Tożsamość Lagrange'a

W matematyce , a zwłaszcza w algebrze , tożsamość Lagrange'a , odkryta przez Josepha Louisa Lagrange'a , jest formułą przekształcającą iloczyn sum kwadratów w inną sumę kwadratów; ma to istotny wpływ na właściwości iloczynu krzyżowego .

Algebraiczne sformułowania tożsamości

Tożsamość Lagrange'a jest:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} ^ {2} {\ biggr)} - {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} {\ biggr)} ^ {2} && = & \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} & \\ & {\ biggl (} & = & {1 \ over 2} \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} & {\ biggr)} \ end {aligned}}}

Ma zastosowanie do dowolnych dwóch rodzin ( a 1 , a 2 ,…, a n ) i ( b 1 , b 2 ,…, b n ) liczb rzeczywistych lub zespolonych , lub bardziej ogólnie do elementów pierścienia przemiennego . To szczególny przypadek tożsamości Bineta-Cauchy'ego .

W rzeczywistości możemy to wyrazić bardziej zwięźle za pomocą notacji wektorowej:

{\ Displaystyle \ | \ mathbf {a} \ | ^ {2} \ \ | \ mathbf {b} \ | ^ {2} - (\ mathbf {a \ cdot b}) ^ {2} = \ suma _ { 1 \ leq i <j \ leq n} \ left (\ det {\ begin {pmatrix} a_ {i} & b_ {i} \\ a_ {j} & b_ {j} \ end {pmatrix}} \ right) ^ {2}}

gdzie a i b są wektorami ℝ n . Wyrażenie to można rozszerzyć do ℂ n , zastępując iloczyn skalarny iloczynem hermitowskim, a kwadrat liczby zespolonej z kwadratem jej modułu | z | :

{\ Displaystyle {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | a_ {k} | ^ {2} {\ biggr)} {\ biggl (} \ suma _ {k = 1} ^ { n} | b_ {k} | ^ {2} {\ biggr)} - {\ biggl |} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ overline {a_ {k}}} b_ {k} { \ biggr |} ^ {2} = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} | a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} | ^ {2}}

to jest do powiedzenia :

{\ Displaystyle \ | \ mathbf {a} \ | ^ {2} \ \ | \ mathbf {b} \ | ^ {2} - | \ mathbf {a \ cdot b} | ^ {2} = \ suma _ { 1 \ leq i <j \ leq n} \ left | \ det {\ begin {pmatrix} a_ {i} & b_ {i} \\ a_ {j} & b_ {j} \ end {pmatrix}} \ right | ^ {2}.}

Prawa strona równości jest dodatnia i znosi się tylko wtedy, gdy a i b są współliniowe , tożsamość Lagrange'a pociąga za sobą nierówność Cauchy'ego-Schwarza i jej przypadek równości w przypadku przestrzeni euklidesowych (takich jak ℝ n ) i jej analog w przestrzeniach hermitowskich (as ℂ n ).

Przypadki specjalne n = 2 i n = 3 mają interpretacje geometryczne:

dla n = 2 otrzymujemy tożsamość Diofantusa (co uogólnia na tożsamość Brahmagupty) : ${\ Displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2}) = (a_ {1} b_ {1 } + a_ {2} b_ {2}) ^ {2} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) ^ {2},}$ co odpowiada multiplikatywności modułu w kompleksach, ponieważ przez ustawienie i , ten wzór jest równoważny ; ${\ displaystyle z_ {1} = a_ {1} + {\ rm {i}} a_ {2}}$ ${\ displaystyle z_ {2} = b_ {2} + {\ rm {i}} b_ {1}}$ ${\ Displaystyle | z_ {1} z_ {2} | ^ {2} = | z_ {1} | ^ {2} | z_ {2} | ^ {2}}$
przypadek n = 3 omówiono poniżej, w części poświęconej iloczynowi .

Demonstracja wersji algebraicznej

Poniższy dowód odpowiada bezpośrednim obliczeniom algebraicznym i dlatego jest ważny w każdym pierścieniu przemiennym .

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma _ {1 \ równoważnik ja <j \ równoważnik n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} & = \ suma _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -2a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j} + a_ {j } ^ {2} b_ {i} ^ {2}) \\ & = \ sum _ {\ begin {smallmatrix} 1 \ leq i, j \ leq n \\ i \ neq j \ end {smallmatrix}} (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j}) \\ & = \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n } (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j}) \\ & = \ left (\ sum _ {i = 1 } ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ right) \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} ^ {2} \ right) - \ left (\ sum _ { i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} b_ {j} \ right). \ end {wyrównane }}}

Tożsamość Lagrange'a w algebrze zewnętrznej

Korzystając z produktu zewnętrznego , tożsamość Lagrange można zapisać:

{\ Displaystyle (a \ cdot a) (b \ cdot b) - (a \ cdot b) ^ {2} = (a \ klin b) \ cdot (a \ klin b).}

Daje więc normę iloczynu zewnętrznego dwóch wektorów zgodnie z ich iloczynem skalarnym:

{\ Displaystyle \ | a \ klin b \ | = {\ sqrt {(\ | a \ | \ \ | b \ |) ^ {2} - \ | a \ cdot b \ | ^ {2}}}.}

Tożsamość Lagrange'a i iloczyn krzyżowy

W trzech wymiarach tożsamość Lagrange'a mówi, że kwadrat pola równoległoboku jest równy sumie kwadratów powierzchni jego rzutów na trzech płaszczyznach współrzędnych. Algebraicznie, jeśli a i b są wektorami ℝ 3 z normą | a | i | b |, możemy zapisać tożsamość za pomocą iloczynu krzyżowego i iloczynu skalarnego :

{\ Displaystyle | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - (\ mathbf {a \ cdot b}) ^ {2} = | \ mathbf {a \ razy b} | ^ {2}.}

Rzeczywiście, lewa strona jest

{\ Displaystyle | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} (1- \ cos ^ {2} \ theta) = | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}

gdzie θ jest kątem utworzonym przez wektory a i b ; jest polem równoległoboku boków | a | i | b | i kąta θ (patrz także artykuł Determinant (matematyka) ), a zatem lewa strona jest kwadratem tego obszaru. Iloczyn poprzeczny po prawej jest zdefiniowany przez

{\ Displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) \ mathbf {i} + (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) \ mathbf {j} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) \ mathbf {k},}

wektor, którego współrzędne są (w wartościach bezwzględnych) polami rzutów równoległoboku odpowiednio na płaszczyzny yz , zx i xy .

W wymiarze 7

Dla wektorów a i b ℝ 7 tożsamość Lagrange'a można zapisać, podobnie jak w przypadku ℝ 3 , w postaci:

{\ Displaystyle | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - | \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} | ^ {2} = | \ mathbf {a } \ times \ mathbf {b} | ^ {2}.}

Jednak 7-wymiarowy iloczyn poprzeczny nie ma wszystkich właściwości zwykłego iloczynu krzyżowego. Na przykład nie weryfikuje tożsamości Jacobiego .

Interpretacja przez kwaternionów

Kwaternion P określa się jako sumę skalarnych T i wektor v :

{\ Displaystyle p = t + \ mathbf {v} = t + x \ \ mathbf {i} + y \ \ mathbf {j} + z \ \ mathbf {k}.}

Produkt dwóch kwaterniony t = t + V i Q = a + w jest określone

{\ Displaystyle pq = (st- \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w}) + s \ mathbf {w} + t \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {w}.}

Koniugat q jest

{\ displaystyle {\ overline {q}} = t- \ mathbf {v},}

a kwadrat jego normy to

{\ Displaystyle | q | ^ {2} = q {\ overline {q}} = t ^ {2} \ + \ x ^ {2} + \ y ^ {2} \ + \ z ^ {2}.}

Mamy multiplikatywność normy, to znaczy, że dla kwaternionów p i q mamy:

{\ Displaystyle | pq | = | p || q |.}

O quaternions p i q mówi się, że są urojone (lub czyste), jeśli ich część skalarna wynosi zero, lub jeśli

{\ displaystyle p = \ mathbf {v}, \ quad q = \ mathbf {w}.}

Tożsamość Lagrange'a (w wymiarze 3) sprowadza się po prostu do stwierdzenia multiplikatywności normy dla urojonych kwaternionów

{\ Displaystyle | \ mathbf {v} \ mathbf {w} | ^ {2} = | \ mathbf {v} | ^ {2} | \ mathbf {w} | ^ {2}}

ponieważ z definicji

{\ Displaystyle | \ mathbf {v} \ mathbf {w} | ^ {2} = (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w}) ^ {2} + | \ mathbf {v} \ times \ mathbf { w} | ^ {2}.}

(Multiplikatywność dla dowolnych kwaternionów daje inną ważną tożsamość: tożsamość czterech kwadratów Eulera ).

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Lagrange's identity ” ( zobacz listę autorów ) .

(w) Eric W. Weisstein , CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press , 2003, 2 II wyd. , 3252 s. ( ISBN 978-1-4200-3522-3 , czytaj online ).
(w) Robert E. Greene i Steven G. Krantz , Teoria funkcji jednej zmiennej złożonej , AMS , 2006, 3 e ed. , 504 str. ( ISBN 978-0-8218-3962-1 , czytaj online ) , „Ćwiczenie 16” , s. 22.
(w) Vladimir A. Boichenko, Leonov Gennadii Alekseevich and Volker Reitmann, Teoria wymiarów dla zwykłych równań różniczkowych , Vieweg + Teubner Verlag , 2005( ISBN 3-519-00437-2 , czytaj online ) , str. 26.
(w) J. Michael Steele , The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities , UPC ,2004, 306 str. ( ISBN 978-0-521-54677-5 , czytaj online ) , „Ćwiczenie 4.4: Tożsamość Lagrange'a dla liczb zespolonych” , s. 68-69.
Patrz na przykład strona 4 z rozdziału 7 w tej książce Frank Jones, Uniwersytecie Rice .
(w) Howard i Chris Anton Rorres, Elementary Linear Algebra: Applications Version , John Wiley & Sons ,2010, 10 th ed. , 773 s. ( ISBN 978-0-470-43205-1 i 0-470-43205-5 , czytaj online ) , „Relacje między iloczynami skalarnymi i krzyżowymi” , str. 162.
(w) Pertti Lounesto , Clifford Algebras and spinors , CUP,2001, 2 II wyd. , 338 s. ( ISBN 978-0-521-00551-7 , czytaj online ) , str. 94.
Lounesto 2001 . Zobacz w szczególności § 7.4 Produkty krzyżowe w § 7 , str. 96 .
(w) Jack B.Kuipers , Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace and Virtual Reality , PUP ,2002, 371, str. ( ISBN 978-0-691-10298-6 , czytaj online ) , rozdz. § 5.6 („Norma”) , s. 111.