Uogólnione prawo ekstremum

W prawdopodobieństwie i statystyce uogólnione prawo ekstremum jest rodziną ciągłych praw prawdopodobieństwa, które są używane do reprezentowania zjawisk o ekstremalnych wartościach (minimum lub maksimum). Obejmuje rozkład Gumbela , prawo Frécheta i Weibulla , odpowiednio prawa ekstremum typu I, II i III. Twierdzenie Fishera-Tippetta-Gnedenki ustala, że uogólnione prawo ekstremum jest ograniczającym rozkładem maksimum (odpowiednio znormalizowanego) szeregu niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie ( iid ).

Uogólnione prawo ekstremum jest znane jako prawo Fishera-Tippetta od nazwiska Ronalda Fishera i LHC Tippetta, którzy badali trzy poniższe formy funkcjonalne. Czasami ta nazwa bardziej szczegółowo wskazuje na przypadek prawa Gumbela .

Definicja

Funkcja dystrybucji (dystrybucja skumulowana) to

{\ displaystyle F (x; \ mu, \ sigma, \ xi) = \ exp \ lewo \ {- \ lewo [1+ \ xi \ lewo ({\ Frac {x- \ mu} {\ sigma}} \ prawo) ) \ right] _ {+} ^ {- 1 / \ xi} \ right \}}

{\ Displaystyle \ lewo (1+ \ xi (x- \ mu) / \ sigma \ prawej) _ {+} = \ max \ lewo (0,1+ \ xi (x- \ mu) / \ sigma \ prawej) }

gdzie jest parametrem pozycji, $σ$ $> 0$ parametrem dyspersji i parametrem kształtu zwanym indeksem wartości ekstremalnych . Jeśli $ξ$ $= 0$ , wyrażenie nie jest zdefiniowane i należy je rozumieć jako granicę, którą można obliczyć: ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ xi \ in \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle F (x; \ mu, \ sigma, 0) = \ exp \ lewo [- \ exp \ lewo (- {\ Frac {x- \ mu} {\ sigma}} \ prawej) \ prawej].}

Funkcja gęstości to

{\ Displaystyle f (x; \ mu, \ sigma, \ xi) = {\ Frac {1} {\ sigma}} \ lewo [1+ \ xi \ lewo ({\ Frac {x- \ mu} {\ sigma }} \ right) \ right] ^ {(- 1 / \ xi) -1} \ exp \ left \ {- \ left [1+ \ xi \ left ({\ frac {x- \ mu} {\ sigma} } \ right) \ right] ^ {- 1 / \ xi} \ right \}}

{\ Displaystyle f (x; \ mu, \ sigma, 0) = {\ Frac {1} {\ sigma}} \ exp \ lewo (- {\ Frac {x- \ mu} {\ sigma}} \ prawej) \ exp \ left [- \ exp \ left (- {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}} \ right) \ right]}

Chwile

Oczekiwanie, wariancja i tryb zmiennej według uogólnionego prawa ekstremum można wyrazić przez:

{\ Displaystyle \ mathbb {E} (X) = \ mu - {\ Frac {\ sigma} {\ xi}} + {\ Frac {\ sigma} {\ xi}} g_ {1},}

\ nazwa operatora {Var} (X) = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {\ xi ^ {2}}} (g_ {2} -g_ {1} ^ {2}),

\ nazwa operatora {Tryb} (X) = \ mu + {\ frac {\ sigma} {\ xi}} [(1+ \ xi) ^ {{- \ xi}} - 1].

gdzie $g k = Γ (1- k ξ )$ , dla $k$ = 1,2,3,4

(

Γ ( t )

jest funkcją gamma ).

Asymetria zależy od znaku $Ę$

{\ Displaystyle \ kappa _ {3} (X) = \ mathbb {E} \ lewo [\ lewo ({\ Frac {X- \ mathbb {E} (X)} {\ sqrt {\ nazwa operatora {Var} (X )}}} \ right) ^ {3} \ right] = \ mathrm {sgn} (\ xi) {\ frac {g_ {3} -3g_ {1} g_ {2} + 2g_ {1} ^ {3} } {(g_ {2} -g_ {1} ^ {2}) ^ {3/2}}}.}

Kurtoza jest:

{\ Displaystyle \ kappa _ {4} (X) = \ mathbb {E} \ lewo [\ lewo ({\ Frac {X- \ mathbb {E} (X)} {\ sqrt {\ operatorname {Var} (X )}}} \ right) ^ {4} \ right] = {\ frac {g_ {4} -4g_ {1} g_ {3} + 6g_ {2} g_ {1} ^ {2} -3g_ {1} ^ {4}} {(g_ {2} -g_ {1} ^ {2}) ^ {2}}} - 3.}

Powiązanie z prawami Frécheta, Weibulla i Gumbela

Parametr $ξ$ określa zachowanie dystrybucji w jej ogonach. Wartości $ξ = 0$ , $ξ > 0$ i $ξ <0$ odpowiadają odpowiednio prawom Gumbela, Frécheta i Weibulla.

Prawo ekstremalne Gumbela lub typu I ( $ξ = 0$ ) ${\ Displaystyle F (x; \ mu, \ sigma, 0) = \ exp \ lewo (-e ^ {- (x- \ mu) / \ sigma} \ prawej) \; \; \; \ forall \; x \ in \ mathbb {R}.}$
Prawo ekstremum Frécheta lub typu II ( $ξ = α -1 > 0$ ) $F (x; \ mu, \ sigma, \ xi) = {\ begin {cases} 0 & x \ leq \ mu \\ e ^ {- ((x- \ mu) / \ sigma) ^ {{- \ alpha}}}} & x> \ mu. \ end {cases}}$
Prawo ekstremum Weibulla lub III typu ( $ξ = -α -1 <0$ ) $F (x; \ mu, \ sigma, \ xi) = {\ begin {cases} e ^ {{- (- (x- \ mu) / \ sigma) ^ {{\ alpha}}}} & x <\ mu \\ 1 & x \ geq \ mu \ end {sprawy}}$ z . $\ sigma> 0$

Uwagi

Opisana dystrybucja jest rozkładem maksymalnym . Uogólniona ekstremalne wartości prawa do minimum uzyskuje się przez zastąpienie $X$ o $- X$ w funkcji, od $F$ do $1 - F$ .
W szczególności „zwykłe” prawo Weibulla, jakie pojawia się w badaniach niezawodności, uzyskuje się ustawiając zmienną $t = μ - x$ , aby zaoferować ściśle dodatnie wsparcie $x > 0.$ Można je zatem postrzegać jako „zwrócone”: jego dziedzina ma dolną granicę zamiast górnej. Jednak w praktycznych zastosowaniach często przyjmuje się 0 jako dolną granicę.
Te trzy prawa mają dziedziny o różnym charakterze: prawo Gumbela jest nieograniczone, prawo Frécheta jest ograniczone niżej, a zwrócone prawo Weibulla jest ograniczone w najwyższym stopniu.

Istnieje związek między prawami typu I, II i III: prawem typu I jest rozkład logarytmu prawa typu II lub prawa typu III (logarytmu przeciwnego do zwracanego typu III).

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Uogólniony rozkład wartości ekstremalnych ” ( patrz lista autorów ) .
(en) Paul Embrechts , Claudia Klüppelberg i Thomas Mikosch , Modeling Extremal Events: For Insurance and Finance , Berlin, Springer Verlag,1997( czytaj online )
(en) MR Leadbetter , G. Lindgren i H. Rootzén , Extremes and Related Properties of Random Sequences and Processes , Springer-Verlag ,1983( ISBN 978-1-4612-5451-5 )
(en) SI Resnick , Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes , Springer-Verlag ,2008( 1 st ed. 1987), 320 , str. ( ISBN 978-0-387-75952-4 , czytaj online )
(w) Stuart Coles , Wprowadzenie do statystycznego modelowania wartości ekstremalnych , Springer-Verlag ,2001, 208 str. ( ISBN 1-85233-459-2 , czytaj online )