Prędkość powierzchniowa

Prędkość powierzchniowa Drugie z praw Keplera mówi, że prędkość obszarowa planety względem Słońca jest stała. Kluczowe dane

Jednostki SI	metr kwadratowy na sekundę ( m 2 ⋅ s −1 )
Wymiar	2 · T -1 $\,$ $\,$
Natura	Rozmiar Vector obszerny
Zwykły symbol	${\ displaystyle {\ kropka {A}}}$
Link do innych rozmiarów	${\ Displaystyle {\ kropka {A}} = {\ Frac {\ Delta A} {\ Delta t}}}$ ${\ Displaystyle {\ kropka {A}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} {\ Frac {\ Delta A} {\ Delta t}} = {\ Frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}}}$

Obszar prędkość jest wielkością, która wyraża granica stosunku podwyższenia nieskończenie wystąpienia obszarze zmieciony przez promienia wektora poruszającego się obiektu na nieskończenie wzrostem czasu. Jest to pierwsza pochodna w odniesieniu do czasu obszaru skanowanego przez promień wektora telefonu komórkowego. Jest to stosunek tego obszaru do wykorzystanego czasu. Definiuje go:

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ rho ^ {2} {\ Frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = {\ Frac {\ mathrm {d} A (t)} {\ mathrm {d} t}}}

gdzie $A$ jest obszarem sektora skanowanym przez promień wektorowy $ρ$ , $gdzie$ $θ$ jest kątem, przez który przechodzi, będącym prędkością kątową . ${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}$

Ocena

Często odnotowuje się prędkość powierzchniową , symbol odpowiadający łacińskiej literze A z kropką powyżej . ${\ displaystyle {\ kropka {A}}}$

Wyjaśnienie

A

jest zapisem powierzchni lub pola. Powyższy punkt służy do wyrażenia, że jest to pierwsza pochodna

A

w odniesieniu do czasu.

{\ displaystyle {\ kropka {A}}}

Wymiar i jednostka

Wymiar prędkości kraj:

{\ Displaystyle [{\ kropka {A}}] = \ mathrm {L ^ {2}} \ cdot {\ mathrm {T} ^ {- 1}}.}

Wyjaśnienie

{\ Displaystyle [{\ kropka {A}}] = {\ Frac {[A]} {[t]}} = {\ Frac {\ mathrm {L ^ {2}}} {\ mathrm {T ^ {1 }}}} = \ mathrm {L ^ {2}} \ cdot {\ mathrm {T} ^ {- 1}}.}

Metr kwadratowy na sekundę , A jednostki pochodzące z międzynarodowego (SI) jest jego zespół .

Wyrażenia

Średnia prędkość powierzchni jest wyrażona przez:

{\ Displaystyle {\ kropka {A}} = {\ Frac {\ Delta {A}} {\ Delta {t}}}.}

Chwilowa prędkość powierzchniowa jest wyrażona przez:

{\ Displaystyle {\ kropka {A}} = \ lim _ {\ Delta {t} \ rightarrow {0}} {\ Frac {\ Delta {A}} {\ Delta {t}}} = {\ Frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} {r ^ {2}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d } t}} = {\ frac {1} {2}} {r ^ {2}} {\ dot {\ theta}}.}

Stała prędkość powierzchni jest wyrażona przez:

{\ Displaystyle {\ kropka {A}} = {\ Frac {\ Delta {A}} {\ Delta {t}}} = {\ Frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {C} {2}},}

gdzie $C$ jest stałą powierzchnią : ${\ displaystyle C = {r ^ {2}} {\ kropka {\ theta}}.}$

Demonstracja geometryczna

Rozważ trajektorię samolotu.

W chwili $t 0 = 0$ część ruchoma znajduje się w $M 0$ . W czasie $t$ , ruchoma w $M$ .

Nazywamy $A$ obszarem skanowanym przez promień wektora od czasu $t 0$ do czasu $t$ .

Po czasie $od t$ , promień nosicieli skokowej sektor $WMO ' = D$ .

Współrzędne punktu $M$ są w kartezjańskim układzie współrzędnych, $X$ i $Y$ , albo w układzie współrzędnych biegunowych, $ρ$ (na kości promieniowej) $θ$ (dla kąta ).

Te z $M '$ są we współrzędnych kartezjańskich $x + d x$ i $y + d y$ , albo we współrzędnych biegunowych, $ρ + d ρ$ i $θ + d θ$ .

Ocena współrzędnych biegunowych

Oceniamy obszar sektora $OMM '$ , który łączy się z obszarem trójkąta $OMM'$ .

{\ Displaystyle OMM '= \ mathrm {d} A = {\ Frac {1} {2}} \ cdot OM \ cdot OM' \ cdot \ sin ({\ widehat {MOM '}}).}

to jest do powiedzenia :

{\ Displaystyle \ mathrm {d} A = {\ Frac {1} {2}} \ rho (\ rho + \ mathrm {d} \ rho) \ sin (\ mathrm {d} \ theta)}

Możemy pominąć nieskończenie małe $d ρ$ przed wielkością skończoną $ρ$ i pomylić sinus z nieskończenie małym kątem $d θ$ , ponieważ ma granicę 1. ${\ Displaystyle {\ Frac {\ sin (\ mathrm {d} \ theta)} {\ mathrm {d} \ theta}}}$

Otrzymujemy w ten sposób pole nieskończenie $małego$ trójkąta $OMM '$ :

{\ Displaystyle dA = {\ Frac {1} {2}} \ rho ^ {2} \ mathrm {d} \ theta}

A zatem prędkość obszarowa we współrzędnych biegunowych:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ Frac {1} {2}} \ rho ^ {2} {\ Frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}

Ocena we współrzędnych kartezjańskich

Pole nieskończenie $małego$ trójkąta $OMM '$ jest określone przez wyznacznik :

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ mathrm {d} A & = {\ Frac {1} {2}} {\ begin {vmatrix} x & x + \ mathrm {d} x & 0 \\ y & y + \ mathrm {d} y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {vmatrix}} = {\ frac {1} {2}} (x \ mathrm {d} yy \ mathrm {d} x) \ end {aligned}}}

Z którego wyprowadzamy prędkość obszarową we współrzędnych kartezjańskich:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (x {\ Frac {\ mathrm {d} y} { \ mathrm {d} t}} - y {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right)}

Powiązanie z momentem pędu

Z definicji moment pędu jest określony dla ruchomej masy $m$ przez:

{\ Displaystyle {\ vec {L}} _ {O} = m \, {\ vec {OM}} \ klin {\ vec {v}}}

z pozycją poruszającego się ciała i jest prędkością poruszającego się ciała. ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ vec {OM}} & = \ lewo ({\ początek {macierz} x \\ y \\ 0 \ koniec {macierz}} \ w prawo) \ koniec {wyrównany}}}$
${\ displaystyle {\ begin {wyrównane} {\ vec {v}} & = \ lewo ({\ początek {macierz} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \\ { \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \\ 0 \ end {matrix}} \ right) \ end {wyrównane}}}$

Jednak zgodnie z właściwościami produktu wektorowego $\land$ , ruch w płaszczyźnie , ${\ Displaystyle \ lewo ({\ vec {Ox}}, {\ vec {Oy}} \ prawej)}$

{\ Displaystyle {\ vec {OM}} \ wedge {\ vec {v}} = \ lewo (x {\ Frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} - y {\ Frac { \ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) {\ vec {Oz}}}

W związku z tym :

{\ Displaystyle {\ vec {L}} _ {O} = 2 m {\ Frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {Oz}}}

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {Oz}} = {\ Frac {{\ vec {L}} _ {O}} {2m} }}

Moment pędu jest zatem wielkością ruchu areolarnego, przenoszoną na oś prostopadłą do płaszczyzny ruchu.
Historycznie rzecz biorąc, te dwie koncepcje zostały opracowane równolegle przez naukowców Patrice d'Arcy , Daniela Bernoulli , Leonhard Euler , po podobnych obserwacjach.

Analogia między ruchem translacyjnym a ruchem areolarnym

Załóżmy, że masa $m$ położona w $( x , y , 0)$ , ma przypisaną siłę, której współrzędne są $( F x , F y , 0)$ . Podstawowa zasada dynamiki pozwala pisać:

{\ Displaystyle m {\ Frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = F_ {x}}

(1)

{\ Displaystyle m {\ Frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = F_ {y}}

(2)

Równanie (1) pomnożone przez $x$ , a następnie odjęte od równania (2), samo wcześniej pomnożone przez $y$ , pozwala otrzymać:

{\ Displaystyle m \ lewo ({\ Frac {x \, \ mathrm {d} ^ {2} yy \, \ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right) = x \, F_ {y} -y \, F_ {x}}

(3)

Z jednej strony w lewej części równania rozpoznajemy drugą pochodną obszaru skanowanego względem czasu, czyli przyspieszenie areolarne:

{\ Displaystyle \ left ({\ Frac {x \, \ mathrm {d} ^ {2} yy \, \ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right) = 2 {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}

Z drugiej strony w prawej części równania rozpoznajemy moment siły względem pochodzenia:

{\ Displaystyle x \, F_ {y} -y \, F_ {x} = OM \ klin F = {\ mathcal {M}} _ {F / O}}

Tak więc to równanie (3) można przepisać:

{\ Displaystyle 2m {\ Frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ mathcal {M}} _ {F / O}}

Możemy również zauważyć, że mnożenie przyspieszenia areolarnego przez element powierzchniowy $d A$ prowadzi do różniczki kwadratu prędkości powierzchniowej:

{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ lewo ({\ Frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} \ prawo) ^ {2} = 2 {\ Frac {\ mathrm {d} A } {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t}} = 2 \ mathrm {d} A {\ frac {\ mathrm {d } ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = 2 {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ mathrm {d} A}

Stamtąd otrzymujemy różniczkową postać rzędu 2, łączącą kwadrat prędkości powierzchniowej i moment siły:

{\ Displaystyle m \ \ mathrm {d} \ lewo ({\ Frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} \ prawej) ^ {2} = {\ mathcal {M}} _ { F / O} \, \ mathrm {d} A}

Lub zauważając : ${\ Displaystyle {\ mathcal {W}} = {\ Frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}}}$

{\ Displaystyle m \ \ mathrm {d} {\ mathcal {W}} ^ {2} = {\ mathcal {M}} _ {F / O} \, \ mathrm {d} A}

Dla porównania, w jednowymiarowym ruchu translacyjnym różniczka kwadratu prędkości zostanie zapisana:

{\ Displaystyle \ mathrm {d} v ^ {2} = 2 \ v \ \ mathrm {d} v = 2 {\ Frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} {\ Frac { \ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t}} = 2 \ \ mathrm {d} x \ {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d } t ^ {2}}} = 2F_ {x} \ mathrm {d} x}

Pozwala to napisać podstawową zasadę dynamiki w postaci różniczkowej postaci porządku 1: , ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ mathrm {d} v ^ {2} = F_ {x} \ mathrm {d} x}$

którego kształt jest do współczynnika 2 podobny do wzoru znalezionego w poprzednim przypadku:

{\ displaystyle m \, \ mathrm {d} {\ mathcal {W}} ^ {2} = {\ mathcal {M}} _ {F / O} \, \ mathrm {d} A}

pod warunkiem, że za prędkość weźmie się prędkość areolarną, moment siły za siłę, element powierzchni przetaczanej dla przemieszczenia elementarnego.

Prawo obszarów

Jeśli prędkość obszaru jest stała, skanowane obszary są proporcjonalne do czasu.

Niech więc $C$ będzie stałą. Jeśli prędkość obszaru jest stała, mamy:

{\ Displaystyle \ rho ^ {2} {\ Frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = C}

Pochodna w czasie daje:

{\ Displaystyle 2 \ rho {\ Frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = 0}

Lub:

{\ Displaystyle \ rho \ left (2 {\ Frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ Frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d}) t}} + \ rho {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right) = 0}

Teraz jest składową przyspieszenia prostopadłą do wektora promienia. ${\ Displaystyle 2 {\ Frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ Frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}$

To pokazuje, że jeśli prędkość powierzchniowa jest stała, składnik przyspieszenia prostopadłego do wektora promienia wynosi zero .

Przykłady

Ruchomy opisujący elipsę, której prędkość powierzchniowa w środku elipsy jest stała.

W takiej sytuacji przyspieszenie w kierunku środka (czyli siła) jest proporcjonalne do odległości od środka elipsy. Jest to prawo typu Hooke'a .

Rzeczywiście, elipsa ma do równania:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} x = a \ cos (\ phi) \\ y = b \ sin (\ phi) \ koniec {przypadków}}}

We współrzędnych prostokątnych wyprowadzenie według czasu daje:

{\ displaystyle {\ begin {przypadków} {\ Frac {dx} {dt}} = - a \ sin (\ phi) \, {\ frac {d \ phi} {dt}} \\ {\ Frac {dy} {dt}} = b \ cos (\ phi) \, {\ frac {d \ phi} {dt}} \ end {sprawy}}}

Tak więc zapisywana jest prędkość obszarowa ${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (x {\ Frac {\ mathrm {d} y} { \ mathrm {d} t}} - y {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) = a \, b \, {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} = \ mathrm {C}}$

Wnioskujemy, że prędkość kątowa jest stała:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {C}} {a \, b}} = \ mathrm {K}}

Skąd ${\ Displaystyle \ phi = \ mathrm {K} t}$

A więc prawo ruchu to:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} x = a \ cos (\ mathrm {K} t) \\ y = b \ sin (\ mathrm {K} t) \ koniec {przypadków}}}

Z drugiej strony wiadomo, że przy stałej prędkości pola składowa przyspieszenia prostopadłego do promienia wektora wynosi zero. Mamy wtedy

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = \ Gamma _ {n} \ cos (\ phi) = \ Gamma _ {n } {\ frac {x} {\ rho}}}

Z następującymi oznaczeniami:

Γ n

: przyspieszenie na promieniu wektorowym (wskazując w ten sposób w kierunku środka elipsy)

ϕ

: kąt między wektorem promienia a osią

x

ρ

: wektor promienia, odległość między komórką a środkiem elipsy.

To daje :

{\ Displaystyle -a \, \ Mathrm {K} ^ {2} \ cos (\ Mathrm {K} t) = \ Gamma _ {n} a {\ Frac {\ cos (\ Mathrm {K} t)} { \ rho}}}

Skąd :

{\ Displaystyle \ Gamma _ {n} = - \ mathrm {K} ^ {2} \ rho}

Ruchomy opisujący elipsę, której prędkość areolarna w ognisku elipsy jest stała

W takim przypadku przyspieszenie na promieniu wektora jest proporcjonalne do odwrotności kwadratu odległości od ogniska elipsy. Jest to prawo typu Uniwersalne prawo grawitacji . Zobacz także prawa Keplera .

Link zewnętrzny

Definicja prędkości obszarowej [1]

Bibliografia

Dziennik ,1823, 612 s. ( czytaj online ) , s. 163.