Operator (fizyczny)
Operator jest w mechanice kwantowej , na mapie liniowej z przestrzeni Hilberta w sobie. Termin jest specjalizacją w matematycznej koncepcji operatora . Obserwowane jest operatorem hermitowskie .
Operatory w mechanice klasycznej
W mechanice klasycznej ruch cząstek (lub układu cząstek) jest całkowicie zdeterminowany przez Lagrange'a lub, równoważnie, hamiltonian , funkcję współrzędnych uogólnionych q , uogólnionej prędkości i jej momentu sprzężonego :
L(q,q˙,t){\ Displaystyle L (q, {\ kropka {q}}, t)} H.(q,p,t){\ Displaystyle H (q, p, t)} q˙=req/ret{\ displaystyle {\ kropka {q}} = \ mathrm {d} q / \ mathrm {d} t}
p=∂L∂q˙{\ displaystyle p = {\ frac {\ częściowe L} {\ częściowe {\ kropka {q}}}}}Jeśli L lub H jest niezależne od uogólnionych współrzędnych q , tak że L i H nie zmieniają się w funkcji q , moment sprzężony tych współrzędnych zostanie zachowany (jest to część twierdzenia Noether i niezmienność ruchu względem współrzędnej q jest symetrią ). Operatory mechaniki klasycznej są powiązane z tymi symetriami.
Bardziej technicznie, gdy H jest niezmienna w pewnej grupie przekształceń G :
S∈sol,H.(S(q,p))=H.(q,p){\ Displaystyle S \ w G, H (S (q, p)) = H (q, p)}.
elementy G są operatorami fizycznymi, które łączą stany fizyczne między nimi.
Tabela operatorów mechaniki klasycznej
Transformacja
|
Operator
|
Pozycja
|
Za chwilę
|
---|
Symetria tłumaczenia
|
X(w){\ Displaystyle X (\ mathbf {a})}
|
r→r+w{\ Displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow \ mathbf {r} + \ mathbf {a}}
|
p→p{\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow \ mathbf {p}}
|
Czasowa symetria translacyjna
|
U(t0){\ Displaystyle U (t_ {0})}
|
r(t)→r(t+t0){\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) \ rightarrow \ mathbf {r} (t + t_ {0})}
|
p(t)→p(t+t0){\ Displaystyle \ mathbf {p} (t) \ rightarrow \ mathbf {p} (t + t_ {0})}
|
Niezmienność rotacji
|
R(nie^,θ){\ Displaystyle R (\ mathbf {\ kapelusz {n}}, \ theta)}
|
r→R(nie^,θ)r{\ Displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow R (\ mathbf {\ kapelusz {n}}, \ theta) \ mathbf {r}}
|
p→R(nie^,θ)p{\ Displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow R (\ mathbf {\ kapelusz {n}}, \ theta) \ mathbf {p}}
|
Przemiany Galileusza
|
sol(v){\ Displaystyle G (\ mathbf {v})}
|
r→r+vt{\ Displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow \ mathbf {r} + \ mathbf {v} t}
|
p→p+mv{\ Displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow \ mathbf {p} + m \ mathbf {v}}
|
Parytet
|
P.{\ displaystyle P}
|
r→-r{\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow - \ mathbf {r}}
|
p→-p{\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow - \ mathbf {p}}
|
Symetria T.
|
T{\ displaystyle T}
|
r→r(-t){\ Displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow \ mathbf {r} (-t)}
|
p→-p(-t){\ Displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow - \ mathbf {p} (-t)}
|
gdzie jest macierzą obrotu wokół osi określonej przez wektor jednostkowy i kąt θ .
R(nie^,θ){\ Displaystyle R ({\ kapelusz {\ boldsymbol {n}}}, \ theta)} nie^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {n}}}}
Generatory
Jeśli transformacja jest nieskończenie mała, operator akcji musi mieć postać
ja+ϵW{\ Displaystyle I + \ epsilon A}gdzie jest operatorem tożsamości, jest parametrem o małej wartości i będzie zależał od transformacji ręki i nazywany jest generatorem grup . Jako przykład wyprowadźmy generator jednowymiarowej przestrzeni translacyjnej.
ja{\ displaystyle I}ϵ{\ displaystyle \ epsilon}W{\ displaystyle A}
Jak już wspomniano, . Jeśli jest nieskończenie mały, musimy napisać
Twfa(x)=fa(x-w){\ Displaystyle T_ {a} f (x) = f (xa)}w=ϵ{\ displaystyle a = \ epsilon}
Tϵfa(x)=fa(x-ϵ)≈fa(x)-ϵfa′(x).{\ Displaystyle T _ {\ epsilon} f (x) = f (x- \ epsilon) \ ok. f (x) - \ epsilon f '(x).}To równanie można przepisać tak, że
Tϵfa(x)=(ja-ϵre)fa(x){\ Displaystyle T _ {\ epsilon} f (x) = (I- \ epsilon D) f (x)}gdzie jest generator grup translacji, który jest w tym przypadku operatorem derywacji .
re{\ displaystyle D}
Mapa wykładnicza
Całą grupę można w normalnych okolicznościach odbudować z generatora, korzystając z mapy wykładniczej . W przypadku tłumaczenia idea działa następująco.
Przekład o skończonej wartości można uzyskać przez wielokrotne zastosowanie nieskończenie małego tłumaczenia:
w{\ displaystyle a}
Twfa(x)=limNIE→∞Tw/NIE⋯Tw/NIEfa(x){\ Displaystyle T_ {a} f (x) = \ lim _ {N \ do \ infty} T_ {a / N} \ cdots T_ {a / N} f (x)}z przedstawieniem czasów aplikacji . Jeśli jest duży, każdy z czynników można uznać za nieskończenie mały:
⋯{\ displaystyle \ cdots}NIE{\ displaystyle N}NIE{\ displaystyle N}
Twfa(x)=limNIE→∞(ja-(w/NIE)re)NIEfa(x).{\ Displaystyle T_ {a} fa (x) = \ lim _ {N \ do \ infty} (I- (a / N) D) ^ {N} f (x).}Ale limit można przepisać wykładniczo:
Twfa(x)=exp(-wre)fa(x).{\ Displaystyle T_ {a} f (x) = \ exp (-aD) f (x).}Aby być przekonanym o słuszności tego formalnego wyrażenia, wykładnik można przekształcić w szereg potęgowy:
Twfa(x)=(ja-wre+w2re22!-w3re33!+⋯)fa(x).{\ Displaystyle T_ {a} f (x) = \ lewo (I-aD + {a ^ {2} D ^ {2} \ ponad 2!} - {a ^ {3} D ^ {3} \ ponad 3 !} + \ cdots \ right) f (x).}Prawą część można przepisać w następujący sposób:
fa(x)-wfa′(x)+w22!fa″(x)-w33!fa‴(x)+⋯{\ Displaystyle f (x) -af '(x) + {a ^ {2} \ ponad 2!} f' '(x) - {a ^ {3} \ ponad 3!} f' '' (x) + \ cdots}Kim jest ekspansja Taylora , która jest pierwotną wartością .
fa(x-w){\ displaystyle f (xa)}Twfa(x){\ Displaystyle T_ {a} f (x)}
Matematyczne właściwości operatorów są same w sobie ważnym tematem. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz C * -algebra i twierdzenie Gelfanda-Naimarka .
Operatorzy mechaniki kwantowej
Te postulaty mechaniki kwantowej są zbudowane na koncepcji operatora.
Stan w mechanice kwantowej jest reprezentowany przez wektor jednostkowy (całkowite prawdopodobieństwo wynosi jeden) w złożonym Hilberta przestrzeni . Ewolucja czasowa w tej przestrzeni wektorowej jest przez stosowanie skroniowej operatora ewolucji .
Wszystkie obserwowalne , tj. Wielkość, którą można zmierzyć eksperymentalnie, muszą być powiązane z samosprzężonym operatorem liniowym . Operator musi wytworzyć rzeczywiste wartości własne , ponieważ musi odpowiadać pomiarom eksperymentalnym. W tym celu operator musi być hermitem . Prawdopodobieństwo, że te wartości własne zostaną zaobserwowane, jest związane z rzutowaniem stanu fizycznego na stan podrzędny odpowiadający tym wartościom własnym.
Lista operatorów
Uwagi i odniesienia
-
Molecular Quantum Mechanics Parts I i II: An Introduction to Quantum Chemistry (Tom 1), PW Atkins, Oxford University Press, 1977, ( ISBN 0-19-855129-0 )
Powiązany artykuł
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">