Parzystość funkcji

W matematyce The parzystości z funkcji z rzeczywistym , kompleksu lub wektor zmiennych jest właściwością, która wymaga uprzedniego symetrii w dziedzinie definicją , w odniesieniu do pochodzenia , to wyraża się przez jedną lub więcej spośród następujących związków:

funkcja parzysta : dla wszystkich x domeny definicji $f (- x ) = f ( x )$ ;
funkcja nieparzysta : dla wszystkich x domeny definicji, $f (- x ) = - f ( x )$ .

W analizie rzeczywistej nawet to funkcje, których przedstawicielem krzywa jest symetryczna względem osi y, takie jak funkcje stałych , do kwadratu, a bardziej ogólnie funkcji mocy z nawet propagatorów , do cosinusa i cosinus hiperboliczny funkcji. ... Nieparzysty funkcje to takie, których reprezentatywna krzywa jest symetryczna w stosunku do pochodzenia, takie jak funkcje tożsamościowe , sześcianowe i ogólniej potęgowe z nieparzystym wykładnikiem , funkcją odwrotną , sinusową , styczną , hiperboliczną sinusoidą i hiperboliczną styczną oraz ich odwrotności .

Jedynymi funkcjami, które są parzyste i nieparzyste, są funkcje zerowe w dziedzinie symetrycznej.

Żadna funkcja nie jest generalnie ani parzysta, ani nieparzysta, nawet jeśli jej dziedzina definicji jest symetryczna w stosunku do pochodzenia. Z drugiej strony każda funkcja zdefiniowana w takiej domenie jest zapisywana w unikalny sposób jako suma funkcji parzystej i nieparzystej.

Wykazanie parzystości funkcji zmiennej rzeczywistej (parzystej czy nieparzystej) pozwala w szczególności ograniczyć jej badanie do liczb rzeczywistych dodatnich.

posługiwać się

Parzystość funkcji jest używana na przykład do badania funkcji tylko w połowie ich przedziału definicji, a drugą połowę można wydedukować na podstawie symetrii. Zauważ, że funkcja nieparzysta, zdefiniowana na 0, jest w tym miejscu równa zero (w rzeczywistości, ponieważ jest nieparzysta, dla wszystkiego , a zatem ; tak . $fa$ $f (-x) = - f (x)$ $x$ $f (0) = - f (0)$ $f (0) = 0$

Możemy również uprościć obliczanie całki w przypadku funkcji parzystej lub nieparzystej, ponieważ parzysta jest równa , co można zobaczyć na graficznym przedstawieniu obszaru pod krzywą, a dla nieparzystej równa się . Rzeczywiście, będzie tak duży obszar dodatni rzędu do, jak i obszar ujemny rzędu do . $\ int _ {{- n}} ^ {n} f (x) \, {\ mathrm d} x$ $fa$ ${\ Displaystyle 2 \ razy \ int _ {0} ^ {n} f (x) dx \,}$ $\ int _ {{- n}} ^ {n} f (x) \, {\ mathrm d} x,$ $fa$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ $nie$ $-nie$ ${\ displaystyle 0}$

Tę definicję parzystości i niejednorodności można również sprecyzować za pomocą pojęcia symetryzacji funkcji: funkcja symetryzowana funkcji s to funkcja š, która wiąże się z danym, a na przykład s jest nawet wtedy, gdy jest równa jej symetryzowany. ${\ Displaystyle s (-x)}$ $x$

Parzysta i nieparzysta część funkcji

Jeśli jest podzbiorem symetrycznym względem 0 (tj. Jeśli należy do, to należy do ), każda funkcja może w unikalny sposób rozłożyć się jako suma funkcji parzystej i nieparzystej: $mi$ $\ mathbb {R}$ $x$ $mi$ $-x$ $mi$ $f: E \ do \ mathbb {R}$

{\ Displaystyle f (x) = f _ {\ tekst {p}} (x) + f _ {\ tekst {i}} (x)}

, gdzie jest funkcja parzysta

{\ Displaystyle f _ {\ tekst {p}} (x) = {\ Frac {f (x) + f (-x)} {2}}}

a nieparzystą funkcją jest

{\ Displaystyle f _ {\ tekst {i}} (x) = {\ Frac {f (x) -f (-x)} {2}}}

Rzeczywiście, podprzestrzeń wektorowa funkcji parzystych i funkcji nieparzystych jest dodatkowa w przestrzeni funkcji w . $mi$ $\ mathbb {R}$

Dlatego możemy mówić o parzystej i nieparzystej części. Na przykład, funkcja wykładnicza jest suma funkcji cosinus hiperboliczny , i hiperbolicznej sinus , . $fa$ ${\ Displaystyle x \ mapsto {\ Frac {\ mathrm {e} ^ {x} + \ mathrm {e} ^ {- x}} {2}}}$ ${\ Displaystyle x \ mapsto {\ Frac {\ mathrm {e} ^ {x} - \ mathrm {e} ^ {- x}} {2}}}$

Reprezentacja graficzna

Niech będzie funkcją zdefiniowaną na i jej wykresie w układzie współrzędnych osi . $fa$ $mi$ $(C_ {f})$ $(Wół), (Oy)$

$fa$ jest funkcją parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna względem osi , równoległa do osi . $(C_ {f})$ $(Oy)$ $(Wół)$
$fa$ jest nieparzystą funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna względem początku . $(C_ {f})$ $O$

Funkcja jest równa. ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {4}}$
Funkcja jest dziwna. ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {3} -3x}$

Ale funkcja, której reprezentatywna krzywa ma oś lub środek symetrii, niekoniecznie jest parzysta lub nieparzysta: konieczne jest, aby środek był lub oś była . $O$ $(Oy)$

Niektóre właściwości

Każda stała funkcja jest parzysta.
Każda funkcja parzysta i monotoniczna w swoim zestawie definicji jest stała.
Jedyną funkcją, która jest parzysta i nieparzysta, jest funkcja zerowa (funkcja stała równa zero).
Ogólnie rzecz biorąc, suma funkcji parzystej i nieparzystej nie jest ani parzysta, ani nieparzysta; np .: 1 + x .
Suma lub różnica dwóch parzystych funkcji jest parzysta.
Suma lub różnica dwóch nieparzystych funkcji jest nieparzysta.
Parytet następująco, dla produktu lub iloraz Z reguły znaków : dowolny produkt lub iloraz dwóch nawet funkcji jest funkcją parzystą, każdy produkt lub iloraz dwóch funkcji nieparzystych jest również funkcją parzystą, każdy produkt lub ilorazem a nawet funkcji według funkcji nieparzystej jest funkcją nieparzystą.
Pochodną parzystej funkcja jest funkcją nieparzystą; pochodna funkcji nieparzystej jest funkcją parzystą.
Prymitywny nieparzystej funkcji na E jest niekoniecznie nawet, chyba e jest przerwa.
Prymityw funkcji parzystej na E niekoniecznie jest nieparzysty, chyba że E jest przedziałem i jeśli ponadto rozważany prymityw jest tym, który znika w punkcie 0.
Złożenie dwóch funkcji nieparzystych jest nieparzyste; związek g ∘ f funkcji parzystej g z funkcją nieparzystą f jest funkcją parzystą.
Związek g ∘ f dowolnej funkcji g z funkcją parzystą f jest funkcją parzystą.

Zobacz też

Uwagi i odniesienia

Co jest prawdopodobnie jednym z powodów takiego wyboru słownictwa.
Dowód przez analizy-syntezy jest klasyczne i jest tylko szczególnym przypadkiem diagonalizacji symetrii : patrz np X. oudot i pan Allano Chevalier Matematyka HPIC - PTSI 1 st Rok: wszystko w jednym , Hatchet ,2008( czytaj online ) , rozdz. 11 („Przestrzenie wektorowe”), s. 203i to ćwiczenie poprawione na Wikiversity .