Twierdzenie Chevalleya-Warninga jest twierdzeniem algebry, które zapewnia, że w przypadku ciała skończonego niektóre równania wielomianowe w wystarczającej liczbie zmiennych mają rozwiązania. Nieco wcześniejsza słabsza wersja, twierdzenie Chevalleya , wykazała hipotezę Artina i Dicksona , że każde pole skończone jest quasi-algebraicznie zamknięte .
Rozważamy niezerowe wielomiany P j ( x 1 ,…, x n ) o odpowiednich stopniach d j , ze współczynnikami w skończonym polu F o charakterystyce p . tak
więc :
Hipoteza jest optymalna w tym sensie, że w każdym skończonym polu F i dla wszystkich n istnieją wielomiany w n zmiennych, których suma stopni jest równa n i których (0,…, 0) jest jedynym wspólnym pierwiastkiem, dla Przykład z n wielomiany x 1 , ..., x n lub wielomianem stopnia n oblicza się według normy o x 1 1 + x n n , gdzie K , tworzą podstawy z rozszerzenia stopnia n o F .
Twierdzenie Chevalleya zostało przeformułowane przez stwierdzenie, że ranga Tsena (en) dowolnego pola skończonego jest równa 1.
Przez oznaczający q liczność z F mamy (jeśli q ≠ 2), dla każdej liczby naturalnej i < Q - 1 :
(nawet dla i = 0, z konwencją 0 0 = 1 dostosowaną do tego kontekstu) tak, że dla dowolnego wielomianu P ( x 1 ,…, x n ) stopnia < n ( q - 1),
(w istocie przez liniowość wystarczy to sprawdzić na podstawie jednomianów ).
Dotyczy to wielomianu
ponieważ jego stopień jest
Teraz ten wielomian jest wart 1 w każdym wspólnym pierwiastku z P j i 0 w innych miejscach. Liczba wspólnych pierwiastków wynosi zatem zero modulo p .
W twierdzeniu Chevalleya przypadek rodziny wielomianów zredukowanych do jednorodnego wielomianu skutkuje: każde pole skończone jest quasi-algebraicznie zamknięte, co Artin przypuszczał w 1935 roku. Motywacją do tego przypuszczenia była uwaga, że grupa Brauera quasi-algebraicznie zamknięte pole jest trywialne , w połączeniu z faktem, że jest to również pole skończone, zgodnie z twierdzeniem Wedderburna .
Twierdzenie Ax-Katz, zademonstrowane przez Jamesa Axa w przypadku pojedynczego wielomianu, a następnie przez Nicholasa Katza w przypadku ogólnym, zapewnia dokładniej, że liczba wspólnych pierwiastków P j jest podzielna przez q b ( q oznacza również kardynal pola F ), gdzie b jest część całkowita nadmiarem z
Wynik ten jest optymalny w tym sensie, że dla wszystkich F , n i d j istnieje P j stopni d j, dla których liczba wspólnych pierwiastków wynosi q b .
Ma interpretację w kohomologii etale , jako wynik podzielności na odwrotnościach zer i biegunów lokalnej funkcji zeta : ta sama potęga q dzieli każdą z tych algebraicznych liczb całkowitych .