Równanie Masona-Weavera

Mason Tkacz równanie równanie opisujące sedymentacji i dyfuzję z rozpuszczonych pod działaniem jednolitej siły , zazwyczaj grawitacyjnie dziedzinie .

Wyrażenie matematyczne

Zakładając, że grawitacja jest polem zorientowanym w kierunku z , można zapisać równanie Masona-Weavera

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe c} {\ częściowe t}} = D {\ Frac {\ częściowe ^ {2} c} {\ częściowe z ^ {2}}} + sg {\ Frac {\ częściowe c } {\ częściowe z}}}

gdzie t jest czasem, c oznacza stężenie liniowy rozpuszczonej (moli na jednostkę długości w oo kierunku ) oraz parametry D , s i g oznaczają odpowiednio do współczynnika dyfuzji w rozpuszczonej , współczynnik sedymentacji i przyspieszenia w ciężkości (założona stała).

Równanie Masona-Weavera jest uzupełnione warunkami brzegowymi . Jeśli zakłada się, że komórka jest prostokątna i wyrównana z kartezjańskim układem współrzędnych; mamy

{\ Displaystyle D {\ Frac {\ częściowe c} {\ częściowe z}} + sgc = 0}

u góry iu dołu komórki oznaczone odpowiednio $z a$ i $z b$ . Te warunki brzegowe odpowiadają faktowi, że przejście substancji rozpuszczonej przez ściany komórki jest fizycznie niemożliwe, a zatem strumień musi być zerowy. Podobnie przepływ na ścianach bocznych musi wynosić zero. W konsekwencji całkowita ilość substancji rozpuszczonych zawartych w komórce

{\ Displaystyle N _ {\ tekst {tot}} = \ int _ {z_ {b}} ^ {z_ {a}} dz \ c (z, t)}

jest przechowywany, tj . ${\ displaystyle dN _ {\ text {tot}} / dt = 0}$

Uzyskanie równania Masona-Tkacza

Szybkość sedymentacji

Siła wywierana na cząstkę w nieściśliwym płynie jest określona równaniem Basseta-Boussinesqa-Oseena :

{\ Displaystyle m_ {p} {\ Frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} = - \ underbrace {3 \ pi \ mu d_ {p} \ mathbf {V} } _ {\ text {drag (Stokes)}} - \ underbrace {{\ frac {m_ {f}} {2}} \, {\ frac {{\ text {d}} \ mathbf {V}} {{ \ text {d}} t}}} _ {\ text {dodana masa}} - \ underbrace {{\ frac {3} {2}} d_ {p} ^ {2} {\ sqrt {\ pi \ rho _ {f} \ mu}} \ int _ {- \ infty} ^ {t} {\ frac {1} {\ sqrt {t- \ tau}}} \, {\ frac {{\ text {d}} \ mathbf {V}} {{\ text {d}} \ tau}} \, {\ text {d}} \ tau} _ {\ text {Basset force}} + \ underbrace {(m_ {p} -m_ { f}) \ mathbf {g}} _ {\ text {cios Archimedesa}}}

$d_ {p}$	średnica cząstek,
${\ displaystyle m_ {f} = {\ frac {\ rho _ {f}} {\ rho _ {p}}} m_ {p}}$	masa wypartego płynu,
${\ displaystyle \ rho _ {f}, \ rho _ {p}}$	odpowiednio gęstość cieczy i cząstek,
$\ mu$	dynamiczna lepkość płynu,
${\ mathbf {g}}$	pole przyspieszenia, któremu poddawane jest medium.

Tutaj charakterystyczny czas, w jakim cząsteczka osiąga swoją graniczną prędkość, wynikający z równowagi sił wywieranych na nią, jest bardzo niski (zwykle 10 ns dla substancji rozpuszczonych w cząsteczkach). Dlatego przyjmiemy, że ta równowaga jest prawdziwa przez cały czas. Ograniczenie prędkości ustalamy wykonując : ${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} = 0}$

{\ Displaystyle \ mathbf {V} _ {l} = {\ Frac {m_ {p} -m_ {f}} {3 \ pi \ mu d_ {p}}} \ mathbf {g}}

Współczynnik sedymentacji jest określony przez:

{\ displaystyle s = {\ frac {V_ {l}} {g}}}

Przepływu wyraża się następująco:

{\ Displaystyle \ mathbf {J} = -D \ nabla c- \ mathbf {V} _ {l} \, c = -D \ nabla cs \, c \, \ mathbf {g}}

Pierwszy termin opisuje strumień spowodowany dyfuzją materii pod wpływem gradientu stężeń, podczas gdy drugi termin opisuje strumień konwekcyjny wynikający ze średniej prędkości cząstek. ${\ displaystyle V_ {l}}$

Równanie zachowania

Możemy zdefiniować prawo zachowania dla rozległej zmiennej napędzanej z dużą prędkością i obejmującej okres produkcji masowej poprzez: $\ phi$ ${\ displaystyle \ mathbf {V}}$ $S$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ phi} {\ częściowe t}} + \ nabla \ cdot (\ phi \ mathbf {V}) = S}

W naszym przypadku , i . ${\ displaystyle \ phi = c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V} = {\ Frac {\ mathbf {J}} {c}}}$ ${\ Displaystyle S = 0}$

Zastępując strumień wyrażeniem, otrzymujemy równanie Masona-Weavera:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe c} {\ częściowe t}} = D \ nabla ^ {2} c + s \ nabla \ cdot (\ mathbf {c \, g})}

Niech w wymiarze przestrzeni z wyrównanym z g założoną stałą:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe c} {\ częściowe t}} = D {\ Frac {\ częściowe ^ {2} c} {\ częściowe z ^ {2}}} + s \, g {\ frac { \ częściowe c} {\ częściowe z}}}

Bezwymiarowe równanie Masona-Tkacza

Parametry D , s i g określają charakterystyczną długość ${\ displaystyle z_ {0}}$

{\ Displaystyle Z_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ Frac {D} {sg}}}

i charakterystyczny czas $t_ {0}$

{\ displaystyle t_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {D} {s ^ {2} g ^ {2}}}}

Definiując wielkości bezwymiarowe i , równanie Masona-Tkacza staje się: ${\ Displaystyle \ zeta \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ z / z_ {0}}$ ${\ Displaystyle \ tau \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ t / t_ {0}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe c} {\ częściowe \ tau}} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} c} {\ częściowe \ zeta ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe c } {\ części \ zeta}}}

podlega warunkom brzegowym

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe c} {\ częściowe \ zeta}} + c = 0}

odpowiednio u góry iu dołu komórki i . ${\ displaystyle \ zeta _ {a}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {b}}$

Rozwiązanie równania Masona-Weavera

To równanie różniczkowe cząstkowe można rozwiązać za pomocą zmiennej metody rozdziału . Pozując , otrzymujemy dwa równania różniczkowe zwyczajne połączone stałą ${\ Displaystyle c (\ zeta, \ tau) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ e ^ {- \ zeta / 2} T (\ tau) P (\ zeta)}$ $\ beta$

{\ Displaystyle {\ Frac {dT} {d \ tau}} + \ beta T = 0}

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} P} {d \ zeta ^ {2}}} + \ lewo [\ beta - {\ Frac {1} {4}} \ prawo] P = 0}

gdzie możliwe wartości są zdefiniowane przez warunki brzegowe $\ beta$

{\ Displaystyle {\ Frac {dP} {d \ zeta}} + {\ Frac {1} {2}} P = 0}

na górnych i dolnych granic i odpowiednio. Ponieważ równanie w T dopuszcza rozwiązania, w których jest stałą, rozwiązanie równania Masona-Weavera sprowadza się do znalezienia funkcji . ${\ displaystyle \ zeta _ {a}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {b}}$ ${\ Displaystyle T (\ tau) = T_ {0} e ^ {- \ beta \ tau}}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ Displaystyle P (\ zeta)}$

Równania różniczkowe zwyczajne dla P i jego warunków spełniają kryteria teorii Sturma-Liouville'a, co prowadzi do kilku wniosków. Przede wszystkim istnieje ortonormalną zestaw o funkcyj które jest roztworem z równań różniczkowych i spełnia warunki brzegowe. Ponadto odpowiadające im wartości własne są rzeczywiste, ograniczone w gorszy sposób przez wartość własną i rosną asymptotycznie, gdy liczba naturalna k jest rangą funkcji własnej. W tym przypadku najmniejsza wartość własna wynosi zero, co odpowiada równowadze. Wreszcie, funkcje własne tworzą kompletny zestaw ; każde rozwiązanie można wyrazić jako liniową kombinację funkcji własnych ${\ Displaystyle P_ {k} (\ zeta)}$ ${\ displaystyle \ beta _ {k}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {0}}$ ${\ displaystyle k ^ {2}}$ ${\ displaystyle c (\ zeta, \ tau)}$

{\ Displaystyle c (\ zeta, \ tau) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} c_ {k} P_ {k} (\ zeta) e ^ {- \ beta _ {k} \ tau} }

gdzie są stałe współczynniki określone z rozkładu początkowego ${\ displaystyle c_ {k}}$ ${\ Displaystyle c (\ zeta, \ tau = 0)}$

{\ Displaystyle c_ {k} = \ int _ {\ zeta _ {a}} ^ {\ zeta _ {b}} d \ zeta \ c (\ zeta, \ tau = 0) e ^ {\ zeta / 2} P_ {k} (\ zeta)}

W równowadze z definicji i równowagowym rozkładem stężeń jest: $\ beta = 0$

{\ displaystyle e ^ {- \ zeta / 2} P_ {0} (\ zeta) = być ^ {- \ zeta} = być ^ {- m_ {b} gz / k_ {B} T}}

co zgadza się z rozkładem Boltzmanna .

Funkcje są rozwiązaniami równań różniczkowych i spełniają warunki brzegowe dla wszystkich wartości (które można zweryfikować przez podstawienie), a stałą B można wyznaczyć z całkowitej ilości substancji rozpuszczonej . ${\ Displaystyle P_ {0} (\ zeta)}$ $\ zeta$

{\ Displaystyle B = N_ {tot} \ lewo ({\ Frac {sg} {D}} \ prawo) \ lewo ({\ Frac {1} {e ^ {- \ zeta _ {b}} - e ^ { - \ zeta _ {a}}}} \ right)}

Aby znaleźć wartości własne poza równowagą , postępujemy w następujący sposób. Równanie w P ma postać prostego oscylatora harmonicznego rozwiązań gdzie ${\ displaystyle \ beta _ {k}}$ ${\ Displaystyle P (\ zeta) = e ^ {i \ omega _ {k} \ zeta}}$

{\ displaystyle \ omega _ {k} = \ pm {\ sqrt {\ beta _ {k} - {\ frac {1} {4}}}}}

W zależności od wartości , jest albo czysto rzeczywista ( ), albo czysto urojona ( ). Tylko czyste urojone rozwiązanie może spełnić warunki brzegowe, to znaczy rozwiązanie w stanie równowagi. W konsekwencji zapisuje się funkcje własne z równowagi ${\ displaystyle \ beta _ {k}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {k} \ geq {\ frac {1} {4}}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {k} <{\ frac {1} {4}}}$

{\ Displaystyle P (\ zeta) = A \ cos {\ omega _ {k} \ zeta} + B \ sin {\ omega _ {k} \ zeta}}

gdzie A i B są stałymi i są rzeczywistością ściśle dodatnią. $\omega$

Wprowadzając amplitudę i fazę oscylatora jako nowe zmienne, $\ rho$ $\ phi$

{\ Displaystyle u \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ rho \ sin (\ phi) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ P}

{\ Displaystyle v \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ rho \ cos (\ phi) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - {\ frac {1 } {\ omega}} \ left ({\ frac {dP} {d \ zeta}} \ right)}

{\ Displaystyle \ rho \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ u ^ {2} + v ^ {2}}

{\ Displaystyle \ tan (\ phi) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ v / u}

równanie kwadratowe w P jest rozłożone na dwa równania pierwszego stopnia

{\ Displaystyle {\ Frac {d \ rho} {d \ zeta}} = 0}

{\ Displaystyle {\ Frac {d \ phi} {d \ zeta}} = \ omega}

Co ciekawe, otrzymane warunki brzegowe są niezależne od, jak również od punktów skrajnych i $\ rho$ ${\ displaystyle \ zeta _ {a}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {b}}$

{\ Displaystyle \ tan (\ phi _ {a}) = \ tan (\ phi _ {b}) = {\ frac {1} {2 \ omega _ {k}}}}

W konsekwencji otrzymujemy równanie

{\ Displaystyle \ phi _ {a} - \ phi _ {b} + k \ pi = k \ pi = \ int _ {\ zeta _ {b}} ^ {\ zeta _ {a}} d \ zeta \ { \ frac {d \ phi} {d \ zeta}} = \ omega _ {k} (\ zeta _ {a} - \ zeta _ {b})}

podając dokładne rozwiązanie dla częstotliwości ${\ displaystyle \ omega _ {k}}$

{\ Displaystyle \ omega _ {k} = {\ Frac {k \ pi} {\ zeta _ {a} - \ zeta _ {b}}}}

Naturalne częstotliwości są dodatnie od tego czasu i składają się z zestawu harmonicznych e częstotliwości podstawowej . Wreszcie wartości własne można pobrać z ${\ displaystyle \ omega _ {k}}$ ${\ Displaystyle \ zeta _ {a}> \ zeta _ {b}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {1} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ pi / (\ zeta _ {a} - \ zeta _ {b})}$ ${\ displaystyle \ beta _ {k}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k}}$

{\ Displaystyle \ beta _ {k} = \ omega _ {k} ^ {2} + {\ Frac {1} {4}}}

Podsumowując, składniki roztworu nierównowagowego odpowiadają rozkładowi szeregów Fouriera początkowego rozkładu stężeń ważonego przez . Każdy składnik Fouriera zmniejsza się niezależnie w którym mają wyżej podane znaczenie, jeśli chodzi o częstotliwość szeregu Fouriera . ${\ Displaystyle c (\ zeta, \ tau = 0)}$ ${\ Displaystyle e ^ {\ zeta / 2}}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ beta _ {k} \ tau}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {k}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k}}$

Uwagi i odniesienia

Bibliografia

(w) Max Mason i Warren Weaver , „ Osiadanie małych cząstek w płynie ” , Physical Review , vol. 23,1924, s. 412–426
(w) Martin R. Maxey i James J. Riley, „ Równanie ruchu małej sztywnej kuli w przepływie niejednorodnym ” , Fizyka płynów A , tom. 26,1983, s. 883-889

Uwagi

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Równanie Masona - Weavera ” ( zobacz listę autorów ) .

Powiązane artykuły