Prawo Frécheta

Prawo Frécheta
Gęstości prawdopodobieństwa
Funkcja dystrybucyjna
Ustawienia	α∈]0,∞[{\ displaystyle \ alpha \ in] 0, \ infty [} parametr kształtu . (dwa parametry opcjonalne) parametr skala (domyślny ) parametr pozycji minimalnego (domyślny ) s∈]0,∞[{\ Displaystyle s \ in] 0, \ infty [} s=1{\ Displaystyle s = 1 \,} m∈]-∞,∞[{\ displaystyle m \ in] - \ infty, \ infty [} m=0{\ Displaystyle m = 0 \,}
Wsparcie	x>m{\ displaystyle x> m}
Gęstości prawdopodobieństwa	αs(x-ms)-1-αmi-(x-ms)-α{\ Displaystyle {\ Frac {\ alpha} {s}} \; \ lewo ({\ Frac {xm} {s}} \ prawej) ^ {- 1- \ alfa} \; e ^ {- ({\ Frac {xm} {s}}) ^ {- \ alpha}}}
Funkcja dystrybucyjna	mi-(x-ms)-α{\ Displaystyle e ^ {- ({\ Frac {xm} {s}}) ^ {- \ alfa}}}
Nadzieja	{ m+sΓ(1-1α)dla α>1 ∞Jeśli nie{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} \ m + s \ Gamma \ lewo (1 - {\ Frac {1} {\ alfa}} \ po prawej) i {\ tekst {za}} \ scriptstyle \ alpha> 1 \\ \ \ infty & {\ text {inaczej}} \ end {sprawy}}}
Mediana	m+slogmi⁡(2)α{\ Displaystyle m + {\ Frac {s} {\ sqrt [{\ alpha}] {\ log _ {e} (2)}}}}
Moda	m+s(α1+α)1/α{\ Displaystyle m + s \ lewo ({\ Frac {\ alfa} {1+ \ alfa}} \ prawej) ^ {1 / \ alfa}}
Zmienność	{s2(Γ(1-2α)-(Γ(1-1α))2)dla α>2 ∞Jeśli nie{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} \ scriptstyle s ^ {2} \ lewo (\ Gamma \ lewo (1 - {\ Frac {2} {\ alfa}} \ prawo) - \ lewo (\ Gamma \ lewo (1 - {\ frac {1} {\ alpha}} \ right) \ right) ^ {2} \ right) & {\ text {for}} \ scriptstyle \ alpha> 2 \\\ \ infty & {\ text {w przeciwnym razie }} \ end {sprawy}}}
Asymetria	zobacz artykuł
Znormalizowana kurtooza	zobacz artykuł
Entropia	1+γα+γ+ln⁡(sα){\ Displaystyle 1 + {\ Frac {\ gamma} {\ alpha}} + \ gamma + \ ln \ lewo ({\ Frac {s} {\ alpha}} \ prawej)}, gdzie jest stała Eulera-Mascheroniego . γ{\ displaystyle \ gamma}
Funkcja generująca momenty	k- th chwila , gdy istniejeα>k{\ displaystyle \ alpha> k}
Charakterystyczna funkcja	zobacz Muraleedharan, Soares & Lucas (2011)

W teorii prawdopodobieństwa i statystyki , prawo Frecheta jest to szczególny przypadek uogólnionego prawa ekstremum w taki sam sposób jak Gumbela w prawo lub prawem Weibulla jest .

Nazwa tego prawa pochodzi od Maurice'a Frécheta , autora artykułu na ten temat z 1927 roku. Kolejne prace wykonali Ronald Aylmer Fisher i LHC Tippett w 1928 roku oraz Emil Julius Gumbel w 1958 roku.

Definicja

Jego funkcję dystrybucyjną określa:

P.(X≤x)={mi-x-α gdyby x>00 Jeśli nie{\ Displaystyle \ mathbb {P} (X \ leq x) = {\ rozpocząć {przypadków} e ^ {- x ^ {- \ alpha}} i {\ text {si}} x> 0 \\ 0 & {\ tekst {inaczej}} \ end {sprawy}}}

gdzie jest parametr kształtu . Prawo to można uogólnić, wprowadzając parametr położenia m minimum i parametr skali s > 0. Funkcja dystrybucji jest zatem następująca: α>0{\ displaystyle \ alpha> 0}

P.(X≤x)={mi-(x-ms)-α gdyby x>m0 Jeśli nie.{\ Displaystyle \ mathbb {P} (X \ równoważnik x) = {\ rozpocząć {przypadków} e ^ {- \ lewo ({\ Frac {xm} {s}} \ prawo) ^ {- \ alfa}} & { \ text {si}} x> m \\ 0 & {\ text {inaczej.}} \ end {sprawy}}}

Nieruchomości

Chwile

Jednoparametrowe prawo Frécheta ma standardowe momenty : α{\ displaystyle \ alpha}

μk=∫0∞xkfa(x)rex=∫0∞t-kαmi-tret{\ Displaystyle \ mu _ {k} = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {k} f (x) dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {- {\ Frac {k} {\ alpha}}} e ^ {- t} dt},

(z ) zdefiniowane dla  : t=x-α{\ displaystyle t = x ^ {- \ alpha}}k<α{\ displaystyle k <\ alpha}

μk=Γ(1-kα){\ Displaystyle \ mu _ {k} = \ Gamma \ lewo (1 - {\ Frac {k} {\ alfa}} \ prawej)}

gdzie jest funkcja Gamma . Γ(z){\ Displaystyle \ Gamma \ lewo (z \ w prawo)}

W szczególności :

• Dla nadzieja jestα>1{\ displaystyle \ alpha> 1}mi[X]=Γ(1-1α){\ Displaystyle \ mathbb {E} [X] = \ Gamma (1 - {\ tfrac {1} {\ alpha}})}
• Do tej sprzeczności jest .α>2{\ displaystyle \ alpha> 2}Var(X)=Γ(1-2α)-(Γ(1-1α))2{\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = \ Gamma (1 - {\ tfrac {2} {\ alpha}}) - {\ big (} \ Gamma (1 - {\ tfrac {1} {\ alpha}}) {\ big)} ^ {2}}

Kwantyle

Celu kwantylem mogą być wyrażone przez odwrotność funkcji rozkładu: qy{\ displaystyle q_ {y}}y{\ displaystyle y}

qy=fa-1(y)=(-logmi⁡y)-1α{\ Displaystyle q_ {y} = F ^ {- 1} (y) = \ lewo (- \ log _ {e} y \ prawo) ^ {- {\ Frac {1} {\ alfa}}}}.

W szczególności mediana wynosi:

q1/2=(logmi⁡2)-1α{\ Displaystyle q_ {1/2} = (\ log _ {e} 2) ^ {- {\ Frac {1} {\ alfa}}}}.

Tryb prawa Frecheta jest . (αα+1)1α{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ alfa} {\ alfa +1}} \ prawej) ^ {\ Frac {1} {\ alfa}}}

W przypadku trzyparametrowego prawa Frécheta pierwszy kwartyl to, a trzeci kwartyl to . q1=m+slog⁡(4)α{\ displaystyle q_ {1} = \ scriptstyle m + {\ frac {s} {\ sqrt [{\ alpha}] {\ log (4)}}}}q3=m+slog⁡(43)α{\ displaystyle q_ {3} = \ scriptstyle m + {\ Frac {s} {\ sqrt [{\ alpha}] {\ log ({\ Frac {4} {3}})}}}}

Asymetria i kurtozy

Asymetria prawa Frecheta jest:

{ Γ(1-3α)-3Γ(1-2α)Γ(1-1α)+2Γ3(1-1α)(Γ(1-2α)-Γ2(1-1α))3dla α>3 ∞Jeśli nie{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} \ {\ Frac {\ Gamma \ lewo (1 - {\ Frac {3} {\ alpha}} \ prawej) -3 \ Gamma \ lewo (1 - {\ Frac {2}) {\ alpha}} \ right) \ Gamma \ left (1 - {\ frac {1} {\ alpha}} \ right) +2 \ Gamma ^ {3} \ left (1 - {\ frac {1} {\ alpha}} \ right)} {\ sqrt {\ left (\ Gamma \ left (1 - {\ frac {2} {\ alpha}} \ right) - \ Gamma ^ {2} \ left (1 - {\ frac {1} {\ alpha}} \ right) \ right) ^ {3}}}} & {\ text {for}} \ alpha> 3 \\\ \ infty & {\ text {inaczej}} \ end {cases }}}

kurtoza jest:

{ -6+Γ(1-4α)-4Γ(1-3α)Γ(1-1α)+3Γ2(1-2α)[Γ(1-2α)-Γ2(1-1α)]2dla α>4 ∞Jeśli nie{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} \ -6 + {\ Frac {\ Gamma \ lewo (1 - {\ Frac {4} {\ alpha}} \ prawej) -4 \ Gamma \ lewo (1 - {\ Frac) {3} {\ alpha}} \ right) \ Gamma \ left (1 - {\ frac {1} {\ alpha}} \ right) +3 \ Gamma ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2 } {\ alpha}} \ right)} {\ left [\ Gamma \ left (1 - {\ frac {2} {\ alpha}} \ right) - \ Gamma ^ {2} \ left (1 - {\ frac {1} {\ alpha}} \ right) \ right] ^ {2}}} & {\ text {pour}} \ alpha> 4 \\\ \ infty & {\ text {else}} \ end {cases} }}

Aplikacje

W hydrologii prawo Frécheta jest wykorzystywane do ekstremalnych zjawisk, takich jak roczne maksymalne dzienne opady lub przepływ w rzece. Niebieska cyfra ilustruje odpowiedni przykład prawa Frécheta dotyczącego rocznych maksymalnych dziennych opadów w Omanie , pokazując również 90-procentowy przedział ufności oparty na prawie dwumianowym .

Powiązania z innymi przepisami

• Jeśli ( ciągłe prawo jednolite ) toX∼U(0,1){\ Displaystyle X \ sim U (0,1) \,}m+s(-log⁡(X))-1/α∼Frechet(α,s,m){\ Displaystyle m + s (- \ log (X)) ^ {- 1 / \ alfa} \ sim {\ textrm {Frechet}} (\ alfa, s, m) \,}
• Jeśli wtedyX∼Frechet(α,s,m){\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Frechet}} (\ alfa, s, m) \,}kX+b∼Frechet(α,ks,km+b){\ Displaystyle kX + b \ sim {\ textrm {Frechet}} (\ alfa, ks, km + b) \,}
• Jeśli i wtedyXja=Frechet(α,s,m){\ Displaystyle X_ {i} = {\ textrm {Frechet}} (\ alfa, s, m) \,}Y=max{X1,...,Xnie}{\ Displaystyle Y = \ max \ {\, X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \ \ \} \,}Y∼Frechet(α,nie1αs,m){\ Displaystyle Y \ sim {\ textrm {Frechet}} (\ alfa, n ^ {\ tfrac {1} {\ alfa}} s, m) \,}
• Jeśli ( prawo Weibulla ) toX∼Weibull(k=α,λ=m){\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Weibull}} (k = \ alfa, \ lambda = m) \,}m2X∼Frechet(α,s,m){\ Displaystyle {\ tfrac {m ^ {2}} {X}} \ sim {\ textrm {Frechet}} (\ alfa, s, m) \,}

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „  Fréchet distribution  ” ( zobacz listę autorów ) .

1. (en) G. Muraleedharan, C. Guedes Soares i Cláudia Lucas, rozdz.  14 „Characteristic and Moment Generating Functions of Generalized Extreme Value Distribution (GEV)” , w: Linda L. Wright, Sea Level Rise, Coastal Engineering, Shorelines and Tides , Nova Science Publishers ,2011( ISBN  978-1-61728-655-1 ) , str.  269-276/
2. (w) Stuart Coles, Wprowadzenie do statystycznego modelowania wartości ekstremalnych , Londyn, Springer-Verlag ,2001, 2 II  wyd. , 208  str. ( ISBN  978-1-85233-459-8 , czytaj online ).

Zobacz też

Bibliografia

• M. Fréchet, „O prawie prawdopodobieństwa maksymalnego odchylenia”, Ann. Soc. Polon. Matematyka. , lot. 6, n O  3 1927
• (en) RA Fisher i LHC Tippett, „Graniczne formy rozkładu częstotliwości największego i najmniejszego członka próbki”, Proc. Natl. Cambridge Phil. Soc. , lot. 24, 1928, s.  180-190
• (en) EJ Gumbel, Statistics of Extremes , Columbia University Press, Nowy Jork, 1958
• (en) S. Kotz i S. Nadarajah, Extreme Value Distributions: Theory and Applications , World Scientific, 2000 ( ISBN  1860942245 )

Linki zewnętrzne

• (en) Zastosowanie nowego rozkładu wartości ekstremalnych w danych dotyczących zanieczyszczenia powietrza
• Analiza fal pod kątem zmęczenia i oceanografii

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">