Równanie Kortewega-de Vriesa
Ten artykuł jest zarysem dotyczącym
matematyki .
Możesz dzielić się swoją wiedzą doskonaląc ją ( jak? ) Zgodnie z zaleceniami odpowiednich projektów .
W matematyce , Korteweg-de Vries równanie (KDV w skrócie) jest model matematyczny dla płytkich fal. Jest to bardzo dobrze znany przykład nieliniowego równania różniczkowego cząstkowego, dla którego dokładnie znamy rozwiązania. Rozwiązania te obejmują (ale nie ograniczają się do) solitonów . Rozwiązania te można obliczyć przez odwrotną transformację dyfuzyjną (ta sama zasada, jak przy rozwiązywaniu równania ciepła ). Jest to przykład dyspersyjnego równania różniczkowego cząstkowego .
Równanie nazywa się Diederik Korteweg i Gustav de Vries (w), którzy studiowali, chociaż równanie zostało wcześniej opracowane przez Josepha Boussinesqa .
Definicja
Jest to nieliniowe i dyspersyjne równanie różniczkowe cząstkowe dla funkcji φ dwóch zmiennych rzeczywistych , x i t :
∂Tφ+∂x3φ+6φ∂xφ=0{\ displaystyle \ częściowy _ {t} \ varphi + \ częściowy _ {x} ^ {3} \ varphi +6 \ varphi \ częściowy _ {x} \ varphi = 0}gdzie ∂ x i ∂ t oznaczają pochodne cząstkowe względem x i t .
Podanie
Fali łotrzyk jest bardzo wysoka morskie fali , modelable jako szczególne rozwiązania równań nieliniowych, takich jak fale Boussinesqa równania lub Korteweg-de Vries równania.
Warianty
Istnieje wiele odmian równania fali KdV. W szczególności możemy wymienić następujące równania.
Nazwisko
|
Równanie
|
---|
Korteweg – de Vries (KdV)
|
∂Tφ+∂x3φ+6φ∂xφ=0{\ displaystyle \ displaystyle \ częściowy _ {t} \ varphi + \ częściowy _ {x} ^ {3} \ varphi +6 \, \ phi \, \ częściowy _ {x} \ varphi = 0}
|
KdV (cylindryczny)
|
∂Tty+∂x3ty-6ty∂xty+ty/2T=0{\ displaystyle \ displaystyle \ częściowy _ {t} u + \ częściowy _ {x} ^ {3} u-6 \, u \, \ częściowy _ {x} u + u/2t = 0}
|
KdV (zniekształcony)
|
∂Tty+∂x(∂x2ty-2ηty3-3ty(∂xty)2/2(η+ty2))=0{\ displaystyle \ displaystyle \ częściowy _ {t} u + \ częściowy _ {x} (\ częściowy _ {x} ^ {2} u-2 \, \ eta \, u ^ {3} -3 \, u \ , (\ częściowy _ {x} u) ^ {2} / 2 (\ eta + u ^ {2})) = 0}
|
KdV (uogólnione)
|
∂Tty+∂x3ty=∂x5ty{\ displaystyle \ displaystyle \ częściowy _ {t} u + \ częściowy _ {x} ^ {3} u = \ częściowy _ {x} ^ {5} u}
|
Korteweg-de Vries uogólniony (en)
|
∂Tty+∂x3ty+∂xF(ty)=0{\ displaystyle \ displaystyle \ częściowy _ {t} u + \ częściowy _ {x} ^ {3} u + \ częściowy _ {x} f (u) = 0}
|
Korteweg-de Vries ( 7 th rzędu Lax)
|
∂Tty+∂x{35ty4+70(ty2∂x2ty+ty(∂xty)2)+7[2ty∂x4ty+3(∂x2ty)2+4∂x∂x3ty]+∂x6ty}=0{\ displaystyle {\ początek {wyrównany} \ częściowy _ {t} u + \ częściowy _ {x} & \ lewy \ {35u ^ {4} +70 \ lewy (u ^ {2} \ częściowy _ {x} ^ { 2} u + u \ lewy (\ częściowy _ {x} u \ prawy) ^ {2} \ prawy) \ prawy \\ & \ lewy \ Quad +7 \ lewy [2u \ częściowy _ {x} ^ { 4} u + 3 \ po lewej (\ częściowe _ {x} ^ {2} u \ po prawej) ^ {2} +4 \ częściowe _ {x} \ częściowe _ {x} ^ {3} u \ po prawej] + \ częściowy _ {x} ^ {6} u \ prawy \} = 0 \ koniec {wyrównany}}}
|
Zmodyfikowane równanie Kortewega-de Vriesa
|
∂Tty+∂x3ty±6ty2∂xty=0{\ displaystyle \ displaystyle \ częściowy _ {t} u + \ częściowy _ {x} ^ {3} u \ pm 6 \, u ^ {2} \, \ częściowy _ {x} u = 0}
|
KdV (zmodyfikowany zmodyfikowany)
|
∂Tty+∂x3ty-(∂xty)3/8+(∂xty)(DOmiW celuty+b+VSmi-W celuty)=0{\ displaystyle \ displaystyle \ częściowy _ {t} u + \ częściowy _ {x} ^ {3} u - (\ częściowy _ {x} u) ^ {3} / 8 + (\ częściowy _ {x} u) ( A \ mathm {e} ^ {au} + B + C \ mathrm {e} ^ {- au}) = 0}
|
KdV (kulisty)
|
∂Tty+∂x3ty-6ty∂xty+ty/T=0{\ displaystyle \ displaystyle \ częściowy _ {t} u + \ częściowy _ {x} ^ {3} u-6 \, u \, \ częściowy _ {x} u + u / t = 0}
|
Równanie Super Kortewega-de Vriesa
|
∂Tty=6ty∂xty-∂x3ty+3w∂x2w{\ displaystyle \ displaystyle \ częściowy _ {t} u = 6 \, u \, \ częściowy _ {x} u- \ częściowy _ {x} ^ {3} u + 3 \, w \, \ częściowy _ {x } ^ {2} w},
∂Tw=3(∂xty)w+6ty∂xw-4∂x3w{\ displaystyle \ displaystyle \ częściowy _ {t} w = 3 \, (\ częściowy _ {x} u) \, w + 6 \, u \, \ częściowy _ {x} w-4 \, \ częściowy _ { x} ^ {3} w}
|
KdV (przejście)
|
∂Tty+∂x3ty-6F(T)ty∂xty=0{\ displaystyle \ displaystyle \ częściowy _ {t} u + \ częściowy _ {x} ^ {3} u-6 \, f (t) \, u \, \ częściowy _ {x} u = 0}
|
KdV (ze zmiennymi współczynnikami)
|
∂Tty+βTnie∂x3ty+αTniety∂xty=0{\ displaystyle \ displaystyle \ częściowy _ {t} u + \ beta \, t ^ {n} \, \ częściowy _ {x} ^ {3} u + \ alfa \, t ^ {n} u \, \ częściowy _ { x} u = 0}
|
Równanie Kortewega-de Vriesa-Burgersa
|
∂Tty+μ∂x3ty+2ty∂xty-ν∂x2ty=0{\ displaystyle \ displaystyle \ częściowy _ {t} u + \ mu \, \ częściowy _ {x} ^ {3} u + 2 \, u \, \ częściowy _ {x} u- \ nu \, \ częściowy _ {x} ^ {2} u = 0}
|
Bibliografia
-
DJ Korteweg i G. de Vries , „ O zmianie kształtu długich fal narastających w kanale prostokątnym io nowym typie długich fal stacjonarnych ”, Magazyn Filozoficzny , t. 39,1895, s. 422-443
-
J. Boussinesq , „ Esej o teorii wód płynących ”, Wspomnienia przedstawione przez różnych uczonych Acadowi. Sci. Inst. Nat. Francja, XXIII ,1877, s. 1-680
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">