Równanie Kleina-Gordona

Równanie Klein-Gordon , określane niekiedy jako równanie Klein-Gordon-Focka , jest Relatywistyczna wersja z równania Schrödingera opisującej masowych cząstek zerowym wirowania , z lub bez ładunku elektrycznego, niezależnie ustanowiony w 1926 r przez fizyków. Oskar Klein i Walter Gordon . To jest przykład rozproszonego równania różniczkowego cząstkowego .

Równanie Kleina-Gordona

Pochodzenie

Standardowe równanie Kleina-Gordona (bez pól elektromagnetycznych) można uzyskać na kilka sposobów. Jedna z metod polega na zapisaniu do covariant preparat z równania Eulera-Lagrange , a druga składa się, począwszy od relatywistycznego niezmiennika podając energię wyizolowanej cząsteczki, takie jak:

{\ Displaystyle E ^ {2} \ = \ p ^ {2} \ c ^ {2} \ + \ m ^ {2} \ c ^ {4} = \ {\ vec {p}}. {\ vec { p}} \ c ^ {2} \ + \ m ^ {2} \ c ^ {4}}

gdzie E jest całkowitą energią cząstki, p jej pędem, m jej własną masą, a c prędkością światła w próżni. Następnie nakłada się na równaniu energetycznej zasada odpowiedniości z mechaniki kwantowej : a . Otrzymujemy wtedy tak zwane równanie Kleina-Gordona, sprawiając, że otrzymana relacja działa na funkcję falową: ${\ Displaystyle E \ leftrightarrow i \ hbar {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {p}} \ leftrightarrow -i \ hbar {\ frac {\ częściowe} {\ częściowe {\ vec {x}}}} = - ja \ hbar {\ vec {\ nabla}}}$

${\ Displaystyle - \ \ hbar ^ {2} \ {\ Frac {{\ częściowe} ^ {2} \ Psi ({\ vec {r}}, t)} {{\ części} t ^ {2}}} \ = \ - \ \ hbar ^ {2} \ c ^ {2} \ \ nabla ^ {2} \ \ Psi ({\ vec {r}}, t) \ + \ m ^ {2} \ c ^ { 4} \ \ Psi ({\ vec {r}}, t)}$

To równanie zostało przepisane w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ \ Psi ({\ vec {r}}, t) \ - \ {\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ {\ Frac {{\ częściowe} ^ {2} \ Psi ({\ vec {r}}, t)} {{\ części} t ^ {2}}} \ = \ {\ frac {m ^ {2} \ c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ \ Psi ({\ vec {r}}, t)}$

Możemy też użyć formalizmu relatywistycznego (w jednostkach naturalnych, czyli = 1 i c = 1): $\ hbar$

{\ Displaystyle (\ częściowe _ {\ mu} \ częściowe ^ {\ mu} + m ^ {2}) \ Psi = 0}

z konwencją:

{\ Displaystyle \ częściowe _ {\ mu} = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}}, {\ vec {\ nabla}} \ prawej)}

{\ Displaystyle \ częściowe ^ {\ mu} = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}}, - {\ vec {\ nabla}} \ w prawo)}

Trudności w interpretacji

Roztwory Klein-Gordon równania stanowią poważne trudności związane z interpretacją w ramach pierwotnych mechaniki kwantowej , teorii rzekomego opisać w jednej cząstce. Jeśli chce się na przykład skonstruować gęstość prawdopodobieństwa obecności, która spełnia relatywistyczne równanie ciągłości:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ rho ({\ vec {r}}, t)} {\ częściowe t}} \ + \ {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {j}} ( {\ vec {r}}, t) \ = \ 0}

nieuchronnie otrzymujemy następujące ilości:

{\ Displaystyle \ rho ({\ vec {r}}, t) \ = \ N \ \ Im {\ mathfrak {m.}} \ lewo (\ {\ overline {\ Psi}} ({\ vec {r}} , t) \ {\ frac {\ części \ Psi ({\ vec {r}}, t)} {\ częściowe t}} \ \ right)}

{\ Displaystyle {\ vec {j}} ({\ vec {r}}, t) \ = \ Nc ^ {2} \ \ Im {\ mathfrak {m.}} \ lewo (\ {\ overline {\ Psi} } ({\ vec {r}}, t) \ {\ vec {\ nabla}} \ \ Psi ({\ vec {r}}, t) \ \ right)}

gdzie jest sprzężony kompleks i jest dowolną stałą. Jednak ta gęstość nie jest wszędzie dodatnia i dlatego nie może reprezentować gęstości prawdopodobieństwa obecności. ${\ displaystyle {\ overline {\ Psi}}}$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $NIE$ $\ rho$

Odpowiednim szkieletem do bezproblemowej interpretacji tego relatywistycznego równania kwantowego jest kwantowa teoria pola.

Od równania Kleina-Gordona do równania Diraca

Fakt, że gęstość nie wszędzie jest dodatnia, wynika z faktu, że gęstość ta zawiera pierwszą pochodną względem czasu , jak zauważył Dirac w 1928 r. Jest to związane z faktem, że równanie Kleina-Gordona zawiera pochodną czasową sekundę. $\ rho$

Naiwne podejście

Aby otrzymać relatywistyczne równanie pierwszego rzędu w czasie , można pomyśleć o bezpośrednim kwantyfikowaniu wyrażenia:

{\ Displaystyle E \ = \ {\ sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}}}

Procedura kwantyzacji kanonicznej prowadzi następnie do równania:

{\ Displaystyle i \, \ hbar \ {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} \ Phi ({\ vec {r}}, t) \ = \ {\ sqrt {\ - \, c ^ {2 } \, \ hbar ^ {2} \, \ nabla ^ {2} \, + \, m ^ {2} \, c ^ {4} \}} \ \ Phi ({\ vec {r}}, t )}

Ze względu na obecność pierwiastka kwadratowego na operatorze z przestrzennymi pochodnymi cząstkowymi równanie to wydaje się a priori bardzo trudne do rozwiązania. Teraz wiemy, jak nadać operatorowi precyzyjne matematycznie znaczenie : jest to operator pseudo-różniczkowy , który ma tę szczególną cechę, że jest nielokalny - to znaczy zależy od wartości gdzie indziej niż od sąsiedztwa . ${\ Displaystyle {\ sqrt {- \, c ^ {2} \, \ hbar ^ {2} \, \ nabla ^ {2} \, + \, m ^ {2} \, c ^ {4} \} }}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {- \, c ^ {2} \, \ hbar ^ {2} \, \ nabla ^ {2} \, + \, m ^ {2} \, c ^ {4} \} } \ Phi}$ $\ Phi$ $\ vec {r}$

Równanie Diraca

Dirac będzie następnie szukał innego relatywistycznego równania pierwszego rzędu w czasie i przestrzeni . Zacznie od próby ustalenia relacji dyspersyjnej typu:

{\ Displaystyle E \ = \ {\ vec {\ alfa}} \ cdot {\ vec {p}} \, c \ + \ \ beta \ m \, c ^ {2}}

między energią, masą i pędem. Uda mu się i, po kwantowaniu kanonicznym, w końcu otrzyma równanie, które dziś nosi jego imię, równanie Diraca, i które bardzo dobrze opisuje fermiony o spinie w połowie podobnym do elektronu. Odpowiednie ramy do bezproblemowej interpretacji tego relatywistycznego równania kwantowego to nadal kwantowa teoria pola .

Zastosowanie równania Kleina-Gordona w kwantowej teorii pola

Jeśli równanie Klein-Gordon nie pozwala na opisanie się cząstek, takich jak elektronów wokół jądra , pozwala opisują zestaw cząstek wirowania 0 ramach teorii pola kwantowej. Nieznane Ψ nie jest więc już funkcją falową, ale operatorem działającym na wektorze stanu należącym do przestrzeni Focka . Ten typ przestrzeni opisuje stan układu kwantowego składającego się z kilku cząstek, których liczba może się zmieniać.

Jedyną podstawową cząstką o spinie 0 jest (na dzień wrzesień 2016) bozon Higgsa . Pole Higgsa spełnia równanie Kleina-Gordona.

Istnieją cząstki złożone, które można przedstawić jako cząstki o spinie 0, takie jak mezony π lub jądra niektórych atomów, takich jak węgiel 12.

Aspekty historyczne

Spór o początki

Zabawne jest zauważyć, że według Diraca Schrödinger jako pierwszy napisał relatywistyczne równanie znane dziś jako Klein-Gordon, aby spróbować opisać elektron w atomie wodoru. Rzeczywiście, lektura pierwszej tezy Schrödingera opublikowanej w lutym 1926 r. Pokazuje, że próbował on już relatywistycznego równania falowego, ale ta pierwsza teza nie zawiera równania napisanego wprost. Ponieważ uzyskane prognozy nie były zgodne z dość dokładnymi wynikami eksperymentalnymi uzyskanymi przez Paschena w 1916 r., Schrödinger zauważyłby wówczas, że to nierelatywistyczne równanie - obecnie nazywane równaniem Schrödingera - dało prawidłowe widmo wodoru. (Po uwzględnieniu efekty spinu na zasadzie ad hoc ). Schrödinger opublikował swoje relatywistyczne równanie dopiero w czwartym pamiętniku z 1926 roku.

W międzyczasie, a dokładniej między kwietniem a Wrzesień 1926, co najmniej pięć innych artykułów, opublikowanych niezależnie, zawierało równanie znane dziś jako Klein-Gordon. Autorami tych pięciu artykułów, do których odniesienia pojawiają się w bibliografii, są: Klein , Gordon , Fock , de Donder i van den Dungen, a na końcu Kudar.

Wreszcie, w swoim drugim artykule z 1926 roku Fock wprowadził również procedurę minimalnego sprzężenia , opisującą sprzężenie masywnej cząstki ładunku elektrycznego z danym zewnętrznym polem elektromagnetycznym , reprezentowanym przez poczwórny potencjał . $mi$ ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$

Szczegóły techniczne

Minimalne sprzężenie

W przypadku obciążenia w obecności danego zewnętrznego pola elektromagnetycznego, reprezentowanego przez poczwórny potencjał , zalecenie minimalnego sprzężenia Focka prowadzi do zastąpienia poczwórnego impulsu przez następującą wielkość: $mi$ ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle p _ {\ mu}}$

{\ Displaystyle p _ {\ mu} \ quad \ longrightarrow \ quad p _ {\ mu} \, - \, e \, A _ {\ mu}}

Przedstawmy wyraźnie czasowe i przestrzenne składowe impulsu quadri:

{\ displaystyle p ^ {\ mu} \ = \ {\ zaczynać {pmatrix} {\ frac {E} {c}} \\ {\ vec {p}} \ koniec {pmatrix}}}

{\ Displaystyle p _ {\ mu} \ = \ {\ zaczynać {pmatrix} {\ frac {E} {c}} \\ - \ {\ vec {p}} \ koniec {pmatrix}}}

i poczwórny potencjał:

{\ Displaystyle A ^ {\ mu} \ = \ {\ zaczynać {pmatrix} {\ frac {V} {c}} \\ {\ vec {A}} \ koniec {pmatrix}}}

{\ Displaystyle A _ {\ mu} \ = \ {\ zaczynać {pmatrix} {\ frac {V} {c}} \\ - \ {\ vec {A}} \ koniec {pmatrix}}}

Otrzymujemy wtedy wyraźnie:

{\ Displaystyle p ^ {\ mu} \, - \, e \, A ^ {\ mu} \ = \ {\ rozpocząć {pmatrix} {\ Frac {1} {c}} \, \ lewo (\, E \, - \, e \, V \, \ right) \\ {\ vec {p}} \, - \, e \, {\ vec {A}} \ end {pmatrix}}}

Widmo atomu wodoru według minimalnego sprzężenia

Zaczynamy ponownie od relatywistycznego równania dyspersji izolowanej masywnej cząstki:

{\ Displaystyle E ^ {2} \ = \ {\ vec {p}} ^ {~ 2} \ c ^ {2} \ + \ m ^ {2} \ c ^ {4} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad p_ {\ mu} \, p ^ {\ mu} \ = \ m ^ {2} \, c ^ {2}}

Przedstawiamy minimalne sprzęgło Focka:

{\ Displaystyle \ lewo (p _ {\ mu} \, - \, e \, A _ {\ mu} \ prawej) \, \ lewo (p ^ {\ mu} \, - \, e \, A ^ {\ mu} \ right) \ = \ m ^ {2} \, c ^ {2}}

co daje wprost poprzez podstawienie komponentów:

{\ Displaystyle \ lewo (E \, - \, e \, V \ prawej) ^ {2} \ - \ \ lewo ({\ vec {p}} \, - \, e \, {\ vec {A} } \ right) ^ {2} c ^ {2} \ = \ m ^ {2} \, c ^ {4}}

W obecności statycznego potencjału Coulomba opisującego oddziaływanie elektronu z protonem (zakładanym, że jest nieskończenie ciężki), potencjał wektora wynosi zero: i mamy: ${\ displaystyle {\ vec {A}} = 0}$

{\ Displaystyle \ lewo (\, E \, + \, {\ Frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}} \, \ prawo) ^ {2} \ - \ { \ vec {p}} ^ {~ 2} c ^ {2} \ = \ m ^ {2} \, c ^ {4}}

Stosujemy kwantyzację kanoniczną do tego klasycznego równania, które staje się operatorem różniczkowym cząstkowym:

{\ Displaystyle \ lewo (\, ja \, \ hbar \, {\ Frac {\ częściowe ~~} {\ częściowe t}} \, + \, {\ Frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}} \, \ right) ^ {2} \ - \ \ left (\, - \, i \, \ hbar \, {\ vec {\ nabla}} \, \ right) ^ { 2} c ^ {2} \ = \ m ^ {2} \, c ^ {4}}

stąd równanie zależne od czasu:

{\ Displaystyle \ lewo (\, ja \, \ hbar \, {\ Frac {\ częściowe ~~} {\ częściowe t}} \, + \, {\ Frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}} \, \ right) ^ {2} \ \ Psi ({\ vec {r}}, t) \ + \ \ hbar ^ {2} c ^ {2} \, \ nabla ^ {2} \ Psi ({\ vec {r}}, t) \ = \ m ^ {2} \, c ^ {4} \ \ Psi ({\ vec {r}}, t)}

Wreszcie szukamy stacjonarnych stanów stałej energii w postaci funkcji czysto przestrzennej pomnożonej przez wykładniczą oscylującą w czasie: $mi$

{\ Displaystyle \ Psi ({\ vec {r}}, t) \ = \ \ psi ({\ vec {r}}) \ e ^ {- iEt / \ hbar}}

Następnie otrzymujemy równanie wartości własnej:

{\ Displaystyle \ lewo (E \, + \, {\ Frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}} \, \ w prawo) ^ {2} \ \ psi ({\ vec {r}}) \ + \ \ hbar ^ {2} c ^ {2} \, \ nabla ^ {2} \ psi ({\ vec {r}}) \ = \ m ^ {2} \, c ^ {4} \ \ psi ({\ vec {r}})}

Schrödinger był zniechęcony, że to równanie nie daje prawidłowego widma dla atomu wodoru. W rzeczywistości uzyskuje się następujące poziomy energii:

{\ Displaystyle E_ {n, l} \ = \ mc ^ {2} \ \ lewo [\, 1 \, - \, {\ Frac {\ alfa ^ {2}} {2 \, n ^ {2}} } \, - \, {\ frac {\ alpha ^ {4}} {2 \, n ^ {4}}} \ \ left ({\ frac {n} {l + {\ frac {1} {2} }}} \, - \, {\ frac {3} {4}} \ right) \, \ right] \ + \ O (\ alpha ^ {6})}

gdzie główna liczba kwantowa jest ściśle dodatnią liczbą całkowitą, orbitalna liczba kwantowa jest dodatnią liczbą całkowitą z przedziału od 0 do i jest stałą drobnoziarnistą : $nie$ $l$ $n-1$ $\alfa$

{\ Displaystyle \ alpha \ = \ {\ Frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} \ hbar c}} \ \ simeq \ {\ Frac {1} {137.04}}}

Termin kolejności jest poprawny, ale następujący termin kolejności , który opisuje subtelną strukturę, nie jest zgodny z wynikami eksperymentalnymi uzyskanymi przez Paschena już w 1916 r. Prawidłowe wyrażenie dla tego porządku to rzeczywiście: $\ alpha ^ 2$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {4}}$

{\ Displaystyle E_ {n, l} \ = \ mc ^ {2} \ \ lewo [\, 1 \, - \, {\ Frac {\ alfa ^ {2}} {2 \, n ^ {2}} } \, - \, {\ frac {\ alpha ^ {4}} {2 \, n ^ {4}}} \ \ left ({\ frac {n} {j + {\ frac {1} {2} }}} \, - \, {\ frac {3} {4}} \ right) \, \ right] \ + \ O (\ alpha ^ {6})}

z liczbą kwantową , gdzie dodatkowa połowa jest związana ze spinem elektronu, który nie jest uwzględniony w równaniu Kleina-Gordona. ${\ displaystyle j = l + 1/2}$

Bibliografia

Wspomnienia historyczne

Erwin Schrödinger, Wspomnienia o mechanice fal , Félix Alcan (Paryż-1933). Przedrukowany przez Jacquesa Gabay (Paryż-1988) ( ISBN 2-87647-048-9 ) .
Friedrich Paschen, Annalen der Physik (Lipsk) 50 (1916) 901.
Oskar Klein, Zeitschrift für Physik 37 (1926) 895.
Walter Gordon, Zeitschrift für Physik 40 (1926) 117.
Vladimir Fock, Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242.
Théophile de Donder i H. van den Dungen, Reports of the Academy of Sciences (Paryż) 183 (1926) 22.
J. Kudar, Annalen der Physik (Lipsk) 81 (1926) 632.
Vladimir Fock, Zeitschrift für Physik 39 (1926) 226.

Nowoczesne syntezy

(en) Steven Weinberg, The Quantum Theory of Fields - Volume I: Foundations , Cambridge University Press (1995) ( ISBN 0-521-55001-7 ) . Pierwszy tom monumentalnego traktatu, który zawiera trzy, poświęcony kwantowej teorii pola. Steven Weinberg jest ekspertem w tej dziedzinie, Nagroda Nobla 1979 .
(en) Abraham Pais, Inward Bound - Of Matter & Forces in the Physical World , Oxford University Press (1986) ( ISBN 0-19-851997-4 ) . Napisana przez byłego asystenta Einsteina w Princeton, ta historia rozwoju współczesnej fizyki zaczyna się w 1895 roku wraz z eksperymentalnym odkryciem promieni rentgenowskich, a kończy w 1983 roku eksperymentalnym odkryciem w CERN wektorów bozonów W i Z. Autor opisuje bardzo szczegółowo ewolucję idei, systematycznie wskazując odniesienia do oryginalnych publikacji.
(en) Tian Yu Cao, Conceptual Developments of 20th Century Field Theories , Cambridge University Press (1997) ( ISBN 0-521-63420-2 ) .

Bibliografia

(w) JJ Sakurai, Zaawansowana mechanika kwantowa .
W ramach kwantowej teorii pola do opisu bozonów o spinie zerowym stosuje się równanie Kleina-Gordona (dlatego nie jest ono odpowiednie dla fotonu ). Rzeczywiste rozwiązanie tego równania charakteryzuje cząstkę bez ładunku elektrycznego (tzw. Cząstkę skalarną), natomiast rozwiązanie złożone charakteryzuje cząstkę z ładunkiem (tzw. Cząstkę pseudoskalarną).
(w) Steven Weinberg, The Quantum Theory of Fields - Volume I: Foundations , Cambridge University Press (1995) ( ISBN 0-521-55001-7 ) . Pierwszy tom monumentalnego traktatu, który zawiera trzy, poświęcony kwantowej teorii pola. Steven Weinberg jest ekspertem w tej dziedzinie, Nagroda Nobla 1979 .
(w) Abraham Pais, Inward Bound - Of Matter & Forces in the Physical World , Oxford University Press (1986) ( ISBN 0-19-851997-4 ) . Napisana przez byłego asystenta Einsteina w Princeton, ta historia rozwoju współczesnej fizyki zaczyna się w 1895 roku wraz z eksperymentalnym odkryciem promieni rentgenowskich, a kończy w 1983 roku eksperymentalnym odkryciem w CERN wektorów bozonów W i Z. Autor opisuje bardzo szczegółowo ewolucję idei, systematycznie wskazując odniesienia do oryginalnych publikacji.
(w) Tian Yu Cao, Conceptual Developpments of 20th Century Field Theories , Cambridge University Press (1997) ( ISBN 0-521-63420-2 ) .
Termin ten jest taki sam, jak ten otrzymany z nierelatywistycznego równania Schrödingera dla bezspinowego elektronu, a także taki sam jak ten otrzymany z półklasycznego modelu Bohra . Prawidłowo odtwarza eksperymentalną formułę Balmera.