Twierdzenie wirialne

W mechanice The twierdzenie o wiriale jest ogólna zależność która odnosi się do układu z kilku jednostek współdziałających. Łączy średnie czasowe jego energii kinetycznej i potencjalnej . Został on zaproponowany w 1870 roku przez Rudolfa Clausiusa, który wówczas pracował nad podstawami termodynamiki i starał się powiązać pojęcia temperatury i ciepła z ruchami cząsteczek gazu.

Historyczny

Termin „viriel” z łac. vis (siła) i twierdzenie zostały zaproponowane przez Rudolfa Clausiusa w 1870 roku. W języku francuskim termin „viriel” jest przestarzałym synonimem „potencjału”.

Stwierdzenie twierdzenia

Oryginalne oświadczenie

Jak pierwotnie stwierdził Rudolf Clausius , twierdzenie to odnosi się do stabilnego zbioru cząstek masowych, identyfikowanych na podstawie ich pozycji i prędkości , na które wywierane są siły . To jest napisane: m{\ styl wyświetlania m}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}v→{\ styl wyświetlania {\ vec {czas.}}}fa→{\ displaystyle {\ vec {F}}}

Σ12mv2Ż=-12Σr→⋅fa→Ż{\ displaystyle \ suma {\ frac {1} {2}} m {\ overline {v ^ {2}}} = - {\ frac {1} {2}} \ suma {\ overline {{\ vec {r }} \ cdot {\ vec {F}}}}}

gdzie słupek oznacza średnią czasową odpowiednich ilości.

Szczególny przypadek

Często zachowujemy następujący przypadek szczególny:

Twierdzenie o wiriale  -  w systemie, w dynamicznej równowadze , energia kinetyczna jest przeciwieństwem połowę energii potencjalnej  : mivs{\ styl wyświetlania E_ {c}} mip{\ styl wyświetlania E_ {p}}

2mivs+mip=0{\ displaystyle 2E_ {c} + E_ {p} = 0}.

Wynik ten jest prostą konsekwencją podstawowej zasady dynamiki , zastosowanej do zbioru mas we wzajemnym oddziaływaniu grawitacyjnym ( problem N-ciał ).

Całkowita energia E = E c + E p wynosi zatem

mi=12mip=-mivs{\ displaystyle E = {\ tfrac {1} {2}} E_ {p} = - E_ {c}}.

Demonstracja

W dynamice N-ciał

Hipoteza

Niech będzie izolowany układ N masywnych ciał o stałej masie, dlatego każde ciało doświadcza tylko sił grawitacyjnych swoich sąsiadów.

Zgodnie z powszechnym prawem grawitacji siła grawitacji wywierana na ciało i jest zapisana:

faja=-Σjot≠jajotsolmjamjotrja-rjot|rja-rjot|3{\ displaystyle F_ {i} = - \ suma _ {\ overset {j} {j \ neq i}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {r_ {i} -r_ {j}} {| r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}}}

Zgodnie z podstawową zasadą dynamiki , ta sama siła grawitacyjna wywierana na ciało i jest napisana:

faja=mjare2rjaret2{\ displaystyle F_ {i} = m_ {i} {\ frac {\ matematyka {d} ^ {2} r_ {i}} {\ matematyka {d} t ^ {2}}}}

Należy zauważyć, że pierwsze wyrażenie dotyczy masy grobowej, podczas gdy drugie dotyczy masy bezwładnej , zasada równoważności umożliwia jednak ich identyfikację.

Mnożąc i sumując wszystkie masy i , otrzymujemy: rja{\ styl wyświetlania r_ {i}}

-Σja≠jotja,jotsolmjamjotrja(rja-rjot)|rja-rjot|3=Σjafajarja=Σjamjarjare2rjaret2(1){\ displaystyle - \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {r_ {i} (r_ {i} -r_ {j})} {| r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}} = \ suma _ {i} F_ {i} r_ {i} = \ suma _ {i} m_ {i} r_ {i} {\ frac {\ matematyka {d} ^ {2} r_ {i}} {\ matematyka {d} t ^ {2}}} \ quad (1)}

Wymieniając ciche indeksy mamy:

Σja≠jotja,jotsolmjamjotrja(rja-rjot)|rja-rjot|3=Σja≠jotja,jotsolmjamjotrjot(rjot-rja)|rjot-rja|3{\ displaystyle \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {r_ {i} (r_ {i} -r_ {j})} { | r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}} = \ suma _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {r_ { j} (r_ {j} -r_ {i})} {| r_ {j} -r_ {i} | ^ {3}}}}

Skąd :

-Σja≠jotja,jotsolmjamjotrja(rja-rjot)|rja-rjot|3=-12Σja≠jotja,jotsolmjamjot(rja(rja-rjot)|rja-rjot|3+rjot(rjot-rja)|rjot-rja|3)=-12Σja≠jotja,jotsolmjamjot(rja-rjot)2|rja-rjot|3=-12Σja≠jotja,jotsolmjamjot|rja-rjot|(2){\ displaystyle - \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {r_ {i} (r_ {i} -r_ {j})} {| r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ { i} m_ {j} \ lewo ({\ frac {r_ {i} (r_ {i} -r_ {j})} {| r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}} + {\ frac {r_ {j} (r_ {j} -r_ {i})} {| r_ {j} -r_ {i} | ^ {3}}} \ prawy) = - {\ frac {1} {2} } \ sum _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {(r_ {i} -r_ {j}) ^ {2}} {| r_ {i} -r_ {j} | ^ {3}}} = - {\ frac {1} {2}} \ suma _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} G {\ frac { m_ {i} m_ {j}} {| r_ {i} -r_ {j} |}} \ quad (2)}

Obliczanie :

re2(rja2)ret2=reret(2rjarerjaret)=2(rerjaret)2+2rjare2rjaret2{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} (r_ {i} ^ {2})} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} } {\ mathrm {d} t}} \ po lewej (2r_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ po prawej) = 2 \ po lewej ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ po prawej) ^ {2} + 2r_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} r_ {i} } {\ matematyka {d} t ^ {2}}}}

on przychodzi :

rjare2rjaret2=12re2(rja2)ret2-(rerjaret)2{\ displaystyle r_ {i} {\ frac {\ matematyka {d} ^ {2} r_ {i}} {\ matematyka {d} t ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}} { \ frac {\ mathrm {d} ^ {2} (r_ {i} ^ {2})} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - \ lewo ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ matematyka {d} t}} \ prawo) ^ {2}}

stąd, przypominając niezmienność masy w czasie:

Σjamjarjare2rjaret2=12Σjamjare2(rja2)ret2-Σjamja(rerjaret)2=12re2ret2(Σjamjarja2)-Σjamja(rerjaret)2(3){\ displaystyle \ suma _ {i} m_ {i} r_ {i} {\ frac {\ matematyka {d} ^ {2} r_ {i}} {\ matematyka {d} t ^ {2}}} = { \ frac {1} {2}} \ suma _ {i} m_ {i} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} (r_ {i} ^ {2})} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - \ suma _ {i} m_ {i} \ po lewej ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ po prawej) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ lewo (\ sum _ {i} m_ {i } r_ {i} ^ {2} \ po prawej) - \ suma _ {i} m_ {i} \ po lewej ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ po prawej) ^ {2} \ quad (3)}

Wprowadzając równości (2) i (3) w (1) , otrzymujemy :

-12Σja≠jotja,jotsolmjamjot|rja-rjot|+Σjamja(rerjaret)2=12re2ret2(Σjamjarja2)(4){\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} \ suma _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} G {\ frac {m_ {i} m_ {j}} {| r_ { i} -r_ {j} |}} + \ suma _ {i} m_ {i} \ po lewej ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ po prawej) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ lewo (\ suma _ {i } m_ {i} r_ {i} ^ {2} \ prawy) \ quad (4)}

W tym równaniu rozpoznajemy:

• grawitacyjna energia potencjalna  :

mip=-12Σja≠jotja,jotsolmjamjot|rja-rjot|{\ displaystyle E_ {p} = - {\ frac {1} {2}} \ suma _ {\ overset {i, j} {i \ neq j}} G {\ frac {m_ {i} m_ {j} } {| r_ {i} -r_ {j} |}}}

• energia kinetyczna  :

mivs=12Σjamja(rerjaret)2{\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {1} {2}} \ suma _ {i} m_ {i} \ lewo ({\ frac {\ mathrm {d} r_ {i}} {\ mathrm {d } t}} \ po prawej) ^ {2}}

• moment bezwładności  :

ja=Σjamjarja2{\ styl wyświetlania I = \ suma _ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2}}

Równanie (4) zostaje zatem przepisane:

mip+2mivs=12re2jaret2{\ displaystyle E_ {p} + 2E_ {c} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} I} {\ mathrm {d} t ^ {2}} }}

Przyjmijmy teraz średnią wartość w przedziale czasu [t, t + Δt] dwóch elementów tego równania:

<mip>+2<mivs> =12Δt∫tt+Δtretre2jaret2=1Δt∫tt+ΔtretreretΣjamjar→jav→ja=1Δt[(Σjamjar→jav→ja)t+Δt-(Σjamjar→jav→ja)t]{\ displaystyle <E_ {p}> + 2 <E_ {c}> = {\ frac {1} {2 \ Delta t}} \ int _ {t} ^ {t + \ Delta t} dt {\ frac { \ mathrm {d} ^ {2} I} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ Delta t}} \ int _ {t} ^ {t + \ Delta t } dt {\ frac {d} {dt}} \ sum _ {i} m_ {i} {\ overrightarrow {r}} _ {i} {\ overrightarrow {v}} _ {i} = {\ frac {1 } { \ Delta t}} [(\ sum _ {i} m_ {i} {\ overrightarrow {r}} _ {i} {\ overrightarrow {v}} _ {i}) _ {t + \ Delta t} - (\ sum _ {i} m_ {i} {\ overrightarrow {r}} _ {i} {\ overrightarrow {v}} _ {i}) _ {t}]}

Biorąc pod uwagę, że wymiar układu pozostaje ograniczony w czasie, jak również prędkość każdego z ciał tworzących układ (zakładając, że odległość między dwoma ciałami jest ograniczona poniżej, ze względu na ich wymiary przestrzenne i przy braku bezpośredniego zderzenia), dwa terminy w nawiasie są ograniczone. Dlatego prawa strona dąży do zera, gdy Δt dąży do nieskończoności. Stąd wynik.

W fizyce kwantowej

Stany

2⟨T⟩=nie⟨V⟩{\ displaystyle 2 \ langle T \ rangle = n \ langle V \ rangle}

gdzie odpowiada średniej wartości energii kinetycznej⟨T⟩{\ displaystyle \ langle T \ rangle} i odpowiada średniej wartości wyrażonego potencjału⟨V⟩{\ styl wyświetlania \ langle V \ rangle}V(x)=λ⋅xnie{\ displaystyle V (x) = \ lambda \ cdot x ^ {n}}

Demonstracja

Pokażmy, że  : ⟨[H,XP]⟩=0{\ displaystyle \ langle [H, XP] \ rangle = 0}

⟨[H,XP]⟩=⟨φ|HXP|φ⟩-⟨φ|XPH|φ⟩{\ displaystyle \ langle [H, XP] \ rangle = \ langle \ phi | HXP | \ phi \ rangle - \ langle \ phi | XPH | \ phi \ rangle}

Teraz iH|φ⟩=mi|φ⟩{\ displaystyle H | \ phi \ rangle = E | \ phi \ rangle}⟨φ|H=mi⟨φ|{\ displaystyle \ langle \ fi | H = E \ langle \ fi |}

Więc (1) ⟨[H,XP]⟩=mi⟨φ|XP|φ⟩-mi⟨φ|XP|φ⟩=0{\ displaystyle \ langle [H, XP] \ rangle = E \ langle \ phi | XP | \ phi \ rangle -E \ langle \ phi | XP | \ phi \ rangle = 0}

Popracujmy nad  : [H,XP]{\ styl wyświetlania [H, XP]}

[H,XP]=HXP-XPH=HXP-XHP+XHP-XPH{\ styl wyświetlania [H, XP] = HXP-XPH = HXP-XHP + XHP-XPH}

Tak więc (2) [H,XP]=[H,X]P+X[H,P]{\ styl wyświetlania [H, XP] = [H, X] P + X [H, P]}

Ekspresowe i  : [H,X]{\ styl wyświetlania [H, X]}[H,P]{\ styl wyświetlania [H, P]}

[H,X]=-[X,H]=-[X,P2]2m=-jaℏ⋅Pm{\ displaystyle [H, X] = - [X, H] = {\ frac {- [X, P ^ {2}]} {2m}} = {\ frac {-i \ hbar \ cdot P} {m }}} [H,P]=[V(x),P]=jaℏ∂V∂x{\ displaystyle [H, P] = [V (x), P] = i \ hbar {\ frac {\ częściowy V} {\ częściowy x}}} (3)

Wróćmy do  : ⟨[H,XP]⟩=0{\ displaystyle \ langle [H, XP] \ rangle = 0}

Używając (2), znajdujemy:

0=⟨[H,X]P⟩+⟨X[H,P]⟩{\ displaystyle 0 = \ langle [H, X] P \ rangle + \ langle X [H, P] \ rangle}

Podobnie, używając (3), znajdujemy

⟨P2m⟩=nie⟨V⟩{\ displaystyle \ lewo \ langle {\ frac {P ^ {2}} {m}} \ prawo \ rangle = n \ langle V \ rangle}

Stąd oczekiwany wynik:

2⟨T⟩=nie⟨V⟩{\ displaystyle 2 \ langle T \ rangle = n \ langle V \ rangle}

W termodynamice

Aplikacje

W astrofizyce

Mówiąc bardziej ogólnie, twierdzenie o wirusie jest szeroko stosowane w astrofizyce . W szczególności można go wykorzystać do oszacowania limitu Chandrasekhara na masę białych karłów.

Twierdzenie o wiriale jest szeroko stosowane w dynamice galaktycznej . Na przykład umożliwia szybkie uzyskanie rzędu wielkości całkowitej masy M gromady gwiazd, jeśli znamy średnią prędkość V gwiazd w gromadzie i średnią odległość R między dwiema gwiazdami gromady, co może być oszacowane na podstawie obserwacji:

• E c  ~ ½MV²
• E p  ~ - GM² / 2R

Współczynnik 1/2 w E p wynika z faktu, że dla układu cząstek konieczne jest unikanie liczenia podwójnej energii potencjalnej związanej z parą.

Wtedy pojawia się 2E c = - E p ⟺ M = 2RV² / G

Zagadka o ciemnej materii

Ponieważ możliwe jest również wyznaczenie masy widocznych gwiazd na podstawie ich jasności , możemy porównać całkowitą masę uzyskaną przez twierdzenie wirialne z masą widzialną. Fritz Zwicky był najpierw do obliczeń i obserwuje się znaczną różnicę (współczynnik 10 w skali galaktyk i wskaźnika 100 na skali klastrów) pomiędzy tymi dwiema wielkościami, które doprowadziły astrofizyków zakładać istnienia substancji. Czerni , czyli nie wykrywalne przez instrumenty. Jedynym możliwym wyjaśnieniem byłoby to, że prawo grawitacji nie obowiązuje na dużą skalę, ale żaden trop w tym kierunku do tej pory nie dał żadnego rezultatu.

Możemy pokazać, że ta ciemna materia dominuje w masie galaktyk poza ich dyskiem , w halo, gdzie rozciąga się do 100-200 kiloparseków (kpc) - w porównaniu z 10-20 kpc dla masy widzialnej.

W termodynamice

Uwagi i referencje

1. (De) Rudolf Clausius, „  Ueber einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz  ” , Annalen der Physik , tom.  141,1870, s.  124–130 ( czytaj online )
   (en) Rudolf Clausius, „  O twierdzeniu mechanicznym mającym zastosowanie do ciepła  ” , Philosophical Magazine, Ser. 4 , tom.  40,1870, s.  122–127
2. Leksykograficzne i etymologiczne definicje „viriel” ze skomputeryzowanej skarbnicy języka francuskiego na stronie internetowej Krajowego Centrum Zasobów Tekstowych i Leksykalnych .
3. (w) Collins GW, The virial Theorem in Stellar Astrophysics , Pachart Press,1978( prezentacja online )
4. (w) Chandrasekhar S, An Introduction to the Study of Stellar Structure , Chicago, University of Chicago Press ,1939, s.  49–53
5. (w) Kourganoff V, Wprowadzenie do zaawansowanej astrofizyki , Dordrecht, Holandia, D. Reidel,1980, s.  59-60, 134-140, 181-184

Link zewnętrzny

• Virial ujawnia ciemną materię , laboratorium astrocząsteczkowe i kosmologiczne

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">