Twierdzenie Zsigmondy'ego

W teorii liczb , twierdzenie Zsigmondy'ego , nazwane na cześć Karla Zsigmondy (de) , stwierdza, że jeśli a > b > 0 są liczbami całkowitymi pierwszymi między sobą , to dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 1 istnieje liczba pierwsza p (zwana prymitywnym dzielnikiem liczby pierwszej ), która dzieli a n - b n i nie dzieli a k - b k przez k < n , z następującymi wyjątkami:

n = 1 , a - b = 1 ; wtedy a n - b n = 1, który nie ma głównych dzielników;
n = 2 , + b jest mocą dwóch ; wtedy każdy nieparzysty czynnik pierwszy a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a 1 - b 1 ) musi być zawarty w a 1 - b 1 , które również jest parzyste;
n = 6 , a = 2 , b = 1 ; wtedy a 6 - b 6 = 63 = 3 2 × 7 = ( a 2 - b 2 ) 2 ( a 3 - b 3 ).

Uogólnia to twierdzenie Bang, które stwierdza, że jeśli n > 1 i n różne od 6, to 2 n - 1 ma główny dzielnik, który nie dzieli 2 k - 1 dla żadnego k < n .

Podobnie a n + b n ma co najmniej jeden pierwotny dzielnik pierwszy, z wyjątkiem 2 3 + 1 3 = 9 .

Twierdzenie Zsigmondy'ego jest często przydatne, szczególnie w teorii grup , gdzie jest używane do pokazania, że różne grupy mają różne rzędy , z wyjątkiem przypadków, gdy są równe.

Historia

Twierdzenie zostało odkryte przez Zsigmondy, który pracował w Wiedniu od 1894 do 1925 roku.

Uogólnienia

Niech będzie ciągiem niezerowych liczb całkowitych. Zestaw Zsigmondy związane z pakietem jest zestaw ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (a_ {n}) = \ {n \ geq 1 \ mid a_ {n} {\ tekst {nie ma pierwotnego dzielnika liczby pierwszej}} \}}

to znaczy zbiór indeksów taki, że każda dzieląca liczba pierwsza również dzieli się na pewną . Zatem twierdzenie zakłada, że Zsigmondowi , a twierdzenie Carmichael (w) stwierdza, że wszystko Zsigmondy od Fibonacciego jest , i że w wyniku Pell „s . W 2001 roku Bilu i Hanrot Voutier wykazali, że generalnie jeśli jest wynikiem Lucasa lub Lehmera (in) , to . $nie$ $rok$ $jestem}$ $m <n$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (a ^ {n} -b ^ {n}) \ podzbiór \ {1,2,6 \}}$ ${\ displaystyle \ {1, 2, 6, 12 \}}$ $\ {1 \}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} (a_ {n}) \ podzbiór \ lewo [1,30 \ prawo]}$

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Twierdzenie Zsigmondy'ego ” ( zobacz listę autorów ) .

(w) Y. Bilu, G. Hanrot i PM Voutier, „ Istnienie prymitywnych dzielników liczb Lucasa i Lehmera ” , J. Queen angew. Matematyka. , vol. 539,2001, s. 75-122.

Zobacz też

Bibliografia

(en) Graham Everest , Alf van der Poorten (en) , Igor Shparlinski i Thomas Ward , Recurrence sequences , Providence (RI) , AMS , pot. "Badania matematyczne i monografii" ( N O 104)2003( ISBN 0-8218-3387-1 , zbMATH 1033.11006 ) , str. 103-104
(en) Walter Feit , „ On Large Zsigmondy Primes ” , Proc. Natl. Gorzki. Matematyka. Soc. , vol. 102 n o 1,1988, s. 29-36 ( DOI 10.2307 / 2046025 , JSTOR 2046025 )
(en) Moshe Roitman, „ On Zsigmondy Primes ” , Proc. Natl. Gorzki. Matematyka. Soc. , vol. 125 n O 7,1997, s. 1913-1919 ( DOI 10.1090 / S0002-9939-97-03981-6 , JSTOR 2162291 )
(de) Th. Schmid, „ Karl Zsigmondy ” , Jahresber. DMV , obj. 36,1927, s. 167-168 ( czytaj online )
(de) K. Zsigmondy, „ Zur Theorie der Potenzreste ” , Monatshefte für Mathematik , vol. 3, N O 1,1892, s. 265-284 ( DOI 10.1007 / BF01692444 )

Link zewnętrzny

(en) Eric W. Weisstein , „ Zsigmondy Theorem ” , na MathWorld