Norma (teoria ciał)

W (przemiennego) teorii pola The normą elementu alfa o skończonej przedłużenie L z pola K jest czynnikiem decydującym o liniowym endomorfizm o K - wektor przestrzeni L , które z X , współpracowników αx . Jest to multiplikatywny homomorfizm . Pojęcie to jest używane w teorii Galois i algebraicznej teorii liczb .

W arytmetyce interweniuje ona przede wszystkim w teorii pól klasowych : abelowe subrozszerzenia danego rozszerzenia są zasadniczo zgodne z grupami norm, to znaczy obrazem w K przez normę pewnych grup L.

Pojęcie to rozciąga się na pojęcie normy ideału pierścienia liczb całkowitych pola liczbowego (tj. Skończonego rozszerzenia pola ℚ liczb wymiernych ), tak że norma ideału głównego jest równa normie względnej na ℚ generatora tego ideału. Udowodnimy, że norma niezerowego ideału jest równa mocy pierścienia ilorazowego i że jest multiplikatywny. Demonstracja skończoności grupy klas wykorzystuje właściwości podnoszące normy ideałów w danej klasie.

Definicje

Niech K będzie ciałem przemiennym, L skończonym rozszerzeniem.

Normą odnoszącą się do przedłużenia L / K elementu alfa z L jest wyznacznikiem endomorfizm cp a- o K- przestrzeń wektorową L , które z X , kojarzy się z elementu αx . Na ogół jest oznaczany jako N L / K ( α ).
Jest to zatem element K , równy iloczynowi pierwiastków wielomianu charakterystycznego χ α φ α , liczonego przez ich wielokrotności , oraz w przedłużeniu, w którym χ α jest rozszczepiona .

Powszechne jest mówienie w ustnych komunikatach lub na forach, gdzie dozwolona jest pewna swoboda, o normie elementu algebraicznego na K bez odniesienia do punktu odniesienia przedłużenia L ; w tym przypadku należy rozumieć, że norma elementu algebraicznego α nad ciałem K (lub nawet po prostu „norma α ”, jeśli pole K zostało wcześniej określone), jest normą α w stosunku do rozszerzenia pojedynczego K ( α ) / K . Czasami jest oznaczany jako N ( α ). Jednak w bardziej formalnych dokumentach pisanych unika się tego użycia i stosuje się notację N K ( α ) / K ( α ) .

Należy również zauważyć, że N K ( α ) / K ( α ) jest iloczynem z korzeni minimalnej wielomianu P z alfa nad K ; Rzeczywiście, dla L = K [ α ] stopnia D , (1, alfa , alfa 2 , ..., α d - 1 ) ma podstawę, w której matryca cp α jest matryca towarzysz od P , a zatem Ď α = P .

Algebraiczne całkowitą danego rozszerzenia oczywiście ma normy w stosunku do tego rozszerzenia, ale także całkowitą. Ta obserwacja doprowadziła do upowszechnienia idei naturalnie standardowych (patrz § algebraiczna teoria liczb ) z ideałami tych pierścień O L algebraicznych całkowitych pola numer L . Następnie udowadniamy, że normą niezerowego ideału J z O L jest (skończona) kardynalność pierścienia ilorazowego O L / J.

Nieruchomości

Oddzielna obudowa

Z związku między normą elementu a jego minimalnym wielomianem natychmiast wnioskujemy:

Norma oddzielnego elementu algebraicznego nad K jest równa iloczynowi jego sprzężonych elementów .

Bardziej ogólnie :

Jeśli L jest rozłączne na K i jeśli S oznacza zbiór K- osadzeń L w normalnym nadmiernym rozciągnięciu , to dla dowolnego elementu α z L,

{\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alfa) = \ prod _ {\ sigma \ w S} \ sigma (\ alfa).}

Demonstracja

Zgodnie z twierdzeniem o elementach pierwotnych , L ma postać K [ m ] dla jakiegoś elementu m. Dla α = m formuła jest niczym innym jak poprzednim przypadkiem specjalnym. Rozciąga się na dowolny element α z L , ponieważ α ma postać Q ( m ) dla pewnego wielomianu Q o współczynnikach w K , tak że φ α = Q (φ m ), więc pierwiastki χ α są obrazami Q tych z and m, a zatem:

{\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alfa) = \ prod _ {\ sigma \ w S} Q (\ sigma (m)) = \ prod _ {\ sigma \ in S} \ sigma (Q (m)) = \ prod _ {\ sigma \ in S} \ sigma (\ alpha).}

Relacje między normami

Względna norma dziedziczy z multiplikatywności wyznacznika:

Względna norma iloczynu dwóch elementów L jest równa iloczynowi względnych norm tych dwóch elementów:

{\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alfa _ {1}) ~ {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alfa _ {2}) = {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha _ {1} \ alpha _ {2})}

Jeśli L jest stopnia n nad K [ α ], to N L / K ( α ) = N ( α ) n . Bardziej ogólnie, obliczenie wyznacznika z macierzą diagonalną bloku daje:

Jeśli L jest stopnia n na pośrednim przedłużeniu F , to dla dowolnego elementu β z F :

{\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ beta) = {\ mathcal {N}} _ {F / K} (\ beta) ^ {n} = {\ mathcal {N}} _ {F / K} (\ beta ^ {n})}

Biorąc do F w rozłączalne zamknięcie z K w L , umożliwia to uogólnić oddzielić przypadku powyżej:

Jeśli n jest w stopień nierozdzielności z L przez K i jeśli S oznacza zbiór K -bondings z L w normalnym overextension Następnie dla każdego elementu z alfa L ,

{\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alfa) = \ prod _ {\ sigma \ w S} \ sigma (\ alfa) ^ {n}}

Dla dowolnego pośredniego rozszerzenia F , stosując ten wzór do L / K , L / F i F / K w tym samym czasie , możemy opisać względną normę dowolnego elementu L za pomocą wzoru kompozycyjnego norm:

Dla dowolnego przedłużenia pośredniego F i dowolnego elementu α z L :

{\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha) = {\ mathcal {N}} _ {F / K} ({\ mathcal {N}} _ {L / F} (\ alfa))}

Możliwe jest również zademonstrowanie tej formuły bez przechodzenia przez produkty indeksowane przez S , dzięki formule składu dla wyznaczników .

Algebraiczna teoria liczb

W tej sekcji K jest ciałem ℚ liczb wymiernych, więc skończone rozszerzenie L jest polem liczbowym. Rozważmy pierścień O L algebraiczne liczby całkowite L . Prosty konkretny przypadek omówiono w artykule „ Quadratic integer ”.

Norma algebraicznej liczby całkowitej i jej względna norma dla dowolnego pola liczb L, które ją zawiera, są względnymi liczbami całkowitymi.
Rzeczywiście, aż do znaku, norma α jest równa stałemu współczynnikowi jego minimalnego wielomianu - który dla liczby algebraicznej ma współczynniki całkowite - a norma względna jest jego potęgą.

W tej sytuacji, jeśli α nie jest równa zero, względne odchylenie standardowe (z definicji) określanie, w bazie B od modułu ℤ O L podstawowej alfa B Spośród modułem a O L . Te matryce zmianę zasady z tych modułów istoty w grupie liniowej z ℤ ich czynniki są równe ± 1. Dlatego naturalne jest rozszerzenie definicji normy odnoszącej się do ideałów w następujący sposób:

Normą o niezerowym idealnego J o O L to wartość bezwzględna wyznacznika, w oparciu o ℤ Younga O L , o podstawie submodule J.

Jest to zatem liczba całkowita naturalna i jeśli J jest główną, ta liczba całkowita jest równa wartości bezwzględnej względnej normy generatora.

Następnie demonstrujemy zapowiedzianą charakterystykę:

Dla każdego niezerowego ideału J z O L iloraz O L / J jest skończony, z licznością równą normie J.

Uzasadnienie definicji i dowód charakterystyki

Niech d będzie stopniem rozszerzenia. Zauważ najpierw, że ℤ-moduł O L jest wolny od rzędu d (por. § „Własności Noether” w artykule „Algebraic integer” ). Zgodnie z twierdzeniem o niezmiennym współczynniku istnieje zatem rodzina generująca J postaci ( p 1 e 1 ,…, p d e d ) z p k liczbami naturalnymi i ( e 1 ,…, e d ) podstawą O L . Ponadto, wszystkie p k jest różne od zera, ponieważ J zawiera submodule a O L Rank d , dla każdego niezerowe α w J . Zatem definicja ma znaczenie (tj .: O L i J są dwoma swobodnymi ℤ-modułami o tej samej skończonej randze), ( p 1 e 1 ,…, p d e d ) jest podstawą J , a norma J jest równe p 1 … p d . Teraz ten iloczyn jest dokładnie kardynałem ilorazu O L / J = (ℤ e 1 ⊕… ⊕ ℤ e d ) / (ℤ p 1 e 1 ⊕… ⊕ ℤ p d e d ) ≃ (ℤ / p 1 ℤ) ×… × (ℤ / p d ℤ).

(Właściwość tę można zinterpretować geometrycznie, mówiąc, że liczba punktów sieci O L, które należą do podstawowej domeny podsieci J, jest równa względnej objętości tej podstawowej domeny: por. § „Covolume” funkcji artykuł „Krata (geometria)” . Szczególny przypadek liczb całkowitych kwadratowych, który jest prostszy, omówiono w artykule „ Ideał pierścienia liczb całkowitych pola kwadratowego ”).

W szczególności, jeśli P jest niezerowym ideałem pierwszym, to O L / P jest skończonym pierścieniem całkowym, więc pole skończone F q , N ( P ) = q jest potęgą liczby pierwszej , a twierdzenie Lagrange'a o grupach natychmiast daje:

Małe twierdzenie Fermata dla pierścienia liczb całkowitych pola liczbowego - Dla dowolnego niezerowego ideału pierwszego P z O L i dowolnego elementu α z O L ,

{\ Displaystyle \ alpha ^ {| N (P) |} \ equiv \ alpha \ mod P}

ponieważ jeśli α nie należy do P, to α | N ( P ) | - 1 ≡ 1 mod p .

Udowadniamy również, bardziej ogólnie, analogię twierdzenia Eulera .

Właściwość multiplikatywności jest zachowana:

Niech J 1 i J 2 będą dwoma niezerowymi ideałami O L , zachodzi następująca równość: ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / \ mathbb {Q}} (J_ {1} \ cdot J_ {2}) = {\ mathcal {N}} _ {L / \ mathbb {Q}} (J_ {1}) ~ {\ mathcal {N}} _ {L / \ mathbb {Q}} (J_ {2})}$ .

Demonstracja

Poniższy dowód opiera się na fakcie, że pierścień O L pochodzi z Dedekind . Każdy ideał jest wytworem ideałów pierwszych, a każdy ideał pierwszy jest maksymalny (por. Artykuł „ Ułamkowy ideał ”). Wystarczy więc udowodnić twierdzenie, że J 2 jest maksymalne, a ogólny przypadek jest następnie traktowany przez kolejne pomnożenie maksymalnych ideałów.

Zgodnie z trzecim twierdzenia izomorfizmu The grupa przemienna O l / J 1 jest izomorficzny z ilorazu z O L / ( J 1 J 2 ) przez podgrupy J 1 / ( J 1 J 2 ). Dlatego wystarczy wykazać, że ta podgrupa jest izomorficzna z O L / J 2 . Niech α będzie elementem J 1, którego nie ma w J 1 J 2 . (Taki element istnieje, ponieważ włączenie J 2 do O L jest więc ścisłe - przez odwracalność ideału ułamkowego J 1 - również J 1 J 2 w J 1 ). Wtedy J 1 −1 α jest ideałem O L, które nie jest zawarte w J 2 , więc idealne J 1 −1 α + J 2 zawiera ściśle maksymalny ideał J 2 , a więc jest równe O L , tj. Istnieje element β z J 1 -1 taki, że 1 - αβ należy do J 2 . Kończymy, zauważając, że naturalny morfizm O L / J 2 w J 1 / ( J 1 J 2 ), który z klasą dowolnego elementu γ z O L wiąże ten z αγ, jest zatem izomorfizmem, a odwrotny morfizm jest taki, że: z J 1 / ( J 1 J 2 ) w O L / J 2 , który z klasą dowolnego elementu δ z J 1 wiąże klasę βδ.

Aplikacje

Normy czasami pozwalają ustalić euklidesowy charakter pewnych pierścieni liczb całkowitych. Tak jest na przykład w przypadku liczb całkowitych Gaussa , Eisensteina i liczb całkowitych ℚ ( √ 5 ) .

W bardziej ogólnym przypadku pól kwadratowych norma pomaga wyjaśnić strukturę pierścienia, aby umożliwić na przykład rozwiązanie równania x 2 + 5 y 2 = p, gdzie p jest liczbą pierwszą .

Jeszcze bardziej ogólnie, norma służy do ustalenia kluczowych wyników algebraicznej teorii liczb, takich jak skończoność grupy klas idealnych pierścienia liczb całkowitych zbioru liczb.

Uwagi i odniesienia

Zobacz na przykład http://mathoverflow.net/questions/146000/structure-of-norm-one-group-for-quadratic-extension-of-p-adic-fields lub http://mathoverflow.net/questions / 158686 / liczby-całkowite-w-formie-m-xn-yn / 158689 # 158689
(in) Lorenz Falko (de) , Algebra , Vol. I: Teoria Fields and Galois , Birkhäuser ,2005, 296 str. ( ISBN 978-0-387-28930-4 , czytaj online ) , str. 136.
Lorenz 2005 , s. 137.
Lorenz 2005 , s. 138.
(en) N. Bourbaki , Elements of Mathematics : Algebra I, Rozdziały 1-3 , Springer ,1990, 710 s. ( ISBN 978-3-540-64243-5 , czytaj online ) , str. 546.
Aby zapoznać się z definicją w bardziej ogólnym kontekście, zobacz artykuł w angielskiej Wikipedii „ Idealna norma ” .
(en) Helmut Koch (de) , Teoria liczb: liczby i funkcje algebraiczne , AMS , pot. " GSM " ( N O 24)2000, 368 str. ( ISBN 978-0-8218-2054-4 , czytaj online ) , str. 78.
(w) Tatsuaki Okamoto, „public-key cryptosystems Quantum” w: Mihir Bellare (de) , Advances in Cryptology - CRYPTO 2000 , Springer , al. "Lecture Notes in Computer Science" ( n O 1880),2000( czytaj online ) , s. 147-165( s. 154 ).
(w) David A. Cox , Primes of the Form $x 2 + ny 2$ , John Wiley & Sons ,2011( 1 st ed. 1989) ( ISBN 978-1-11803100-1 , czytać on-line ) , s. 165.
Bardziej bezpośredni dowód, patrz Koch 2000 , str. 75.

Zobacz też

Powiązany artykuł

Kształt śledzenia

Bibliografia

Pierre Samuel , Algebraiczna teoria liczb [ szczegół wydania ]
Jean-Pierre Serre , kurs arytmetyki ,1970[ szczegóły wydań ]

Link zewnętrzny

Bas Edixhoven i Laurent Moret-Bailly , algebraiczna teoria liczb, kurs magisterski z matematyki , University of Rennes 1 ,2004( czytaj online )