Pierwiastek kwadratowy z pięciu
Pierwiastek z pięciu , znany √ 5 lub 5 1/2 , jest liczbą rzeczywistą zauważyć w matematyce i jest w przybliżeniu równy 2.236.
Jest to kwadratowa liczba niewymierna i kwadratowa liczba całkowita .
Elementy wprowadzające
Definicja, notacja i wymowa
-
√ 5 wymawia się jako „pierwiastek kwadratowy z pięciu”; był również nazywany „radykałem piątki”.
-
√ 5 jest również notowane jako 5 1/2 (notacja Unicode : 5 ½ ).
Przybliżona wartość
√ 5 to w przybliżeniu
Ułamek ciągły
Rozwój ułamka z √ 5 to [2, 4 ] (kontynuacja A040002 z OEIS ). W związku z tym kolejne obniżki są
21,94,3817,682305,28891292...{\ Displaystyle {\ Frac {2} {1}}, {\ Frac {9} {4}}, {\ Frac {38} {17}}, {\ Frac {682} {305}}, {\ Frac {2889} {1292}} \ ldots}
Obliczenie przybliżonej wartości
Metody ogólne
Aproksymacja metodą Herona
Metoda Heron można obliczyć przybliżoną wartość pierwiastka kwadratowego z wysoką precyzją i kilku obliczeń; ma zastosowanie do pierwiastka kwadratowego z 5.
Rozważmy część całkowita z √ 5 , x 0 = 2 .
Metoda Herona polega na obliczeniu kolejnych wyrazów ciągu zbliżającego się do √ 5 za pomocą wzoru na powtarzanie:
xnie+1=xnie+Wxnie2.{\ Displaystyle x_ {n + 1} = {\ Frac {x_ {n} + {\ Frac {A} {x_ {n}}}} {2}}.}tutaj A = 5 . Poprzez kolejne iteracje otrzymujemy:
- x1=2+522=94=2,25{\ Displaystyle x_ {1} = {\ Frac {2 + {\ tfrac {5} {2}}} {2}} = {\ Frac {9} {4}} = 2,25}
- x2=94+5492=16172≈2,2361{\ Displaystyle x_ {2} = {\ Frac {{\ tfrac {9} {4}} + 5 {\ tfrac {4} {9}}} {2}} = {\ Frac {161} {72}} \ około 2,2361}
- x3=16172+5721612=5184123184≈2,2360679779.{\ Displaystyle x_ {3} = {\ Frac {{\ tfrac {161} {72}} + 5 {\ tfrac {72} {161}}} {2}} = {\ Frac {51841} {23184}} \ około 2,2360679779.}
Konkretna metoda
ciąg Fibonacciego
Poniższy wzór, początkowo zademonstrowany przez Paula Erdősa , odnosi się do odwrotności wyrazów ciągu Fibonacciego, którego indeksem jest potęga 2:
5{\ displaystyle {\ sqrt {5}}}
∑k=0∞1fa2k=7-52{\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {F_ {2 ^ {k}}}} = {\ Frac {7 - {\ sqrt {5}}} {2 }}}Daje to wzór, który szybko się zbiega, ponieważ pierwsze 6 słów daje 13 poprawnych miejsc po przecinku, a siódme daje kolejne 13.
5=7-2(∑k=0∞1fa2k){\ Displaystyle {\ sqrt {5}} = 7-2 \ lewo (\ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {F_ {2 ^ {k}}}} \ prawej) }
Połącz ze złotym podziałem
Do wyrażenia złotego podziału używa się pierwiastka kwadratowego z 5 φ=1+52.{\ Displaystyle \ varphi = {\ Frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}.}
Więc znajdujemy5=2φ-1mit5=φ+1φ.{\ Displaystyle {\ sqrt {5}} = 2 \ varphi -1 \ quad {\ rm {and}} \ quad {\ sqrt {5}} = \ varphi + {\ frac {1} {\ varphi}}. }
Dowód irracjonalności
Załóżmy, że √ 5 jest wymierne i zapisz je w postaci nieredukowalnego ułamka m / n (to znaczy, że m i n są względnie pierwsze : gcd ( m , n ) = 1). Hipoteza √ 5 = m / n prowadzi do 5 n 2 = m 2 . Czyli 5 dzieli m 2 , więc m dzieli się zgodnie z Lematem Euklidesa . Możemy napisać m = 5 r lub 5 n 2 = (5 r ) 2 = 25 r 2 , n 2 = 5 r 2 lub 5 dzieli n . Prowadzi to do absurdu, ponieważ GCD ( m , n ) jest wtedy podzielne przez 5, sprzecznie z założeniem GCD ( m , n ) = 1.
Trygonometria
Podobnie jak √ 2 i √ 3 , pierwiastek kwadratowy z 5 jest obecny we wzorach na dokładne stałe trygonometryczne, w tym kąty w stopniach podzielne przez 3, ale nie przez 15. Najprostsze to:
grzechπ10=grzech18∘=14(-1+5),{\ Displaystyle \ sin {\ Frac {\ pi} {10}} = \ sin 18 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} \ left (-1 + {\ sqrt {5}} \ dobrze),}grzechπ5=grzech36∘=142(5-5),{\ Displaystyle \ sin {\ Frac {\ pi} {5}} = \ sin 36 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {2 (5 - {\ sqrt {5}) })}},}grzech3π10=grzech54∘=14(1+5),{\ Displaystyle \ sin {\ Frac {3 \ pi} {10}} = \ sin 54 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} (1 + {\ sqrt {5}}),}grzech2π5=grzech72∘=142(5+5).{\ Displaystyle \ sin {\ Frac {2 \ pi} {5}} = \ sin 72 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {2 (5 + {\ sqrt {5 }})}}.}Wzory Ramanujana
Pierwiastek kwadratowy z 5 występuje w kilku formułach podanych przez Srinivasę Ramanujana obejmujących uogólnione ułamki ciągłe :
1∣∣1+mi-2π∣∣1+mi-4π∣∣1+mi-6π∣∣1+⋯=(5+52-5+12)mi2π/5=mi2π/5(φ5-φ).{\ Displaystyle {\ Frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac {{\ rm {e}} ^ {- 2 \ pi} \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac { {\ rm {e}} ^ {- 4 \ pi} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- 6 \ pi} \ mid} {\ mid 1} } + \ cdots = \ left ({\ sqrt {\ frac {5 + {\ sqrt {5}}} {2}}} - {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ po prawej) {\ rm {e}} ^ {2 \ pi / 5} = {\ rm {e}} ^ {2 \ pi / 5} \ left ({\ sqrt {\ varphi {\ sqrt {5}}} } - \ varphi \ right).}1∣∣1+mi-2π5∣∣1+mi-4π5∣∣1+mi-6π5∣∣1+⋯=(51+[53/4(φ-1)5/2-1]1/5-φ)mi2π/5.{\ Displaystyle {\ Frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac {{\ rm {e}} ^ {- 2 \ pi {\ sqrt {5}}} \ mid} {\ mid 1 }} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- 4 \ pi {\ sqrt {5}}} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {-6 \ pi {\ sqrt {5}}} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots = \ left ({{\ sqrt {5}} \ over 1+ \ left [5 ^ {3/4 } (\ varphi -1) ^ {5/2} -1 \ right] ^ {1/5}} - \ varphi \ right) {\ rm {e}} ^ {2 \ pi / {\ sqrt {5} }}.}4∫0∞xmi-x5pałkaxrex=1∣∣1+12∣∣1+12∣∣1+22∣∣1+22∣∣1+32∣∣1+32∣∣1+⋯.{\ Displaystyle 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {x {\ rm {e}} ^ {- x {\ sqrt {5}}}} {\ cosh x}} \, {\ rm {d}} x = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {2 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {2 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {3 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {3 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots.}Powiązane artykuły
Uwagi i odniesienia
(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w
angielskiej Wikipedii zatytułowanego
„ Pierwiastek z 5 ” ( zobacz listę autorów ) .
Uwagi
-
Szybkość zbieżności wynika z faktu, że ogólny człon szeregu maleje jako odwrotność podwójnej funkcji wykładniczej .
-
W praktyce jednak ta metoda ma tę wadę, że musi obsługiwać duże liczby całkowite.
Bibliografia
-
(w) Catalin Badea , " [ http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa63/aa6342.pdf Twierdzenie to irracjonalność nieskończonych szeregów i zastosowań " , Acta Arithmetica , t. 63,1993, s. 313-323.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">