Model Drude
Model Drude (nazwany tak na cześć fizyka Paula Drude ), czasami nazywany modelem tłumionych elektronów , jest adaptacją kinetycznej teorii gazów na elektrony w metalach (odkrytą 3 lata wcześniej, w 1897 r. Przez JJ Thomsona ) w 1900 roku . Rozważając elektrony metalu jako klasyczne cząstki punktowe zamknięte w objętości określonej przez wszystkie atomy próbki, otrzymujemy gaz, który jest porywany w ruchu ogólnym (który nakłada się na ruchy poszczególnych cząstek) przez elektryczność i magnetyczność. pola i spowolniony w tym ruchu przez kolizje. Zderzenia przewidziane przez Drude to zderzenia w sercach atomów. Chociaż na podstawie założenia obalona od (wyłącznie klasycznego opisu ruchu elektronów ), może stanowić kilka właściwości metali , takich jak przewodność elektryczna , w przewodności cieplnej i efektu Halla .
Podejście elektrokinetyczne
Oświadczenie wzorcowe
Załóżmy, że przewodzenie elektryczne jest wytwarzane tylko przez elektrony. Są to nośniki ładunku q = - e i masa m e :
Tak więc, z dynamicznego punktu widzenia , elektron podlega następującemu prawu:
mmirev→ret=fa→v-Γv→{\ Displaystyle m _ {\ mathrm {e}} {\ Frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {czas.}} - \ Gamma {\ vec {czas.}}lub
-
v jest prędkością elektronu wyrażoną w metrach na sekundę ( m s −1 );
- F v jest siłą Lorentza wyrażoną w niutonach (N), gdzie E jest polem elektrycznym, a B polem magnetycznym ;
fa→v=q(mi→+v→∧b→){\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {v}} = q ({\ vec {\ mathrm {E}}} + {\ vec {v}} \ wedge {\ vec { \ mathrm {B}}})}
- Γ jest empirycznym współczynnikiem tarcia wyrażonym w kilogramach na sekundę ( kg s −1 ).
Jest to liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu .
Zauważ, że pozostaje to prawdą dla innych typów nośników ładunku, takich jak dziury elektronowe w krysztale lub jony w roztworze soli .
Stała czasowa i ograniczenie prędkości
Załóżmy, że elektron ma prędkość początkową v 0i że pole elektryczne jest jednolite i stałe, E 0 . Zatem rozwiązanie powyższego równania różniczkowego prowadzi do:
v→(t)=v→0⋅mi-tτ+(1-mi-tτ)⋅qΓmi→0{\ Displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ vec {v}} _ {0} \ cdot e ^ {- {\ Frac {t} {\ tau}}} + \ lewo (1-e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \ right) \ cdot {\ frac {q} {\ Gamma}} {\ vec {\ mathrm {E}}} _ {0}}lub
-
τ=mmiΓ{\ displaystyle \ tau = {\ Frac {m _ {\ mathrm {e}}} {\ Gamma}}} jest stałą czasową, charakterystyką tłumienia układu;
-
v→l=qΓmi→0{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {l}} = {\ frac {q} {\ Gamma}} {\ vec {\ mathrm {E}}} _ {0}} jest graniczną prędkością, do której zmierza elektron.
Przewodnictwo elektroniczne
Możemy odnieść współczynnik tarcia do gęstości objętościowej elektronów N e i do przewodnictwa elektronowego σ 0 :
Γ=NIEmimi2σ0{\ Displaystyle \ Gamma = {\ Frac {\ mathrm {N_ {e}} e ^ {2}} {\ sigma _ {0}}}}Możemy również wydedukować stałą czasową:
τ=σ0mmiNIEmimi2{\ Displaystyle \ tau = {\ Frac {\ sigma _ {0} m _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {N_ {e}} e ^ {2}}}}Wielkość
Dla czystej miedzi (σ 0 = 5,98 × 10 7 S m −1 ) zakładamy, że mamy jeden elektron przewodnictwa na atom, czyli przy gęstości ρ m = 8,96 × 10 3 kg m -3 , masa molowa M = 63,5 g mol-1 i liczbę Avogadro N A = 6,02 × 10 23 mol −1 , mamy:
N e = ρ m N A / M = 8,49 × 10 28 m -3
a więc
τ ≃ 2,499 9 × 10 −14 s
Przypadek sinusoidalnego pola elektrycznego
Jeśli prędkości są małe w porównaniu z prędkością światła (przypadek nierelatywistyczny), wówczas wpływ pola magnetycznego jest pomijalny w porównaniu z polem elektrycznym. Więc mamy :
fa→v≃qmi→{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {v}} \ simeq q {\ vec {\ mathrm {E}}}}a równanie dynamiczne staje się:
mmirev→ret+Γv→=qmi→{\ Displaystyle m _ {\ mathrm {e}} {\ Frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} + \ Gamma {\ vec {v}} = q {\ vec {\ mathrm {E}}}}.
Jeśli pole elektryczne jest sinusoidalne
mi→(t)=grzech(ωt)mi→0{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {E}}} (t) = \ sin (\ omega t) {\ vec {\ mathrm {E}}} _ {0}}to rozwiązanie równania różniczkowego jest w złożonym piśmie:
v_→(t)=qΓ+jaωmmimi→(t){\ Displaystyle {\ vec {\ podkreślenie {v}}} (t) = {\ Frac {q} {\ Gamma + i \ omega m _ {\ mathrm {e}}}} {\ vec {\ mathrm {E }}} (t)}.
Mamy wtedy złożone przewodnictwo elektryczne w zależności od pulsacji (a więc od częstotliwości ):
σ_(ω)=σ011+jaωτ{\ Displaystyle {\ podkreślenie {\ sigma}} (\ omega) = \ sigma _ {0} {\ Frac {1} {1 + i \ omega \ tau}}}
Wstępne założenia
Model oparty jest na następujących założeniach :
- Układ jest asymilowany do zbioru n elektronów ładunkowych - e na jednostkę objętości, umieszczonych w ośrodku cząstek punktowych o masie m bez interakcji między nimi.
- Klasycznie możemy opisać elektrony.
- Elektrony ulegają zderzeniom. Prawdopodobieństwo wystąpienia kolizji między t i t + d t jest określone wzorem, gdzie τ jest średnim czasem między dwoma kolejnymi zderzeniami, zwanym także czasem relaksacji.retτ{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} t} {\ tau}}}
Zderzenia, jakiemu poddawane są elektrony były Drude oczy zderzeń z jądrami atomowymi w sieci krystalicznej . W rzeczywistości są to tak zwane zderzenia elektronów i fononów .
Obecność kolizji uzyskuje się wytrzymałości na tarcie postaci lepkiego , gdzie P jest moment elektronu.
-pτ{\ Displaystyle - {\ Frac {\ mathbf {p}} {\ tau}}}
Mamy wtedy, stosując prawo Ohma
jot=σmi{\ displaystyle \ mathbf {j} = \ sigma \ mathbf {E}},
wyraz przewodnictwa:
σ=niemi2τm{\ Displaystyle \ sigma = {\ Frac {ne ^ {2} \ tau} {m.}}}.
Przewodność prądu stałego
Uważa się, że elektrony są równomiernie przyspieszane przez pole elektryczne E w przedziale czasowym między dwoma zderzeniami. Pod koniec tego czasu, po zderzeniu, są one statystycznie rozluźnione do ich początkowego stanu kinetycznego.
W każdej chwili każdy i- ty elektron ma więc zapisaną
prędkość v i
vja=v0ja+(-mimitjammi){\ Displaystyle v_ {i} = v_ {0i} + \ lewo ({{- e \ mathrm {E} t_ {i}} \ over m _ {\ mathrm {e}}} \ right)}gdzie v 0 i > jest początkową prędkością elektronu i pod koniec ostatniego szoku, a t i czasem, który upłynął od tego. Średnia prędkość (w sensie ogólnej średniej) opisująca elektrony to:
⟨v⟩stwt=⟨vja⟩stwt=⟨v0ja⟩stwt+⟨-mimitjammi⟩stwt{\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ langle v_ {i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ langle v_ {0i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} + \ left \ langle {{-e \ mathrm {E} t_ {i}} \ over m _ {\ mathrm {e}}} \ right \ rangle _ {\ mathrm {stat}}}Jako (hipoteza idealnie przypadkowych szoków z wynikającymi z nich końcowymi prędkościami rozłożonymi wokół zerowej średniej) i (hipoteza ergodyczna) otrzymujemy wzór
⟨v0ja⟩stwt=0{\ displaystyle \ langle v_ {0i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = 0}⟨tja⟩stwt=τ{\ displaystyle \ langle t_ {i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ tau}
⟨v⟩stwt=⟨vja⟩stwt=-mimiτmmi{\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ langle v_ {i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = {{- e \ mathrm {E} \ tau} \ ponad m_ { \ mathrm {e}}}}.
Wyprowadzamy wyrażenie gęstości prądu przewodzenia elektrycznego
jot=(-niemi)⟨v⟩stwt=niemi2miτmmi{\ Displaystyle j = (- ne) \ langle v \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = {{ne ^ {2} \ mathrm {E} \ tau} \ ponad m _ {\ mathrm {e}}} }i przewodnictwa
σ0=niemi2τmmi{\ displaystyle \ sigma _ {0} = {{ne ^ {2} \ tau} \ ponad m _ {\ mathrm {e}}}}.
Częstotliwość plazmy możemy pokazać pisząc:
ωp{\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {p}}}
σ0=(τ⋅ε0)ωp2{\ Displaystyle \ sigma _ {0} = (\ tau \ cdot \ varepsilon _ {0}) \ omega _ {\ mathrm {p}} ^ {2}}
Przewodność AC
Zależności między stałą dielektryczną a przewodnością
Aby obliczyć przewodnictwo w polu elektromagnetycznym, zaczynamy od równań Maxwella , a mianowicie
Prawo |
Wyrażenie matematyczne
|
---|
"Prawo Coulomba" |
∇⋅re=ρ{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathrm {D} = \ rho}
|
„Prawo Ampère'a”
|
∇∧H.-∂re∂t=jot{\ Displaystyle \ nabla \ klin \ mathrm {H} - {{\ częściowe \ mathrm {D}} \ ponad {\ częściowe t}} = \ mathrm {J}}
|
„Prawo Faradaya”
|
∇∧mi+∂b∂t=0{\ Displaystyle \ nabla \ klin \ mathrm {E} + {{\ częściowe \ mathrm {B}} \ ponad {\ częściowe t}} = 0}
|
„Brak monopoli magnetycznych”
|
∇⋅b=0{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathrm {B} = 0}
|
Z tych równań wyprowadzamy zależność między przewodnością σ a stałą dielektryczną ε:
ε⋅(ω2vs2)-k2=jaωμ0σ{\ Displaystyle \ varepsilon \ cdot \ lewo ({\ Frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \ prawej) -k ^ {2} = ja \ omega \ mu _ {0} \ sigma }
Obliczanie przewodnictwa
Jeśli opisujemy gaz elektronowy za pomocą jego macierzy gęstości ρ (P, Q), ten sprawdza równanie ewolucji:
retρ(P.,Q)P.={H.,ρP.}Q,P.+Σ+-Σ-{\ Displaystyle {d_ {t} \ rho (\ mathrm {P}, \ mathrm {Q}) \ mathrm {P}} = \ {\ mathrm {H}, \ rho \ mathrm {P} \} _ {\ mathrm {Q}, \ mathrm {P}} + \ Sigma _ {+} - \ Sigma _ {-}}gdzie reprezentuje nawias Poissona i warunki źródła i zniszczenia. Załóżmy teraz, że hamiltonian H = H 0 + H 1 i że ρ = ρ 0 + ρ 1 , gdzie H 1 i ρ 1 reprezentują wyrażenia perturbacyjne. Początkowe równanie jest następnie przepisywane w postaci:
{}P.,Q{\ Displaystyle \ {\} _ {\ mathrm {P} \ mathrm {Q}}}Σ+,Σ- {\ Displaystyle \ Sigma _ {+}, \ Sigma _ {-} ~}
retρ(P.,Q)P.α={H.0,ρ1P.}Q,P.+{H.1,ρ0P.α}Q,P.-ρ1P.ατ {\ displaystyle {d_ {t} \ rho (\ mathrm {P}, \ mathrm {Q}) \ mathrm {P} _ {\ alpha}} = \ {\ mathrm {H} _ {0}, \ rho _ {1} \ mathrm {P} \} _ {\ mathrm {Q}, \ mathrm {P}} + \ {\ mathrm {H} _ {1}, \ rho _ {0} \ mathrm {P} _ { \ alpha} \} _ {\ mathrm {Q}, \ mathrm {P}} - {{\ rho _ {1} \ mathrm {P} _ {\ alpha}} \ over \ tau} ~}Odnotowując niezależność ρ 0 P β ρ 1 P β i H 0 względem Q α (jednorodność rozkładu ładunków i niezmienność przestrzenną niezakłóconego hamiltonianu) wynika, że rozwiązanie pierwszego rzędu zaburzonego rozkładu jest napisane:
(-jaω+1τ)ρ1P.α=(jakβxα+δαβ)mimiα(∂ρ0∂P.β){\ Displaystyle \ lewo (-i \ omega + {\ Frac {1} {\ tau}} \ prawej) \ rho _ {1} \ mathrm {P} _ {\ alpha} = (ik _ {\ beta} x_ {\ alpha} + \ delta _ {\ alpha \ beta}) e \ mathrm {E} _ {\ alpha} \ left ({\ frac {\ części \ rho _ {0}} {\ części \ mathrm {P} _ {\ beta}}} \ right)}Przyjmując przybliżenie długich fal (a zatem k małe), znajdujemy postać przewodnictwa:
σ=ε0τωp2-jaωτ+1{\ Displaystyle \ sigma = {\ Frac {\ varepsilon _ {0} \ tau \ omega _ {\ mathrm {p}} ^ {2}} {- ja \ omega \ tau +1}}}
Przewodność cieplna metalu
Obecne równanie transportu (tj. Transport cząstek) należy podwoić za pomocą równania transportu ciepła :
jotq=-κ∇T{\ Displaystyle j _ {\ mathrm {q}} = - \ kappa \ nabla \ mathrm {T}}otrzymujemy następnie, że stosunek przewodności cieplnej i elektrycznej jest wprost proporcjonalny do temperatury, a współczynnik proporcjonalności jest oznaczony liczbą Lorenza :
κσ{\ displaystyle {\ kappa \ over {\ sigma}}}
L=κσT=32(kbmi)2{\ Displaystyle \ mathrm {L} = {\ Frac {\ kappa} {\ sigma \ mathrm {T}}} = {\ Frac {3} {2}} \ left ({\ Frac {k _ {\ mathrm { b}}} {e}} \ right) ^ {2}}To prawo proporcjonalności jest znane jako prawo Wiedemanna i Franza .
Wskazany powyżej wynik liczbowy jest wart około połowy wartości uzyskanych eksperymentalnie. Zastosowanie teorii transportu i modelu kwantowego umożliwia dostęp do wartości bliższej rzeczywistości dla stosunku (tj. Liczby Lorenza), otrzymanej wówczas wartości:
κσT{\ displaystyle {\ kappa \ over {\ sigma \ mathrm {T}}}}
L=κσT=π23(kbmi)2{\ Displaystyle \ mathrm {L} = {\ Frac {\ kappa} {\ sigma \ mathrm {T}}} = {\ Frac {\ pi ^ {2}} {3}} \ left ({\ Frac {k_ {\ mathrm {b}}} {e}} \ right) ^ {2}}Bibliografia
-
F. Ossart i JM Courty , LP322: Elektromagnetyzm w materii: wykład notatki , UPMC ,2007( przeczytaj online [PDF] )
„ Rozdz. 5 Electrical Condors ” [PDF] , na edu.upmc.fr (dostęp: 16 listopada 2015 )
- Vincent Renvoizé ( reż. ) Et al. , Fizyka PC-PC *: cały program 2014 w formie ćwiczeń poprawkowych, Montreuil, Pearson , coll. "Kurs przygotowawczy",2014, 404 pkt. ( ISBN 978-2-326-00037-7 , czytaj online ) , str. 186-188
Zobacz też
Powiązane artykuły
Linki zewnętrzne
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">