Macierz Diraca

Te matryce Diraca są macierzami , które zostały wprowadzone przez Paul Diraca , w poszukiwaniu równania fali Relatywistyczny na elektron .

Zainteresowanie

Relatywistycznym odpowiednikiem równania Schrödingera jest równanie Kleina-Gordona . Opisuje cząstki o spinie 0 i nie jest odpowiedni dla elektronów o spinie 1/2. Następnie Dirac próbował znaleźć równanie liniowe, takie jak równanie Schrödingera w postaci:

ja∂ψ∂t=(1jaα⋅∇+βm)ψ≡Hψ{\ displaystyle i {\ frac {\ częściowy \ psi} {\ częściowy t}} = \ po lewej ({\ frac {1} {i}} \ mathbf {\ alfa} \ cdot \ nabla + \ beta m \ po prawej) \ psi \ równoważne H \ psi}

gdzie jest wektor funkcją fali , masy z cząstek stałych, w Hamiltonianu i są odpowiednio wektorem pustelnicze matryc i hermetyczne matrycy . Równanie Diraca musi spełniać trzy następujące ograniczenia: ψ{\ styl wyświetlania \ psi} m{\ styl wyświetlania m}H{\ styl wyświetlania H}α,β{\ styl wyświetlania \ mathbf {\ alfa}, \ beta}

1. Składniki muszą spełniać równanie Kleina-Gordona, falę płaską, której rozwiązaniem jest: ψ{\ styl wyświetlania \ psi} mi2=p2+m2{\ displaystyle E ^ {2} = \ mathbf {p} ^ {2} + m ^ {2}} ;
2. Istnieje kwadrywektor gęstości prądu, który jest zachowany i którego składową czasową jest gęstość dodatnia (utożsamiana z ładunkiem elektrycznym);
3. Składniki nie mogą spełniać żadnego warunku pomocniczego, to znaczy, że w danej chwili są niezależnymi funkcjami .ψ{\ styl wyświetlania \ psi}x{\ styl wyświetlania x}

macierze Diraca

Dirac zaproponował, aby macierze pustelnicze były antykomutacyjne i kwadratowe równe jeden. Oznacza to, że przestrzegają następującej algebry :

{αja,αk}=0,ja≠k{\ displaystyle \ left \ {\ alpha _ {i}, \ alpha _ {k} \ right \} = 0 \ ,, \ qquad i \ neq k} {αja,β}=0{\ displaystyle \ lewy \ {\ alfa _ {i}, \ beta \ prawy \} = 0} αja2=β2=ja{\ displaystyle \ alfa _ {i} ^ {2} = \ beta ^ {2} = ja}

gdzie nawiasami są antyprzełącznik i matryca identyfikacyjna. {W,b}=Wb+bW{\ styl wyświetlania \ lewy \ {A, B \ prawy \} = AB + BA}ja{\ styl wyświetlania I}

Podnosząc do kwadratu równanie Diraca, natychmiast sprawdzamy, czy pierwszy warunek jest spełniony. Następnie wprowadzamy właściwe macierze Diraca : γμ{\ styl wyświetlania \ gamma ^ {\ mu}}

γ0=β{\ styl wyświetlania \ gamma ^ {0} = \ beta} γja=βαja,ja=1,2,3{\ displaystyle \ gamma ^ {i} = \ beta \ alfa ^ {i} \ ,, \ qquad i = 1,2,3} {γμ,γν}=2solμνja,μ,ν=0,1,2,3{\ displaystyle \ lewo \ {\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu} \ prawo \} = 2g ^ {\ mu \ nu} I \ ,, \ qquad \ mu, \ nu = 0,1, 2 ,3}

gdzie jest metryka Minkowskiego. solμν=rejawsol(1,-1,-1,-1){\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} = \ matematyka {diag} (1, -1, -1, -1)}

Ukośnik Feynman

Wprowadzamy również „  ukośnik  ” Feynmana  :

⧸w=γμwμ{\ displaystyle \ nie \! a = \ gamma ^ {\ mu} a _ {\ mu}}

Równanie Diraca następnie przyjmuje postać:

(jaγμ∂μ-m)ψ≡(ja⧸∂-m)ψ=0{\ Displaystyle \ lewo (i \ gamma ^ {\ mu} \ częściowe _ {\ mu} -m \ prawo) \ psi \ equiv \ lewo (i \ nie \! \ częściowe -m \ prawo) \ psi = 0}

Wyraźna reprezentacja, zwana „reprezentacją standardową”, jest podawana przez:

γ0=(ja00-ja){\ displaystyle \ gamma ^ {0} = {\ początek {pmatrix} I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & -I \ koniec {pmatrix}}} γja=(0σja-σja0){\ displaystyle \ gamma ^ {i} = {\ początek {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma ^ {i} \\ - \ sigma ^ {i} & \ mathbf {0} \ koniec {pmatrix}}} β=(ja00-ja){\ displaystyle \ beta = {\ begin {pmatrix} I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & -I \ end {pmatrix}}} αja=(0σjaσja0){\ displaystyle \ alpha ^ {i} = {\ początek {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma ^ {i} \\\ sigma ^ {i} & \ mathbf {0} \ koniec {pmatrix}}}

gdzie jest macierzą jednostkową 2 × 2 i są macierzami Pauliego . ja{\ styl wyświetlania I}σja{\ styl wyświetlania \ sigma ^ {i}}

Ta reprezentacja jest szczególnie praktyczna, ponieważ wskazuje na charakter spinorial (ze względu na pół całkowitej wirowania ) z funkcją fali z elektronu i oddziela się składniki o dodatniej i ujemnej energii . Tak więc, pisząc funkcję falową jako bispinor  :

ψ=(φχ){\ displaystyle \ psi = {\ początek {pmatrix} \ phi \\\ chi \ koniec {pmatrix}}}

gdzie i są dwoma spinorami , równanie Diraca staje się: φ{\ styl wyświetlania \ phi}χ{\ styl wyświetlania \ chi}

ja∂φ∂t=mφ+1jaσ⋅∇χ{\ displaystyle i {\ frac {\ częściowy \ phi} {\ częściowy t}} = m \ phi + {\ frac {1} {i}} \ mathbf {\ sigma} \ cdot \ nabla \ chi} ja∂χ∂t=-mχ+1jaσ⋅∇φ{\ displaystyle i {\ frac {\ częściowy \ chi} {\ częściowy t}} = - m \ chi + {\ frac {1} {i}} \ mathbf {\ sigma} \ cdot \ nabla \ phi}

Wprowadzając funkcję fali sprzężonej jako:

ψŻ=ψ†γ0{\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} = \ psi ^ {\ sztylet} \ gamma ^ {0}}

Znaleźliśmy :

ψŻ(ja⧸∂←+m)=0{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ lewo (i {\ overleftarrow {\ nie \! \ częściowy}} + m \ w prawo) = 0}

A z równaniem Diraca daje to:

ψŻ(⧸∂←+⧸∂→)ψ≡∂μ(ψŻγμψ)=0{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ w lewo ({\ overleftarrow {\ nie \! \ częściowy}} + {\ overrightarrow {\ nie \! \ częściowy}} \ w prawo) \ psi \ ekwiwalent \ częściowy _ { \ mu} \ po lewej ({\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ po prawej) = 0}

Co daje zachowany prąd:

jotμ=ψŻγμψ{\ Displaystyle j ^ {\ mu} = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}

Czyj składnik czasowy jest pozytywny. jot0=ρ=ψŻγ0ψ=ψ†ψ{\ Displaystyle j ^ {0} = \ rho = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {0} \ psi = \ psi ^ {\ sztylet} \ psi}

Definiujemy również macierz:

 γ5=jaγ0γ1γ2γ3{\ displaystyle \ \ gamma ^ {5} = ja \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3}}

Zastosowanie w ten sposób umożliwia konstruowanie różnego rodzaju kombinacji, takich jak: γ5{\ styl wyświetlania \ gamma ^ {5}}

• z wektorami  :  ;ψŻγμψ{\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}
• od pseudovecteurs  :  ;ψŻγ5γμψ{\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}
• od skalarnych  :  ;ψŻψ{\ styl wyświetlania {\ bar {\ psi}} \ psi}
• z pseudoskalar  : .ψŻγ5ψ{\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {5} \ psi}

Łatwo weryfikujemy relatywistyczną kowariancję całego tego formalizmu.

Ślady

Do obliczania przekrojów w fizyce cząstek często przydatne jest posiadanie tych kilku wyników na śladach tych macierzy:

• Tr[γαγβ]=4solαβ{\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {\ alfa} \ gamma ^ {\ beta}] = 4g ^ {\ alfa \ beta}} ;
• Tr[γαγβγμγν]=4(solαβsolμν-solαμsolβν+solανsolβμ){\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {\ alfa} \ gamma ^ {\ beta} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu}] = 4 (g ^ {\ alfa \ beta} g ^ {\ mu \ nu} -g ^ {\ alfa \ mu} g ^ {\ beta \ nu} + g ^ {\ alfa \ nu} g ^ {\ beta \ mu})} ;
• Tr[γ5]=0{\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {5}] = 0} ;
• Tr[γ5γαγβ]=0{\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ alfa} \ gamma ^ {\ beta}] = 0} ;
• Tr[{\ displaystyle Tr [}nieparzystej liczby .γ]=0{\ styl wyświetlania \ gamma] = 0}

Reprezentacje

Macierze Diraca są całkowicie zdeterminowane przez zależność:

γμγν+γνγμ=2ημν.ja4{\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} + \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ mu} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}. I_ {4}}

gdzie jest tensor Minkowskiego . Mamy też . ημν{\ styl wyświetlania \ eta ^ {\ mu \ nu}}γμγμ=4{\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu} = 4}

Istnieje nieskończona liczba możliwych rozwiązań poprzedniej relacji. Dla macierzy 4 × 4 zbiór rozwiązań jest algebrą czterowymiarową , znaną algebrą Clifforda , a podstawą są cztery macierze Diraca. Zgodnie z wybraną podstawą macierze Diraca mają różne współczynniki, a wybór ten nazywa się reprezentacją macierzy Diraca . VS-{\ styl wyświetlania \, \ mathbb {C} -}VSja1,3VS{\ styl wyświetlania \, Cl_ {1,3} \ mathbb {C} \,}

Reprezentacja Dirac

To jest „standardowa reprezentacja”. Uzyskujemy go z reprezentacji Weyla dzięki operatorowi jednostki U:

U=12(11-11){\ displaystyle U = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ początek {pmatrix} 1 i 1 \\ - 1 i 1 \ koniec {pmatrix}}}

Macierze są następnie zapisywane: γreμ=UγWμU†{\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {\ mu} = U \ gamma _ {W} ^ {\ mu} U ^ {\ sztylet}}

γre0=(ja00-ja){\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {0} = {\ początek {pmatrix} I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & -I \ koniec {pmatrix}}} γreja=(0σja-σja0){\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {i} = {\ początek {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma _ {i} \\ - \ sigma _ {i} & \ mathbf {0} \ koniec { pmmatrix}}} γre5=(0jaja0){\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {5} = {\ początek {pmatrix} \ mathbf {0} & I \\ I & \ mathbf {0} \ koniec {pmatrix}}}

Reprezentacja Weyla

Reprezentacja, która pojawia się „naturalnie”, gdy próbuje się wyprowadzić równanie Diraca za pomocą nieredukowalnych reprezentacji grupy Lorentza . W tej bazie macierze mają postać: γμ{\ styl wyświetlania \ gamma ^ {\ mu}}

γW0=(0jaja0){\ displaystyle \ gamma _ {W} ^ {0} = {\ początek {pmatrix} \ mathbf {0} & ja \\ ja & \ mathbf {0} \ koniec {pmatrix}}} γWja=(0σja-σja0){\ displaystyle \ gamma _ {W} ^ {i} = {\ początek {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma _ {i} \\ - \ sigma _ {i} & \ mathbf {0} \ koniec { pmmatrix}}} γW5=(-ja00ja){\ displaystyle \ gamma _ {W} ^ {5} = {\ początek {pmatrix} -I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} i ja \ koniec {pmatrix}}}

Reprezentacja Majorany

Reprezentację Majorany uzyskuje się z „reprezentacji standardowej” przy użyciu następującej macierzy jednostek U:

U=12(γre0γre2+γre0){\ displaystyle U = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (\ gamma _ {D} ^ {0} \ gamma _ {D} ^ {2} + \ gamma _ {D} ^ {0 })}

Ta reprezentacja ma interesującą właściwość, że wszystkie macierze są czysto urojone, co sprawia, że ​​obliczenia są wygodne, biorąc pod uwagę operator koniugacji ładunku. γμ{\ styl wyświetlania \ gamma ^ {\ mu}}

Chiralna reprezentacja

γ0=β=(0-ja-ja0){\ displaystyle \ gamma ^ {0} = \ beta = {\ początek {pmatrix} \ mathbf {0} & -I \\ - I & \ mathbf {0} \ koniec {pmatrix}}} α=(σ00-σ){\ displaystyle \ mathbf {\ alfa} = {\ początek {pmatrix} \ mathbf {\ sigma} & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & - \ mathbf {\ sigma} \ koniec {pmatrix}}} γ=(0σ-σ0){\ displaystyle \ mathbf {\ gamma} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ mathbf {\ sigma} \\ - \ mathbf {\ sigma} & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}

Jego zaletą jest to, że dwa spinory przekształcają się niezależnie pod wpływem obrotów i translacji . Jest to szczególnie przydatne w przypadku cząstek bez masy, ponieważ równania są znacznie uproszczone. Został użyty do neutrin, chociaż oscylacje neutrin pokazują, że ich masa nie jest równa zeru.

Uwagi i referencje

1. W. Pauli (1936), „Matematyczny wkład do teorii macierzy Diraca”, w Annales de l'Institut Henri Poincaré (t. 6, nr 2, s. 109-136). Prasy uniwersyteckie Francji.
2. Ta definicja odpowiada tej, którą znajdujemy na przykład w książce Edgarda Elbaza Quantique (elipsy, 1995), inna definicja, różniąca się tylko dodaniem znaku -, jest obecna w Lev Landau i Evgueni Lifchits , Teoretyczny Fizyka , t.  4: Elektrodynamika kwantowa [ szczegóły wydań ], § 22.

Zobacz również

Powiązane artykuły

• Kwaternion
• Matryca Pauliego
• równanie Diraca

Link zewnętrzny

Bibliografia

• Lev Landau i Evgueni Lifchits , Fizyka teoretyczna , t.  4: Elektrodynamika kwantowa [ szczegóły wydań ]
• Choquet-Bruhat, Y. (1982). Globalne rozwiązanie równań Maxwella-Diraca-Kleina-Gordona . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 31 (2), 267-288 ( streszczenie ).
• (en) Itzykson, C. i Zuber, JB (2005). Kwantowa teoria pola . Publikacje kurierskie Dover .
• Lochak, G. (2003). Równanie Diraca na stożku światła. Elektrony Majorany i monopole magnetyczne [PDF] . W Annales de la Fondation Louis de Broglie (t. 28, nr 3-4, s. 403). Fundacja Louisa de Broglie.
• McLenaghan, RG, i Spindel, P. (1979). Całki pierwsze z równań Diraca w przestrzeni zakrzywionej . Byk. Soc. Matematyka. Belg, 31, 30.
• (en) Mandl, F. i Shaw, G. (2010). Kwantowa teoria pola . John Wiley i Synowie .
• Meessen, A. (1970). Kwantyfikacja czasoprzestrzeni i uogólnienie równania Diraca . Anny. Soc. Nauka. Bruksela, 84 267-275.
• Nelipa, N. Fizyka cząstek elementarnych
• Pauli, W. (1936) „Wkład matematyczny do teorii macierzy Diraca”. W Annals of the Henri Poincaré Institute (t. 6, nr 2, s. 109-136). Prasy uniwersyteckie Francji.
• Proca, A. (1930). „O równaniu Diraca” [PDF] . J. Fiz. Rad , 1 (7), 235-248.
• Sambou D (2012) Rezonanse w pobliżu progów operatorów magnetycznych Pauliego i Diraca [PDF] . arXiv preprint arXiv: 1201.6552.
• (en) Zinn-Justin, J. (2002). Kwantowa teoria pola i zjawiska krytyczne (nr SACLAY-SPHT-T-2002-001).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">