Operator bez ograniczeń

W analizy funkcjonalnej An operatora nieograniczony jest częściowo wyznaczona liniowym .

Dokładniej, niech X , Y będą dwiema przestrzeniami wektorowymi. Takie operatora jest przez podprzestrzeni $DOM$ ( T ) z X i mapowania liniowych, których domena definicji jest $dom$ ( T ) i codomain jest Y .

Przykład

Rozważmy X = Y = $L 2$ (ℝ) i przestrzeń Sobolewa H 1 (ℝ) całkowalnych funkcji kwadratowych, których pochodna w sensie rozkładów również należy do $L 2$ (ℝ). T definiujemy przez $dom$ ( T ) = H 1 (ℝ) i T ( f ) = f ' (pochodna w sensie rozkładów). Jako operator częściowo zdefiniowany od X do Y jest operatorem nieograniczonym.

Zamknięte operatory

W operatorzy zamknięte tworzą klasę operatorów liniowych unormowanych przestrzeni wektorowej większych niż ograniczone operatorów . Niekoniecznie są więc ciągłe , ale nadal mają wystarczająco dobre właściwości, abyśmy mogli zdefiniować dla nich widmo i (przy pewnych założeniach) obliczenia funkcjonalne . Wiele dużych operatorów liniowych, które są nieograniczone, jest zamkniętych, takich jak operator pochodnej i wiele operatorów różniczkowych .

Definicje

Niech X , Y będą dwiema znormalizowanymi przestrzeniami wektorowymi. Nieograniczona operator T : $dom$ ( T ) → Y (gdzie $dom$ ( T ) jest podprzestrzeni z X ) nazywa zamknięte, jeżeli jego wykres jest zamknięty w X x Y .

Operator T jest zamykany że jeżeli ma zamkniętą rozszerzenie, innymi słowy, gdy przyczepność wykresu jest wykresem operator T , który jest następnie zwanym zamknięciem T .

Serce i istotny obszar, zamykany operator T jest podprzestrzeń C z $DOM$ ( T ) w taki sposób, że ograniczenie T do C, ma to samo zamknięcie, co T .

Pierwsze właściwości

Albo T operator nieograniczona domeny zawarte w X z wartościami Y .

T jest zamknięta, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej sekwencji ( x n ) w $dom$ ( T ), przepuszczającą w X granica x i którego obraz o T zbiega mamy x ∈ $dom$ ( T ), a T ( x n ) → T ( x, ).
T jest zamykalne wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej sekwencji ( x n ) w $dom$ ( T ) zbieżnej do 0 i której obraz jest zbieżny przez T , mamy T ( x n ) → 0.
Jeśli T jest zamknięty, to:
- jeśli $dom$ ( T ) = X i jeśli X i Y są przestrzeniami Banacha, to T jest ograniczone (zgodnie z twierdzeniem o zamkniętym grafie );
- dla dowolnego ograniczonego operatora H , operator T + H jest zamknięty;
- jądro z T jest zamknięta X ;
- jeśli T jest iniekcyjne, to T −1 jest zamknięte.

Przykład

Niech X = Y = C ([ a , b ]) będzie przestrzenią funkcji ciągłych w realnym przedziale [ a , b ], wyposażoną w normę zbieżności jednostajnej . Operator D od odchylenia , określona na podprzestrzeni funkcje klasy C 1 jest zamknięte, ale nieograniczony. Podprzestrzeń funkcji klasy C ∞ jest serce dla D .

Asystent nieograniczonego operatora

W przypadku operatora nieograniczonego w przestrzeni Hilberta , jeśli jest gęsty , możemy zdefiniować jego operator pomocniczy, stawiając: $H.$ ${\ Displaystyle D (T)}$ ${\ Displaystyle T ^ {*}}$

{\ Displaystyle D (T ^ {*}) = \ {\ phi \ w H | \ istnieje \ eta \ w H: \ forall \ psi \ w D (T), <T \ psi, \ phi> = <\ psi, \ eta> \}.}

Dla danego, jeśli taki istnieje, to jest wyjątkowy i pozujemy . Przez twierdzenia Banacha-Hahn i reprezentacji twierdzenia Riesza , widzimy, że jest wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała taka, że niezależnie , . $\ phi ~$ $\ eta$ ${\ Displaystyle T ^ {*} (\ phi) = \ eta}$ $\ eta$ $VS$ $\ psi$ ${\ Displaystyle | <T \ psi, \ phi> | \ leqslant C \ | \ psi \ |}$

Twierdzenie von Neumanna - Niech T będzie zamkniętym (nieograniczonym) operatorem z jednej przestrzeni Hilberta do drugiej. Jeśli T ma domenę gęstą, to T * T jest również gęsta i samoistnie złączona .

Przełączanie nieograniczonych operatorów samoobsługowych

„Prawidłowa definicja” komutacji nieograniczonych operatorów samodostajających się wynika z następującego twierdzenia:

Przełączanie operatorów nieograniczonych - następujące właściwości są równoważne:

$W$ i przełącz $b$
Jeśli urojone części i są niezerowe, $\ lambda$ $\ mu$ ${\ Displaystyle R _ {\ lambda} (A) R _ {\ mu} (B) = R _ {\ mu} (B) R _ {\ lambda} (A)}$
Cokolwiek prawdziwe, ${\ Displaystyle s, t}$ ${\ Displaystyle e ^ {itA} e ^ {isB} = e ^ {isB} e ^ {itA}}$

Z drugiej strony przykład z Nelsona udowadnia:

Istnieją zasadniczo operatorzy samoobsługujący i na gęstym zestawie , takim jak ${\ Displaystyle A: D \ do D}$ ${\ displaystyle B: D \ do D}$ $re$

${\ Displaystyle AB \ varphi -BA \ varphi = 0}$ cokolwiek , ale ${\ displaystyle \ varphi \ in D}$
$W$ nie przełącza się z . $b$

Przykład Nelsona

Niech będzie powierzchnią Riemanna związaną z pierwiastkiem kwadratowym. Weźmy a na planie regularnych funkcji o zwartym nośniku bez pochodzenia. Mamy wtedy: $M$ ${\ Displaystyle A = -i {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x}}}$ ${\ Displaystyle B = -i {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe y}}}$ $re$

$W$ i są w zasadzie samodzielnymi asystentami . $b$ $re$
${\ displaystyle A: D \ longrightarrow D}$ i ${\ displaystyle B: D \ longrightarrow D}$
${\ Displaystyle AB \ phi = BA \ phi}$ niezależnie od tego ${\ displaystyle \ phi \ in D}$
${\ displaystyle e ^ {itA}}$ i nie przełączaj. ${\ displaystyle e ^ {isB}}$

Ten przykład dowodzi, że przełączanie dwóch nieograniczonych operatorów jest bardzo delikatne.

Bibliografia

( fr ) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Unbounded operator # Closed linear operators ” ( zobacz listę autorów ) .
Haïm Brezis , Analiza funkcjonalna: teoria i zastosowania [ szczegóły wydań ]
(en) M. Reed (en) and B. Simon , Functional Analysis , Academic Press, 1970

Link zewnętrzny

Analiza funkcjonalna i teoria spektralna [PDF] B. Maurey, Uniwersytet Paryski 7 . Rozdział 11 przedstawia nieograniczone samoobsługowe operatorów.