Prawo Gumbela
Gumbel
|
Gęstości prawdopodobieństwa
|
|
|
Funkcja dystrybucyjna
|
|
Ustawienia
|
μ{\ displaystyle \ mu \!} pozycja ( rzeczywista ) skala (rzeczywista)
β>0{\ displaystyle \ beta> 0 \!} |
---|
Wsparcie
|
x∈(-∞;+∞){\ Displaystyle x \ in (- \ infty; + \ infty) \!}
|
---|
Gęstości prawdopodobieństwa
|
exp(-z)zβ{\ Displaystyle {\ Frac {\ exp (-z) \, z} {\ beta}} \!}![{\ frac {\ exp (-z) \, z} {\ beta}} \!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6db1031fa1c38dc120ec31caafac8fba328ee1e) z z=exp[-x-μβ]{\ Displaystyle z = \ exp \ lewo [- {\ Frac {x- \ mu} {\ beta}} \ prawo] \!}
|
---|
Funkcja dystrybucyjna
|
exp(-exp[-(x-μ)/β]){\ Displaystyle \ exp (- \ exp [- (x- \ mu) / \ beta]) \!}
|
---|
Nadzieja
|
μ+βγ{\ Displaystyle \ mu + \ beta \, \ gamma \!}
gdzie jest stała Eulera-Mascheroniego .
γ{\ displaystyle \ gamma}![\gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
|
---|
Mediana
|
μ-βln(ln(2)){\ Displaystyle \ mu - \ beta \, \ ln (\ ln (2)) \!}
|
---|
Moda
|
μ{\ displaystyle \ mu \!}
|
---|
Zmienność
|
π26β2{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi ^ {2}} {6}} \, \ beta ^ {2} \!}
|
---|
Asymetria
|
126ζ(3)π3≈1.14{\ Displaystyle {\ Frac {12 {\ sqrt {6}} \, \ zeta (3)} {\ pi ^ {3}}} \ około 1,14 \!}
|
---|
Znormalizowana kurtooza
|
125{\ displaystyle {\ frac {12} {5}}}
|
---|
Entropia
|
ln(β)+γ+1{\ Displaystyle \ ln (\ beta) + \ gamma +1 \!}![\ ln (\ beta) + \ gamma +1 \!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50dc55e15a843fa576fe2d675cdce1f9b501ff9) dla β>exp(-(γ+1)){\ Displaystyle \ beta> \ exp (- (\ gamma +1)) \!}
|
---|
Funkcja generująca momenty
|
Γ(1-βt)exp(μt){\ Displaystyle \ Gamma (1- \ beta \, t) \, \ exp (\ mu \, t) \!}
|
---|
Charakterystyczna funkcja
|
Γ(1-jaβt)exp(jaμt){\ Displaystyle \ Gamma (1-i \, \ beta \, t) \, \ exp (i \, \ mu \, t) \!}
|
---|
W teorii prawdopodobieństwa , prawo Gumbela za (lub Gumbela jest dystrybucja ), nazwany Emil Julius Gumbela , to ciągłe prawo prawdopodobieństwo . Prawo Gumbela jest szczególnym przypadkiem uogólnionego prawa ekstremum w taki sam sposób, jak prawo Weibulla czy prawo Frécheta . Prawo Gumbela jest zadowalającym przybliżeniem maksymalnego prawa próbki niezależnych zmiennych losowych, wszystkich tego samego prawa, gdy tylko to prawo należy dokładnie do dziedziny przyciągania prawa Gumbela. Wśród praw należących do domeny przyciągania prawa Gumbela jest prawo wykładnicze .
Prawo Gumbela można na przykład wykorzystać do przewidywania poziomu zalewania rzeki, jeśli mamy zapis o przepływach w ciągu dziesięciu lat. Może być również używany do przewidywania prawdopodobieństwa wystąpienia krytycznego zdarzenia, takiego jak trzęsienie ziemi .
Charakterystyczne funkcje
Funkcja dystrybucyjna prawa Gumbela to:
fa(x;μ,β)=exp(-miμ-xβ).{\ Displaystyle F (x; \ mu, \ beta) = \ exp \ lewo (-e ^ {\ Frac {\ mu -x} {\ beta}} \ po prawej).}![{\ Displaystyle F (x; \ mu, \ beta) = \ exp \ lewo (-e ^ {\ Frac {\ mu -x} {\ beta}} \ po prawej).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f964299a5a56f0acd4d732f94a2124f3fcb350d7)
Dla μ = 0 i β = 1 otrzymujemy standardowe prawo Gumbela.
Powiązane dystrybucje
- Jeśli X jest zgodny z prawem Gumbela, to warunkowy rozkład Y = - X w przypadku, gdy Y jest ściśle dodatni lub równoważny, w przypadku, gdy X jest ściśle ujemny, jest zgodny z prawem Gompertza . Funkcja rozkładu G z Y jest powiązana z F funkcją rozkładu X za pomocą następującego wzoru: dla y > 0 . Gęstości są zatem powiązane przez : gęstość Gompertza (in) jest proporcjonalna do odbitej gęstości Gumbela i ograniczona do ściśle dodatnich wartości.sol(y)=P.(Y≤y)=P.(X≥-y|X≤0)=(fa(0)-fa(-y))/fa(0){\ Displaystyle G (r) = \ mathbb {P} (Y \ równoważnik r) = \ mathbb {P} (X \ geq -y | X \ równoważnik 0) = (F (0) -F (-y)) / F (0)}
sol(y)=fa(-y)/fa(0){\ Displaystyle g (r) = f (-y) / F (0)}
- Jeśli X następuje po wykładnictwie ze średnią równą 1, to –log ( X ) następuje po standardowym rozkładzie Gumbela.
- Jeśli tak .X,Y∼solumbmil(α,β){\ Displaystyle X, Y \ sim \ mathrm {Gumbel} (\ alfa, \ beta)}
X-Y∼Losoljastjavs(0,β){\ Displaystyle XY \ sim \ mathrm {logistyczne} (0, \ beta) \,}![{\ Displaystyle XY \ sim \ mathrm {logistyczne} (0, \ beta) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04a9a9dd6c297d301a5d506ce4b3984f8a74432)
Teoria związana z uogólnionymi prawami wielowymiarowymi log-gamma (in) dostarcza wielowymiarowej wersji rozkładu Gumbela.
Zobacz też
Uwagi
-
Regularna odmiana , Bingham, Goldie i Teugels.
-
WJ Willemse i R. Kaas , „ Racjonalna rekonstrukcja modeli umieralności opartych na słabości poprzez uogólnienie prawa śmiertelności Gompertza ”, Ubezpieczenia: Matematyka i Ekonomia , t. 40, n o 3,2007, s. 468 ( DOI 10.1016 / j.insmatheco.2006.07.003 )
Bibliografia
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">