W matematyce , trójkąt Pascala to prezentacja Symbol Newtona w trójkącie . Został nazwany na cześć francuskiego matematyka Blaise'a Pascala . Na Zachodzie znany jest pod nazwą „trójkąt Pascala”, chociaż był badany przez innych matematyków, czasem kilka wieków przed nim, w Indiach , w Persji (gdzie nazywa się go „trójkątem Chajjamu ”), w Maghrebie , w Chiny (gdzie nazywany jest „trójkątem Yang Hui ”), w Niemczech i we Włoszech (gdzie nazywany jest „trójkątem Tartaglia ”).
Konstrukcja trójkąta rządzi się zależnością Pascala:
dla wszystkich liczb całkowitych n i k takich, że 0 < k < n .
Trójkąt Pascala można uogólnić na inne wymiary. Wersja trójwymiarowa nazywana jest piramidą Pascala lub czworościanem Pascala , natomiast wersje ogólne nazywane są simpleksami Pascala.
Tradycja nadaje trójkątowi opisanemu powyżej nazwę trójkąt Pascala. Jednak ten trójkąt był znany już na Wschodzie i na Bliskim Wschodzie kilka wieków przed publikacją Blaise'a Pascala . Był dobrze znany perskich matematyków, na przykład al-Karaji ( 953 - 1029 ) lub Omar Khayyam w XI -tego wieku lub matematycy Maghrebu jako Ibn al-Banna i jego zwolenników, którzy używają go rozwijać ( a + b ) n . Wydaje się w Chinach już w 1261 roku w pracy przez Yang Hui (w randze 6) oraz w Jade Lustro z czterech elementów przez Zhu Shijie w 1303 (w randze 8). Yang Hui przypisać autorstwo trójkąta chiński matematyk z XI -tego wieku Jia Xian . Trójkąt ten umożliwił przedstawienie współczynników różnych wyrazów we wzorze dwumianowym i według Victora J. Katza posłużył do uogólnienia na stopnie większe niż 2 metody ekstrakcji korzeni.
W Europie pojawia się w dziele Petera Apian , Rechnung (1527). Studiują go Michael Stifel (1486-1567), Tartaglia (1499-1557) i François Viète (1540-1603). Co więcej, pod nazwą „trójkąt Tartaglia” jest znany we Włoszech. Znany jest również Marin Mersenne (1588-1648). Ale to Blaise Pascal poświęca jej traktat: Traktat o trójkącie arytmetycznym (1654) wykazujący 19 jego własności, własności wynikających po części z kombinatorycznej definicji współczynników. Wiele z tych właściwości było już znanych, ale zaakceptowanych i niewykazanych. Aby je zademonstrować, Pascal ustanawia w swoim traktacie dopracowaną wersję rozumowania przez indukcję . Pokazuje związek między trójkątem a formułą dwumianową. Posługuje się nim przy rozwiązywaniu problemu sprawiedliwego podziału stawek w grze losowej, która zostaje przerwana przed upływem określonego terminu (problem stron).
Pisząc wzór Pascala,
dla wszystkich liczb całkowitych i oraz j takich, że 0 < j < i , ,zauważamy, że współczynnik rzędu i i kolumny j otrzymujemy przez dodanie współczynników rzędu i -1 i kolumny j -1 oraz rzędu i -1 i kolumny j . Dodatkowo posiadamy:
.Wyprowadzamy metodę konstrukcji trójkąta Pascala, która polega na umieszczeniu w formie piramidy 1 na szczycie piramidy, a następnie 1 i 1 poniżej, po obu stronach. Końce linii to zawsze jedynki, a pozostałe liczby to suma dwóch liczb bezpośrednio nad nimi.
W formie trójkątnej i oznacza indeks wiersza, a j indeks kolumny:
Wyobraź sobie, że każda liczba w trójkącie jest węzłem w sieci, który jest połączony z sąsiednimi liczbami powyżej i poniżej. Teraz dla dowolnego węzła w sieci policzmy liczbę ścieżek w sieci (bez cofania się), które łączą ten węzeł z górnym węzłem trójkąta. Odpowiedzią jest numer Pascala powiązany z tym węzłem.
Trójkąt Pascala jest często używany w rozwinięciach dwumianowych . Rzeczywiście, na tej samej linii znajdują się wszystkie współczynniki ingerujące w rozwój potęgi sumy dwóch wyrazów.
Przykład: ( X + 1) 2 = X 2 + 2 X + 1 2 a współczynniki każdego jednomianu są współczynnikami trzeciej linii trójkąta Pascala (linia rzędu 2), tj. 1, 2, 1. Uogólnienie: ( X + Y ) n = a 0 X n Y 0 + a 1 X n –1 Y 1 + ... + a n X 0 Y n , gdzie współczynniki są tymi z n +1 e linii Pascala trójkąt (linia rzędu n ).Znając formułę sumowania , po prostu pojawia się kilka właściwości.
Niech a = b = 1 , wtedy mamy .
Niech a = 1 i b = –1 , wtedy mamy .
Znając te dwie równości, z których jedna jest naprzemienną sumą, okazuje się, że suma wyrazów rzędu 0, 2, 4, ... z rzędu wynosi 2 n –1 i jest równa sumie wyrazów d zamów 1, 3, 5, ....
Liczba w kolumnie p (liczenie kolumn zaczynając od 0) iw wierszu n (liczenie wierszy zaczynając od 0) wskazuje liczbę możliwych kombinacji p elementów w zestawie n- elementowym.
W wierszu n i kolumnie p mamy .
Wszystkie wiersze o parzystej randze ( 2 n ) mają wyraz centralny, dzieląc ten wyraz przez n +1 lub usuwając jego sąsiada otrzymujemy liczbę katalońską .
Jeśli wpisujemy trójkąt Pascala w trójkątną ramkę, suma komórek zawierających wyrazy nieparzyste jest trójkątem Sierpińskiego .
Jeśli p jest liczbą pierwszą większą niż 2 , analogiczne struktury fraktalne można otrzymać przez barwienie wszystkich komórek, które nie są zgodne z 0 modulo p .
Liczby znajdujące się na trzeciej przekątnej zstępującej odpowiadają liczbom trójkątnym , na czwartej przekątnej liczbom czworościennym , na piątej przekątnej liczbom pentatopowym, a na n-tej przekątnej liczbom n-tematycznym.
Wzór dwumianowy zastosowany do wzoru Moivre'a
pozwala rozwinąć cos ( n θ) i sin ( n θ) .
Współczynniki znajdujące się w wierszu rangi n umożliwiają zapisanie tan ( n θ) w funkcji t = tan (θ)
Przykład: w linii 4 czytamy 1 - 4 - 6 - 4 - 1 i Wzór ogólny .Współczynniki znajdujące się na rosnącej przekątnej pozwalają wyrazić grzech ( n θ) jako iloczyn grzechu (θ) przez wielomian w 2 cos (θ) (patrz wielomian Czebyszewa ):
Przykład: na rosnącej przekątnej rzędu 5 czytamy 1 - 3 - 1 igdzie U 4 jest wielomianem Czebyszewa drugiego rodzaju rzędu 4. Uogólnienie: jeśli wyrazy przekątnej rosnącej rzędu n są , to mamy
W konsekwencji współczynniki znajdujące się na rosnącej przekątnej rzędu n umożliwiają wyznaczenie wielomianu stopnia [( n -1) / 2], którego pierwiastkami są wartości dla k zmieniające się od 1 do
Przykład: na przekątnej rzędu 7 czytamy 1 - 5 - 6 - 1, więc wiemy, że (dla k = 1, 2, 3) są pierwiastkami . Uogólnienie: ma dla korzeni .Współczynniki ( x + 1) n są n- tą linią trójkąta. Współczynniki ( x - 1) n są takie same, z wyjątkiem tego, że znak jest naprzemienny.
Po odpowiedniej normalizacji ten sam ciąg liczb występuje w transformacji Fouriera sin ( x ) n + 1 / x .
Dokładniej: jeśli n jest parzyste, należy wziąć rzeczywistą część transformacji, a jeśli n jest nieparzyste, należy wziąć część urojoną.
Wynikiem jest wtedy funkcja schodkowa, której wartości (odpowiednio znormalizowane) są podane przez n- ty rząd trójkąta z naprzemiennymi znakami.
Więc :
komponuje 4 ty rząd trójkąta, z objawami zmienny.
Jest to uogólnienie następującego wyniku (często stosowanego w elektrotechnice):
jest funkcją Heaviside'a .
Odpowiedni rząd trójkąta to rząd 0, który jest ograniczony do liczby 1.
Relacja Pascala rozciąga się na uogólnione współczynniki dwumianowe , w których jest liczbą zespoloną .
Trójkąt Pascala łatwo uogólnia się na wyższe wymiary. Wersja trójwymiarowa nazywana jest piramidą Pascala .
Trójkąt Pascala uogólnia dla wierszy ujemnych.
Najpierw napisz trójkąt w następującej formie, zwanej tablicą A ( m , n ):
m = 0 | m = 1 | m = 2 | m = 3 | m = 4 | m = 5 | ... | |
n = 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
n = 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
Następnie napisz to w następujący sposób:
m = 0 | m = 1 | m = 2 | m = 3 | m = 4 | m = 5 | ... | |
n = -4 | 1 | ... | |||||
n = -3 | 1 | ... | |||||
n = -2 | 1 | ... | |||||
n = -1 | 1 | ... | |||||
n = 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
n = 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
Formuła :
można zmienić w następujący sposób:
co pozwala na obliczenie warunków rangi ujemnej:
m = 0 | m = 1 | m = 2 | m = 3 | m = 4 | m = 5 | ... | |
n = -4 | 1 | -4 | 10 | -20 | 35 | −56 | ... |
n = -3 | 1 | -3 | 6 | -10 | 15 | −21 | ... |
n = -2 | 1 | -2 | 3 | -4 | 5 | -6 | ... |
n = −1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | ... |
n = 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
n = 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
To rozszerzenie zachowuje formuły:
.i
Więc :
Inna możliwość rozszerzenia w porównaniu z wierszami ujemnymi jest następująca:
m = -4 | m = -3 | m = -2 | m = -1 | m = 0 | m = 1 | m = 2 | m = 3 | m = 4 | m = 5 | ... | |
n = -4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = -3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | |
n '= -2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | ||
n = -1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | |||
n = 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
n = 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
Stosując te same zasady co poprzednio, wychodzi:
m = -4 | m = -3 | m = -2 | m = -1 | m = 0 | m = 1 | m = 2 | m = 3 | m = 4 | m = 5 | ... | |
n = -4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = -3 | -3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = -2 | 3 | -2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = -1 | -1 | 1 | -1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
n = 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
n = 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
To uogólnienie umożliwia zachowanie wykładniczej własności macierzy. Rzeczywiście, jak mamy,
,rozciągamy się na
Te dwa uogólnienia można również uzyskać za pomocą funkcji gamma , pisząc:
.