Kolinearność

W liniowym Algebra dwa wektory u i v z przestrzeni wektorowej E są współliniowe jeśli jest skalar K tak, że u = kV lub v = ku . Dowolne dwa wektory linii wektorowej są współliniowe. Kiedy odnosi się do pary wektorów, kolinearność jest przeciwieństwem liniowej niezależności : dwa wektory u i v są współliniowe, jeśli para ( u , v ) nie jest wolna .

Etymologicznie współliniowy znaczy na tej samej linii : w geometrii klasycznej dwa wektory są współliniowe, jeśli znajdziemy dwóch przedstawicieli znajdujących się na tej samej linii.

Współ-liniowość jest ważnym narzędziem w geometrii w szkołach: kilka punktów płaszczyzny lub przestrzeni definiuje geometryczne wektorów ; jeśli i (odpowiednio i ) są punktami nie pokrywającymi się, wektory i są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy proste i są równoległe. Ta równoważność wyjaśnia znaczenie kolinearności w geometrii afinicznej . $(A, B)$ $\ overrightarrow {AB}$ $W$ $b$ $W'$ $B '$ $\ overrightarrow {AB}$ $\ overrightarrow {A'B '}$ $(AB)$ $(A'B')$

Przykłady

W dowolnym wymiarze, jeśli u jest wektorem zerowym , wtedy u i v są współliniowe dla wszystkich v w E , ponieważ u = 0 v .

Jeśli u jest niezerowe wektora E , zestaw wektorów współliniowa z U jest linia K U .

W przestrzeni wektorowej na polu F 2 dwa niezerowe wektory są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy są równe.

Geometria afiniczna

W geometrii afinicznej dwa wektory są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy dwóch przedstawicieli tych wektorów znajduje się na tej samej linii, tj. trzy punkty A, B, C są wyrównane tak, że

\ overrightarrow {AB} = \ vec u

\ overrightarrow {AC} = \ vec v

Kolinearność jest ważnym pojęciem w geometrii afinicznej, ponieważ pozwala scharakteryzować

Wyrównanie : punkty A, B i C są dostosowane, wtedy i tylko wtedy, gdy wektory i są współliniowe. $\ overrightarrow {AB}$ $\ overrightarrow {AC}$
Równoległość dwóch kierunkach: na linii (AB) oraz (CD) są równoległe albo zbieżne tylko wtedy, gdy wektory i są współliniowe $\ overrightarrow {AB}$ $\ overrightarrow {CD}$

Relacja równoważności

Na zbiorze niezerowych wektorów relacja kolinearności wynosi

zwrotny : wektor jest współliniowy ze sobą
symetryczny: Jeśli wektor jest współliniowy z wektorem, to jest współliniowy z ${\ vec {u}}$ ${\ vec v}$ ${\ vec v}$ ${\ vec {u}}$
przechodnie : Jeśli wektor jest współliniowy z i jeśli jest współliniowy z, to jest współliniowy z ${\ vec {u}}$ ${\ vec v}$ ${\ vec v}$ ${\ vec w}$ ${\ vec {u}}$ ${\ vec w}$

To pozwala nam powiedzieć, że (na zbiorze wektorów niezerowych) relacja kolinearności jest relacją równoważności, której klasy równoważności tworzą przestrzeń rzutową związaną z przestrzenią wektorową

Obliczanie we współrzędnych

Niech będą dwa wektory u i v na płaszczyźnie R 2 , których współrzędne to u = ( u 1 , u 2 ) i v = ( v 1 , v 2 ). Jeśli są one zarówno nie-zero, współliniowość tych dwóch wektorów kształcie U i v wyniki w stosunku proporcjonalności pomiędzy parami ( U 1 , U 2 ) i ( v 1 , V, 2 ). Zasada iloczynu krzyżowego implikuje: u i v są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy u 1 v 2 = u 2 v 1 .

Tę równoważność można uogólnić na wyższy wymiar. Niech u i v będą dwoma wektorami, których współrzędne w stałej bazie wynoszą

u = (u_1, \ kropki, u_n)

{\ styl wyświetlania v = (v_ {1}, \ kropki, v_ {n}).}

Wtedy u i v są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy u i v j = u j v i dla dowolnego indeksu i oraz dowolnego indeksu j > i .

W trzecim wymiarze dwa wektory są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn poprzeczny wynosi zero.

W filogenezie