyle \ langle {\ vec {x}}, W ({\ vec {y}}) \ rangle = {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} Y = \ lambda \ langle {\ vec {x}}, {\ vec {y}} \ rangle = \ lambda {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} Y}

Ta relacja jest prawdziwa dla wszystkiego , dlatego mamy: $\ vec {x}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} Y = \ lambda {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} Y}

dlatego macierz jest nieodwracalna, ponieważ przyjmuje niezerową kolumnę Y jako element jej jądra. Jego wyznacznik daje równanie zweryfikowane przez główne krzywizny, a mianowicie: ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} - \ lambda {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} L- \ lambda E&M - \ lambda F \\ M- \ lambda F & N- \ lambda G \ end {pmatrix}}}$

{\ Displaystyle (EG-F ^ {2}) \ lambda ^ {2} - (EN + GL-2MF) \ lambda + LN-M ^ {2} = 0}

Bierzemy połowę sumy dwóch pierwiastków, która jest niczym innym jak średnią poszukiwaną krzywizną. ${\ Displaystyle {\ Frac {LG + EN-2FM} {2 (EG-F ^ {2})}}}$

Zobacz też

Krzywizna
Krzywizna Gaussa
Odmiana Riemannian
Różnicowa geometria powierzchni
Stała średnia powierzchnia krzywizny ( cal )

Bibliografia

J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès , kurs matematyki, t. 3, geometria i kinematyki , 2 II wyd., University Dunod (1977), s. 511.
J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, kurs matematyki, t. 3, geometria i kinematyki , 2 II wyd., University Dunod (1977), s. 509.